高中数学-1.3算法案例课标分析

1.3算法案例课标分析

通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界

数学发展的贡献。

三维目标

1.理解算法案例的算法步骤和程序框图.

2.引导学生得出自己设计的算法程序.

3.体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与

数学表达能力.

重点难点

教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.

教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地

思考与数学表达能力.

在教学中贯彻算法思想

对于算法而言，一步一步的程序化步骤，即“算则”固然重要，但

这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用。“算理”是“算

则”的基础，“算则”是“算理”的表现。算法思想可以贯穿于整

个中学数学教学内容之中。

对于算法内容，应着重强调使学生体会算法思想、提高逻辑思维能

力，而不应将算法内容单纯处理成程序语言的学习和程序设计。算

法的课程设计应该结合数学知识教学，通过案例的分析、模仿、探索、

设计、操作，把算法思想渗透和贯穿于高中数学课程之中，鼓励学生

尽可能地运用算法解决相关问题，提倡让学生体验解决问题策略的多

样性和解决问题的多样化。因此，算法必须围绕具体案例进行教学,

在数学问题的情景设计中，融入程序框图、程序语言，使之成为系统

有效的算法课程。

算法案例学情分析

通过前面章节的学习，教学对象已具备一定的逻辑思维和分析问

题、解决问题、信息处理加工等能力，为本节课的学习提供了良好的

基础.但由于算法这快内容比较难学，学生在这一方面也是初次接触,

加之学生对计算机语言几乎不了解,学起来就更显吃力.因此,从激发

学生兴趣入手，以领悟算法思想为突破口，逐步实现由自然语言向计

算机语言过度.

在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程

序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历

设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体

会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表

达能力.

1.3算法案例评测练习

1.利用秦九韶算法求P(x)=〃,H'+④-似--\-a\x+a(),当x=xo时P(xo)的值，需做加法

和乘法的次数分别为()

〃但+1)

A.n,nB.n,——

..n(7i+1)

C.77,2/z+lD.2H+1,2

2.两个二进制数101⑵与110⑵的和用十进制数表示为().

A.12B.11C.10D.9

3.4830与3289的最大公约数为).

A.23B.35D.13

4.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为.

5.将八进制数127⑻化成二进制数为（2）.

6.用秦九韶算法求多项式外）=77+6/+5好+4/+3/+2^+》当x=3时的值.

7.用秦九韶算法求多项式兀0=7/+6必+3炉+2,当x=4时的值时，先算的是（）.

A.4X4=16B.7X4=28

C.4X4X4=64D.7X4+6=34

8.下列各数中最小的数是

A.101010⑵B.210(8)

C.1001(16)

9.用更相减损术求459和357的最大公约数，需要减法的次数为.

10.用秦九韶算法求函数段）=1+公+/—3/+2^,当x=7的值时,。2的结果是

11.把“三进制”数2101211⑶转化为“八进制”的数.

12.用秦九韶算法计算多项式4x）=/-—192x+64当x=2时的

值.

1.3算法案例评测练习答案

1.答案A

解析由秦九韶算法知P（xo）=（…（3的+a,Li）xo+a"-2）xo+…+ai）xo+ao,上式共进行了n

次乘法运算和〃次加法运算.

2.答案B

解析1O1（2）=22+OX21+1X2°=5,110（2）=1X22+1X2'+OX2O=6.

3.答案A

解析4830=1X3289+I541；

3289=2X1541+207；

1541=7X207+92；

207=2X92+23；92=4X23；

：.23是4830与3289的最大公约数.

4.答案先除以2,得到18与67

解析；36与134都是偶数，...第一步应为：先除以2,得到18与67.

5.答案1010111

解析将127⑻化为十进制：127⑻=1X82+2X8+7=64+16+7=87,再将十进制数87化

为二进制数为：

2|87余数

2431

2211

2|101

疸0

2[21

2后0

01

.•.87=1010111(2),

6.解，/(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+l)x,

所以vo=7

5=7X3+6=27

02=27X3+5=86

03=86X3+4=262

04=262X3+3=789

05=789X3+2=2369

06=2369X3+1=7108

S=7108X3=21324,

故x=3时，多项式_AX)=7X7+6/+5X5+4X4+3X3+2X2+X的值为21324.

