高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量在物理中的应用

6.4.2向量在物理中的应用举例

导学案

【学习目标】

1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物

理中相关问题的步骤.

2.明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算

的认识.

3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.

【自主学习】

知识点1力与向量

力与前面学过的自由向量有区别.

(1)相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向.

(2)不同点：向量与始点无关,力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如

果作用点不同，那么它们是不相等的.

知识点2向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量.

1

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算,运动的叠加

亦用到向量的合成.

(3)动量mv是数乘向量.

(4)功即是力耳与所产生位移s的数量积.

2

【合作探究】

探究一向量的线性运算在物理中的应用

【例1】帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果

一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20km/h,此时水的流向是正东,

流速为20km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.

解建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°,速度为=

20(km/h),水流的方向为正东，速度为|的|=20(km/h),

设帆船行驶的速度为％

则V=V,+v2.

由题意，可得向量匕=(20cos60°,20sin60°)=(10,1咪)，向量，=(20,0),

则帆船的行驶速度

v=匕+外=(10,1073)+(20,0)=(30,10-\/3),

所以|H=-\/302+(10^3)2=2073(km/h).

因为tan。=与£=算(。为v和匕的夹角，。为锐角)，

oUo

所以a=30°.

所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为2项km/h.

归纳总结：利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的

基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.

第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运

3

算.

【练习11某人在静水中游泳，速度为44km/h,水的流速为4km/h,他必须

朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

解如图所示，设此人的实际速度为宓，水流速度为应.

•••实际速度=游速+水速，

二游速为第一汤=欣，

在如中，|9|="百，I/1=4,|南|=4/，cos/初0=辿~=坐.

\AB\3

故此人应沿与河岸夹角余弦值为号，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小

O

为4^2km/h.

探究二向量的数量积在物理中的应用

【例2】已知两恒力£=⑶4),£=(6,—5)作用于同一质点，使之由点4(20,15)

移动到点3(7,0).

(1)求E,用分别对质点所做的功；

(2)求凡的合力户对质点所做的功.

4

解(1)萍(7,0)—(20,15)=(-13,-15),

明=A•急=(3,4)•(—13,-15)

=3X(-13)+4*(-15)=-99(J),

W2=F,•AB=(6,-5)•(-13,-15)

=6X(一⑶+(—5)义(-15)=—3仃).

二力E，为对质点所做的功分别为一99J和一3J.

⑵W=F*荔=(人+E)•AB

=[(3,4)+(6,-5)]•(-13,-15)=(9,-1)•(-13,-15)

=9X(-13)+(-I)X(-15)=-117+15=-102(J).

二合力尸对质点所做的功为一102J.

归纳总结：物理中力尸所做功/问题常运用向量的数量积解决.

【练习2】已知尸=(2,3)作用于一物体，使物体从小2,0)移动到8(—2,3),求

产对物体所做的功.

解AB=(-4,3),

勺尸・6=尸•漉=(2,3)•(-4,3)=-8+9=1(J).

...力产对物体所做的功为1J.

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课后作业

A组基础题

一、选择题

1.一质点受到平面上的三个力A,R,K（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，

已知£,E成90°角，且£,£的大小分别为2和4,则K的大小为（）

A.6NB.2N

C.2^5ND.2小N

答案C

2.用力尸推动一物体水平运动sm,设厂与水平面的夹角为心则对物体所做

的功为（）

A.|冏•sB./cos，•s

C.咫in0•sD.|F\cos9•s

答案D

3.两个大小相等的共点力E,R,当它们夹角为90°时，合力大小为20N,则

当它们的夹角为120°时，合力大小为（）

A.40NB.10^/2N

C.20^/2ND.1073N

答案B

解析|川==|尸|cos45。=10^/2,

当9=120°,由平行四边形法则知：

1^|=|^|=|^|=10^2N.

4.共点力£=（lg2,1g2）,E=（lg5,1g2）作用在物体物上，产生位移s

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=(21g5,1),则共点力对物体做的功『为()

A.1g2B.1g5C.1D.2

答案D

解析月十月=(1,21g2).

；.『=(E+E)«s=(1,21g2)・(21g5,1)

=21g5+21g2=2.

5.已知作用在点/的三个力£=(3,4),£=(2,-5),[=⑶1)且4(1,1),

则合力f=£+£+£的终点坐标为()

A.(9,1)B.(1,9)

C.(9,0)D.(0,9)

答案A

解析/*=£+£+£=⑶4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,

力，则

OP=OA+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).

6.如图所示，一力作用在小车上，其中力尸的大小为10N,方向与水平面成60°

角，当小车向前运动10m,则力尸做的功为（）

A.100JB.50J

C.50小JD.200J

8

【答案】B

解析：设小车位移为s,则|s|=10m,%=尸，$=|尸||s|,cos60°=10

1

X10X-=50J.

