高中数学-函数与方程的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

函数与方程

教学目标：

1.了解函数的零点与方程的根的联系，

2.根据具体函数图像，能用二分法求方程的近似解。

教学重点：

1.零点定理的应用

2.根据图像，判断方程根的个数。

教学难点：方程根的个数

教学过程：

1.函数零点的定义

⑴方程f(x)=O的又叫y=f(x)的.

⑵方程f(x)=O有实根函数y=f(x)的图象与有交点函数v=f(x)有零点.

2.函数零点的判定

如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是一条不间断的曲线，且________,则函数y=f(x)在

区间上有零点，即存在x°c(a,b),使得f(x0)=O,这个xo也就是函数f(x)=O的零点.我们

不妨把这一结论称为零点存在性定理.

3.一元二次函数的零点

△=b2—4ac△>0△=0△<0

yy5

\

y=ax2+bx+c(a>0)的图象

x=xX

Oltz2

与X轴的交点两个交点一个交点无交点

零点个数210

4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步，确定区间(a,b),验证；

第二步，求区间(a,b)的中点x1;

第三步，计算；

①若，则X1就是函数的零点；

②若,则令b=xi(此时零点x()w(a,xi))；

③若则令a=xi(此时零点xo£(xi,b))；

第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步.

基础自测:

1.若一次函数f(x)=ax+b有一个零点2,那么函数g(x)=bx2—ax的零点是.

2.如果二次函数y=才2+%氏+(加+3)有两个不同的零点，则m的取值范围为.

3.下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）

4.在下列区间中，存在函数f（x）=矛3+3x—3的零点的是（）

A.[-1,O]B,[l,2]C.[0,1]D.[2,3]

考点一：函数的零点的求解和判定

x

例1（2013天津高考）函数/'（X）=2|log05闻—1的零点个数。

练习1.已知函数/'(x)=In%,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

考点二二分法的应用

例题2在用二分法求方程*3一2*-1=0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间

(1,2)内，则下一步可以断定该根所在的区间为.

练习2：在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在区间为()

A（--,0）B（0,-）C（-D（-,-）

444224

考点三函数零点的综合应用

例3：若函数f(x)=2/一仙x在其定义域的一个子区间(k-1,A+D

内不是单调函数，求实数k的取值范围。

练习3：关于x的二次方程/+(加一l)x+1=0在区间［0,2］上有解，求实数机的取值范围.

小结:

作业

学情分析

知识与能力方面

1、现有知识储备：

（1）常用函数的图像和性质（2）常见方程的解法；（3）函数的图像

变换

2、现有能力特征：具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力

3、现有情感态度对高次或超越方程的解法具有强烈求知欲和渴望探

究的积极情感态度

学生方面

教学班为文科班，基础较弱，拔尖的学生不多，对数学有些为难

情绪。本节课在学生第一轮复习了函数、方程、不等式有关知识的基

础上，进一步研究解决函数、方程、不等式之间的联系与区别及三者

相结合的综合题。

效果分析

本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用"设问一一探

索一一归纳一一定论〃层层递进的方式来突破本课的重难点。通过引导

学生积极思考，热情参与，独立自主地解决问题。同时对学生的回答

进行一定的总结，把特殊的现象提升到理论的高度，让学生能更好的

理解和掌握。

函数与方程教材分析

函数与方程思想是中学数学的重要思想。本节是在学习了前两章

函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性

及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在

某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”

和后续学习的算法提供基础.因此本节内容具有承前启后的作用。

函数作为高中的重点知识有着广泛的应用，与其他数学内容有着

有机联系。课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函

数的图像与横轴的交点的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生

从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。本节设

计特点由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律。课堂体现

的数学思想是“数形结合”和“转化”思想。充分体现了函数图像和

性质的应用。因此把握课本要从三方面入手：新旧知识的联系，学生

认知规律，数学思想和方法。

函数与方程练习

第I组：全员必做题

1.（2013•开封一模）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）

2.（2014・荆门调研）已知函数），=於）的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值:

Xi23456

y124.435-7414.5-56.7-123.6

则函数y=Ax）在区间［1,6］上的零点至少有（）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

3.（2013・宜春模拟）函数犬\）=一仅一5|+2门的零点所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）

C.（2,3）D.（3,4）

4.（2013•北京西城二模）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：

①y=2'②y=-2+颤x）=x+x%©jixy—x—x^.

则输出函数的序号为（）

/输入函数/♦）/

存痴强*■

/输出函数/G）/

〔结束J

A.①B.②

C.③D.@

5.（2013•石家庄高三模拟考试）㈤表示不超过x的最大整数，例如［2.9J=2,［—4.1］=一

5,已知y（x）=x-［x］（xGR）,g（x）=log4（x—1）,则函数〃（x）=/（x）—g（x）的零点个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

6.用二分法研究函数7W=V+3x-l的零点时，第一次经计算大0)<0,<0.5)>0可得其

中一个零点的£,第二次应计算________.