7.答案D

1,n

解析因为fi,x)=a,lx+anix^'-\---F<7ix+ao=(…((a,)x+a"-i)x+a"-2)xH---Fai)x+ao,

所以用秦九韶算法求多项式,/)=7/+6必+3/+2当x=4时的值时，先算的是7X4+6=

34.

8.答案A

解析101010⑵=1X25+0X24+1X23+0X22+1X2i+0X2°=42.

210(8)=2X82+lX81+0X80=136,

1001(i6)=IX163+0X162+0X16+1X160=4097,故选A.

9.答案5

解析使用更相减损术有：459-357=102；

357-102=255；255-102=153；153-102=51；

102-51=51,共作了5次减法.

10.答案6

解析此题的〃=4,(74=2,的=-3,42=1,0=2,00=1,

Vo=%,

由秦九韶算法的递推关系式彳(2=1,2,…，〃)，得0]=oox+«3=2X(―1)—3

3=”一|工+加2

=­5.。2=。a+。2=-5X(—1)+1=6.

11.解先将三进制化为十进制，再将十进制化为八进制.

65321

2101211(3)=2X3+1X3+1X3+2X3+1X3+1X30=1458+243+27+18+3+1=1

75O(]o),

8|1750余数

82186

8272

3

8LJ_

03

所以2101211⑶=3326(8).

12.解将«r)改写为式x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64

由内向外依次计算一次多项式当x=2时的值，

如=1,

5=1X2—12=—10,

V2=-10X2+60=40,

03=40X2-160=-80,

。4=-80X2+240=80,

V5=80X2-192=-32,

%=-32X2+64=0.

...K2)=0,即x=2时，原多项式的值为0.