7.坐标平面内一只小蚂蚁以速度丫=(1,2)从点4(4,6)处移动到点8(7,12)处，

其所用时间长短为()

A.2B.3

C.4D.8

【答案】B

解析：v|=^/12+22=^/5,又|阖={~7—4~彳―12—6~.,.时间方

二、填空题

8.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N,

则每根绳子的拉力大小为N.

答案10

解析设重力为G，每根绳的拉力分别为E，F2,则由题意得E，8与一G都成

60°角,

且|£|=|£|.

.，•1^1=1^1=1^1=10N.

,每根绳子的拉力都为10N.

9

9.已知一个物体在大小为6N的力尸的作用下产生的位移s的大小为100m,且

b与s的夹角为60°,则力尸所做的功-J.

答案300

解析W—F,s=|F|s|cos(F,s)

=6X100Xcos60°=300(J).

10.一条河宽为800m,一船从［出发航行垂直到达河正对岸的8处，船速为20

km/h,水速为12km/h,则船到达6处所需时间为分钟.

答案3

解析YV炳=/船+7木=匕+匕，

1-1=20,|=12,

/.Iv\=\jIvX'--v.y

=A/202-122=16(km/h).

f)8

.•.所需时间1=尢■nO.OSl小时)=3(分钟).

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.•.该船到达A处所需的时间为3分钟.

11.若丽=(2,2),旗=(-2,3)分别表示E,贝！J|E+£l=.

答案5

解析•••4+£=(0,5),

.•.出+知=后两=5.

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12.如图，两根固定的光滑硬杆/，必成〃角，在杆上各套一小套只Q,P、Q

用轻线相连，现用恒力尸沿庞方向拉环0,则当两环稳定时，轻线上的拉力的大

小为.

解析做受力分析，依题意，重力可以忽略不计，。受轻线的拉力为7,由于受

力平衡，只能是轻线与杆垂直，即轻线与勿的夹角为方一0,7bos停一〃)=£

故⑺

sina

13.已知力Q(2,3)作用于一物体，使物体从4(2,0)移动到8(—2,3),则力尸

对物体所做的功为.

【答案】1

解析:W=F•s=F*AB=(2,3)X(—4,3)=—8+9=1.

14.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那

么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是.(写出正确的所有序

号)

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的

浮力保持不变.

答案①③

11

解析设水的阻力为£绳的拉力为F,厂与水平方向夹角为。（0＜，＜］）.则

,/。增大，cos。减小，...|尸|增大.

V|F|sin〃增大，...船的浮力减小.

三、解答题

15.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h,

方向正东，风的方向为北偏西300,受风力影响，静水中船的漂行速度为3km/h,

若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2mkm/h的速度横渡，求船本身的

速度大小及方向.

解如图，设水的速度为％,风的速度为%,匕+6=&易求得a的方向是北偏

东30°,a的大小是3km/h.设船的实际航行速度为K

方向由南向北，大小为2mkm/h,船本身的速度为匕，则a+%=v,即v3=v

—a,数形结合知内的方向是北偏西60°,大小是小km/h.

16.在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千

米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小.

12

解如图用小表示水流速度，匕表示与水流垂直的方向的速度.

则%+%表示船实际航行速度，

IFb|=4,|K|=8,

解直角三角形|%十%|

=d'+G=4#.

故船实际航行的速度为44千米/小时.

17.质量/=2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力尸=10N的作用下，沿倾

斜角6=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0m的距离.

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

⑵在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解(1)木块受三个力的作用，重力G,拉力户和支持力"，如图所示.拉力产

与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：

Wt=F*s=|F|S|COS0°=20(J).

支持力尸v与位移方向垂直，不做功，

所以网=户,•5=0.

重力G对物体所做的功为：

%=G・s=|G\Is|cos(90°+J)=-19.6(J).

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：

—%+%+%=0.4(J).

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B组能力提升

一、选择题

1.质点尸在平面上作匀速直线运动，速度向量〃=(4,一3)(即点尸的运动方向

与r相同，且每秒移动的距离为I丫|个单位).设开始时点尸的坐标为(一10,10),

则5秒后点尸的坐标为()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

答案C

解析设(-10,10)为4设5秒后尸点的坐标为4(x,y),则筋i=(x+10,y

-10),由题意有筋i=5几

即(x+10,y-10)=(20,-15)

x+10=20\x=10,

=J10=-15=<ly=-5.

二、填空题

2.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方向夹角为30°,纤

夫的拉力为50N,则纤夫对船所做的功为.