D+Zx^2,

7.(2013•北京朝阳模拟)已知函数7U)=「2)4''"'若函数g(x)=/U)一%有两个

UOg2X，0<x<2.

不同的零点，则实数攵的取值范围是.

ax,x20,

8.己知函数y(x)=d,若函数g(x)=/U)一女有两个零点，则

fcv+Lx<0,

实数k的取值范围是.

9.已知函数式》)=/一/+5+/证明：存在刈6(0,；),使火冲)=如

10.关于x的二次方程r+(.—l)x+l=0在区间［0,2］上有解，求实数，〃的取值范围.

第II组：重点选做题

1.(2014•哈师大模拟)若定义在R上的函数_/(x)满足f(x+2)=/(x),且xd［—1,1］时，式方

<lgx,x>0,

0,x=0,

=1—X2,函数g(x)=<则函数/7(x)=/U)—g(x)在区间［-5,5］内的零点个数是

一—，x<0,

Ix

)

A.5B.7

C.8D.10

2.(创新题)对于定义域为D的函数y(x),若存在区间切。。(〃<份,使得{y|y=/u),

x£M}=M，则称区间M为函数处0的“等值区间”.给出下列四个函数：

Q/(x)=2*;(2)/(x)=x3;®J(x)=sinx；(4)/(x)=log2x+l.

则存在“等值区间”的函数是.(把正确的序号都填上)

答案

第I组：全员必做题

1.选CA中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D

中函数在x轴下方没有图像，故选C.

2.选B依题意，火2M3)<0,犬3)兆1)<0,式4)：穴5)<0,故函数)=危)在区间［1,6］上的零

点至少有3个，故选B.

3.选C依题意得40)负1)>0,犬1)次2)>0,犬2)负3)<0,汽3)<4)>0,

故式x)的零点所在区间是(2,3),故选C.

4.选D由图可知输出结果为存在零点的函数，因2*>0,所以y=2,没有零点，同样y

=一2,也没有零点；_/U)=x+xr,当x>0时，«r)22,当x<0时，大幻《一2,故贝x)没有零

点；令火x)=x—x1=0得x=±l,故选D.

5.选B作出函数次x)与g(x)的图像如图所示，发现有2个不y

同的交点.

6.解析：因为人工)=炉+3、-1是R上的连续函数，且/0)<0,-yT345—r

y(0.5)>0,则<x)在XG(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证人0.25)的符号.

答案：(0,0.5)7(0.25)

7.解析:画出函数次x)的图像如图.

要使函数g(x)=«r)—k有两个不同零点，只需y=/(x)与y=k-----

的图像有两个不同交点，由图易知kG©,1).

答案：©，1)

8.解析：函数g(x)=y(x)一火有两个零点，即犬x)一氏=0有两个解,

即y=Ax)与y=k的图像有两个交点.分k>0和k<Q作出函数段)的图

像.当0<女<1时，函数y=/(x)与y=k的图像有两个交点；当％=1时,

有一个交点；当k>l或NO时，没有交点，故当04<1时满足题意.

答案：0<%<1

9.证明：令g(x)=/(x)一元.

一/,•,•g(0>g(+0.

又函数g(x)在［o,上连续，

...存在x()W(O,g),使g(xo)=O,

即Jtxo)=X().

10.解：设式1)=/+(〃2—l)x+1,［0,2J,

①若./U)=o在区间。2］上有一解，

V/0)=l>0,则应有<2)<0,

又；/(2)=22+(W-1)X2+1,

・,3

.•"2<一

②若40=0在区间［0,2］上有两解，则

J>0,

1«2)20,

(加一1)2—4>0,

4+("7—l)X2+120.

m>3或1,

・・—L

{T

由①②可知，”的取值范围(一8,—1)

第H组：重点选做题

1.选C依题意得，函数人x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y=/(x)

与函数y=g(x)的图像，结合图像得，当xG［—5,5J时，它们的图像的公共点共有8个，即函

数〃(x)=«r)—g(x)在区间［-5,5］内的零点个数是8.

y

5-4-3-2-1O(\2345*

2.解析：问题等价于方程兀r)=x在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，

由于2，>x,故函数段)=2”不存在等值区间；由于£*=x有三个不相等的实根筋=-1,X2=

0,X3=l,故函数於)=9存在三个等值区间［0』］,由于sinx=x只有唯一

的实根x=0,结合函数图像，可知函数«x)=sinx不存在等值区间；由