1.3算法案例观评记录

评1

数学与人的生活息息相关。数学是对现实世界的一种思考、描

述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与

形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。

张老师的教学特点如下：

1、教学设计好，教学流程清楚，环节紧凑、流畅，由易到难，

层次分明，知识梳理清晰，既有对集体备课形成的教学案的使用吸收,

又有个人的创新、独到之处，注重了基本数学方法的培养与基本数学

思想的渗透，让学生从整体、系统的角度领悟复习要求，从整体上处

理教材复习内容，从系统上把握复习要求，整个设计把教学过程变成

学生对知识的回顾过程，变成了学生自己探索提升的过程，让学生的

能力得到了提高。

2、教学定位非常准。上课能与学生的有效沟通，虽说上这节讲

评课时间紧，内容和知识点多，上课舍得把时间给学生去交流思考思

路、去讲解解决问题过程；不仅自己板书示范，还让学生板书解题过

程，老师充分放手让学生自己动手，动口，老师只引导点拨，使学生

主动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人,

达到知识学习与能力培养的统一，说明她善于启发调动学生学习的主

动性，有较强的驾驭课堂的能力。

思考

2、本节课是试卷讲评课，应以教材知识梳理、考点知识回顾

为主，以基本题开型和基本方法熟练为抓手，是否可以把横向综

合性比较强、能力要求比较高的题目放在下节课，再在本节复习

重点上纵向再深入点、多花点时间呢。

评2

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识

经验基础之上。在教学过程中，教师要转变思想，更新教育观念，把

学习的主动权交给学生，鼓励学生积极参与教学活动。教师要走出演

讲者的角色，成为全体学生学习的组织者、激励者、引导者、协调者

和合作者。

张老师的课：（1）注重了学生动手操作能力的培养，如动手画

一画环节让学生绘画测量得结论。（2）注重及时总结梳理知识。（3）

注重学生推理能力的培养。（4）注重分层指导和分层作业。（5）缺

憾是缺乏有难度的提高题和学生的板演纠正。

评3

张老师的课：（1）注重学生学习兴趣的培养。（2）注重好习

惯的培养，如做笔记的习惯，回答问题过程严谨叙述的习惯，一题多

解的习惯。（3）抓住难点和疑点仔细剖析。（4）课堂气氛轻松愉

快，得益于教师语言风趣幽默，体现出老师驾驭课堂的能力很强。（5）

所选例题习题有梯度。

但应注意照顾大多数学生，特别是中下游学生，练习题的解答

中出现的问题。

评4

本节课的教学有以下闪光点：

一、教学设计合理，教学方法以一中模式为载体，变教为探，环环

相扣，突出数形结合思想。教师教学基本功扎实，教态自然，板

书合理，灵活使用多媒体。

当然，“金无足赤、人无完人”，本节课依然存在一些不足：

1、个别问题提的不明确。

2、由于电脑原因，线段的变化没有呈现出来。

3、课堂时间分配不太合理，致使学生练的少，缺乏巩固。

评5

建议：

1、要重视强化高效课堂。本节课教师虽重视了学生的自主性，

但放得过大，收得不及时，显得松散，不够紧凑，第一个板块用掉了

半节课的时间，前面显得松散，后面的第三个板块几乎没有时间处理,

重点没有得到体现，所以课堂效率没有达到预期的效果。

2、练习题的设计要体现出层次性。本节课学生除了探究新知环

节处理了几个练习题，其它运用新知、巩固新知环节的练习安排的较

少，学生没有充足的巩固新知的过程，同时，练习题的设计层次不明

显，学优生得不到充分的锻炼。

1.3算法案例教材分析

算法是此次高中课程改革新增加的教学内容,算法的案例分析是

算法教学的开篇内容.算法思想贯穿于整个中学数学内容之中，有很

丰富的层次递进的素材:人们的生产活动和日常生活离不开算法，都

在自觉不自觉地使用算法.中国古代数学是以算法为主要特征，并蕴

涵着丰富的算法思想.现代信息技术的发展使算法焕发出新的生机和

活力，并使之成为当代社会必备的基本知识.算法进入高中必修内容

正是反应了时代的需要.因此，算法的学习十分有利于提高学生的逻

辑思维能力，培养学生的理性精神和实践能力，发展他们有条理的思

考与表达的能力，同时可以让他们知道如何用现代技术解决问题.本

节课主要通过案例的分析激发学生学习兴趣，体会算法的程序化思想,

了解算法概念，掌握用自然语言描述算法.

1.3算法案例

【教学目标】：

1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

【教学重难点】：

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

【教学过程】：

情境导入：

1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公

约数吗？

2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比

较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们的最大公约数？比

如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

新知探究：

1.辗转相除法

例1求两个正数8251和6105的最大公约数。

（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根

据已有的知识即可求出最大公约数）

解：8251=6105X1+2146

显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约

数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105=2146X2+1813

2146=1813X1+333

1813=333X5+148

333=148X2+37

148=37X4+0

则37为8251与6105的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元

前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q。和一个余数r0；

第二步：若r0=0,则n为m,n的最大公约数；若r0W0,则用除数n除以余数r。得到一个

商qi和一个余数ri；

第三步：若n=0,则n为m,n的最大公约数；若nWO,则用除数r。除以余数n得到一个

商q2和一个余数r2；

依次计算直至rn=0,此时所得到的rnl即为所求的最大公约数。

练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）

2.更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减

多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译出来为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二

步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继

续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

例2用更相减损术求98与63的最大公约数.

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98-63=35

63-35=28

35-28=7

28—7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98与63的最大公约数是7。

练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）

比较辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，

计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别

较明显。

(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术

则以减数与差相等而得到

3.秦九韶算法

秦九韶计算多项式的方法

x1

/(x)=axx++a1x*Hi-ayx+a。

=+,-I**。+£-2--3■1----+<20

=((外/-2+4_1二-3+…+劭泣+的)芯+劭

=(…®X+%-l)X+%-2)X+…+%)+旬

<

令以=(…((怎X+%)X+/_2以+…+)为+%-后，则有［Vk=口-1五+%-此，

其中化=12…叱这样，我们便可由心依次求出匕，为，…。；

匕口环+―,

丫2=%为+&*-2，

v3=v2x+ax_3,

匕=v*-ix+a。

显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算

4.进位制

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号

的个数称为基数，基数为n,即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常

使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57,可以用二进制表

示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一

样的.

表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5

进制数.

(1).k进制转换为十进制的方法：

=a*xk*+aJ!_1x■!---\-a2x小2+%x无+/

(2).十进制转化为k进制数b的步骤为：

第一步，将给定的十进制整数除以基数k,余数便是等值的k进制的最低位；

第二步，将上一步的商再除以基数k,余数便是等值的k进制数的次低位；

第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各

位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法.

要点诠释：

1、在k进制中，具有k个数字符号.如二进制有0,1两个数字.

2、在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.

3、非k进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进

制的数，有的也可以相互转化.

【反馈测评】：

1.求324、243、135这三个数的最大公约数。

求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数

的最大公约数即为所求。

2.用更相减损术求98与63的最大公约数

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减

98—63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=21

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7

3.已知一个五次多项式为/(尤)=5x5+2/+3.5/一2.6/+1.7x-0.8用秦九韶算法求这

个多项式当x=5的值。

解：将多项式变形：/(x)=((((5x+2)x+3.5)x—2.6)x+1.7)x—0.8按由里到外的顺序，

依此计算一次多项式当x=5时的值：

%=5,匕=5x5+2=27,岭=27x5+3.5=138.5,v3=138.5x5-2.6=689.9

v4=689.9x5+1.7=3451.2,%=3451.2*5—0.8=17255.2所以，当x=5时，多项

式的值等于17255.2

4.将二进制数110011⑵化成十进制数

解：根据进位制的定义可知

110011(2)=1X25+1X24+0X23+0X22+1X2'+1X2°

=1x32+1x16+1x2+1

=51

所以，110011⑵=51。

【板书设计】：

1.3算法案例

一、辗转相除法三、秦九韶算法五、反馈测评：小结

例1

作业

二、更相减损术四、进位制

例2

L3算法案例效果分析

1阅读学习与算法有关的各种资料

在教学前要认真阅读新课程标准，领会其基本理念，准备带着新

理念实施教学。精读教材和教学用书，深入地掌握教材内容，体会算

法思想。阅读学生的《信息技术》教材，把其中的算法内容与数学课

程中的算法内容做出比较。阅读相关的程序语言教程，补充学习编写

程序所需的计算机语言，并编写程序解答教材中出现的所有题目。教

师要拥有多种文本的教材，通过对照比较，分析它们的特色，去粗取

精，设计教案。

2灵活处理教材，做好教学设计

在备课时要根据算法的知识结构和学生的实际情况处理教材，结

合新课程理念、教材的要求和学生的接受能力书写教案，制作课件,

打印讲义。目标是帮助学生真正地掌握这一内容，不要迷信教材，生

搬硬套。

3贯彻新课程理念，尝试新教学方式

教师必须更新观念，把以往“以学科为本，以教师为中心”的教

学理念，转变为“以人为本，以学生为主体”的新理念，并且要把新

理念贯彻到教学之中，不妨采用“课前预习——实例引入——讲练结

合——讨论交流”的教学方法。

首先，教学中要从最简单的实际问题出发，激发起学生的兴趣,

引导学生对趣味性问题和生活实际问题进行思考、讨论，探索解决问

题的方法和步骤，然后用流程图或程序来描述算法。

其次，教师要在教学设计中，根据数学知识的认知需要，在思想

方法上多做引导，为学生设置恰当的任务，用以引导他们的学习活动,

在具体细节上让学生自己多动手、多阅读、多思考、多交流，多发表

意见，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。在强调学生自主探

究的同时，教师也应适度地给予引导、帮助。教师是学生学习的引导

者、组织者，要在问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排以

及情感激励的过程中引导学生主动地从事观察、试验、比较、概括、

猜想、验证、推理等数学活动。

最后，教师要在课堂上营造起同学之间相互学习和交流的氛围。

交流不仅可以提高学生的学习兴趣，更主要的是可以拓宽思路，激发

灵感，促进创新，培养学生的创新意识和创新能力。

4重视“算理”，提倡算法多样化

算法教学之中应该“讲算法，重算理”。在讲解算理时要十分注

意深入的“度”。从学生实际认知水平，原有知识结构出发，将算法

的训练与算理的分析有机结合，既能让学生轻松习得“行之有效”的

算法，又能使学生愉快感受“意味深长”的算理。

由于学生生活背景和思考角度不同，他们设计的算法必然是多样

的。传统数学教学习惯于把现成的思维模式和方法强加给学生，使学

生过早地拘泥于思维模式的统一性或规范性，因而学生只学会用一种

解法去解决某一个问题，这样既省力又“见效”，但从建构主义学习

观来看，这种学习只是一种被动的、非主动建构的过程。教师应该尊

重学生的想法，提倡算法的多样化，鼓励学生开发和使用不同的途径

来实现算法，选取具有多种算法解答的问题开展教学，不要把注意力

全放在答案上，同时鼓励学生主动设计、使用和讨论所开发的算法,

论证哪种方式最适合解决问题，体验算法的积极与灵活。对于学生的

各种独特的算法，甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠，要让他们

充分发展，充分享有“再创造”的自由。

5渗透数学文化，进行品德教育

在数学发展过程中，一种重要算法的形成往往就标志着数学的重

要进步。教师在数学算法教学过程中，应该注意与数学史的教学结合

起来，从算法的历史背景到计算机科学中的算法，充分展现算法思想

的历程，让学生真正体会算法的科学价值、应用价值、人文价值，感

受数学文化的无穷魅力。实验表明，学生对教师所举的古代算法案例、

中国古代数学的辉煌成就和中外数学家的故事等表现出极大的兴趣，

他们不仅更深刻地认识了算法，也在无形之中接受了数学文化的熏陶

和爱国主义的教育。

6.尽量安排学生上机操作

教师在算法教学时应尽量创造条件，安排时间以及提供计算机和

相应软件让学生上机试验并给予上机指导。通过上机，学生更能直观

感受到算法的奇妙。同时，当看到自己写的程序得以运行，并出现运

算结果时，学生有一种学习上的成就感，可以增强他们对算法的兴趣。

1.3算法案例课后反思

课后反思对提高课堂教学质量，加快教师的专业成长有非常重要

的作用。一个优秀的教师，一个充满智慧的教师，应该是一个善于反

思的教师。那么怎样才能有效的做好课后反思，让反思伴随我一同成

长呢？我认为，除了让同组老师和领导做硬性的规定和弹性的评估外,

较强的对课后反思能力方面的培养是一大策略。

本来，反思的结果是人通过大脑思维而催生的产物，这其中太多

个性的因素，无法去做到定性和定量的要求。但是思维是可以通过暗

示而变得有序和有向的。为了使我的课后反思水平得到提高，反思的

效果显著，我自己的每节课都从以下十个方面进行反思。

反思一：本节课的三维目标是什么？达标情况怎样？

反思二：本节课的重点、难点是什么？突破重、难点的情况如何？

反思三：本节课教法和学法有哪些？你认为合适吗？

反思四：为了上好本节课你做了那些准备？（查资料、备教具、

备教案、做课件等）

反思五：课上你创设了什么样的情境？设计了那些精彩的环节？

达到怎样的效果？

反思六:本节课你注重对学生进行那些习惯、兴趣、能力的培养？

反思七：本节课精彩之处在那？

反思八：本节课的不足之处在那？有没有失误？

反思九：要是让你重新上一次本课，你想改进些什么？

反思十：上玩本节课，你和学生轻松吗？快乐吗？

就本节课我逐一从以上十个方面进行反思：

反思一：

本节课的三维目标：一、