高中数学总复习-解题方法

思维方法•类比法

类比是通过两个（或两类）对象的比较，找出它们在某一方面（特征、属性和

关系）的类似点，从而把其中一对象的其他有关性质，移植到另一对象中去.因

此，类比推理是从特殊到特殊的思维方法.

在解析儿何中，类比法是编制新命题、发现新定理以及开拓解题思路的重要

方法.

解析几何的研究对象是直线、圆和圆锥曲线，因此，在圆、椭圆、双曲线、

抛物线之间相互类比，是类比推理的主要内容.

例1对圆片+卢r'，由直径上的圆周角是直角出发，可得：若AB是。。的

直径，M是。0上一点（异于A、

是否有类似的结论？

KM1Mfli-iX设出剧43+《=1的直径，&坐

标分别为（x”y）、（-X”-y.）,又设点M（x0,y°）是这个椭圆上一点，且x°

W±x”贝ij

l

XL

5ub1

h

o

以上两式相减，得

?b10

从而工.生口・_4，

*>i«b-«ia

即k1ML•k|Q=-了①

同理，若AB是双01线号-5=尚直径.皿双曲线上一点国

k|«L*k.=y.②

于是①、②两式就是椭圆、双曲线与圆类似的结论.

【解说】(1)与圆类似，连结圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，

过有心曲线(椭圆、双曲线)中心的弦叫做有心曲线的直径；

(2)因为抛物线不是有心曲线，所以抛物线没有与圆的这个性质相类似的结

论.

州期制第田硒8,显BJMiH上两点.

且M1OB,我备十备'弓-―那冽砒线±*=1(0

<aVb)类似的命题是什么？

【分析】由习题1.1第5题，我们知道了椭圆这个命题的证明方法，用

类似的方法，我们来寻找双曲线的有关命题.比较两个标准方

祗曲耀，板曲线有曲+曲

KM1设乐8是双曲线f-g=l(P<a<b)上一点，且3OB.又设

A.刖为|OA|ana).qOB|coX<li^),|OB|an

0±+k》，剜

4

吟&驾票J,从而

&O

1co^aan1a

丽—

,兀，兀

ic4(a±-z-)«(ai-7)

|OBpaabJ

.1srin'aco*3a

即画厂7s—k②

由①+②，得

1111

两■'画厂了下

于是，我们得到与椭圆类似的正确命题：

若A,B是双曲线4-§=l(0<a<b)上网点，flAOlOB,J«

ab

11I1

习题1.4

1.对圆x2+y2=r2,由过弦AB(非直径)中点M的直径垂直于此

弦，可神&•匕那么对1通3*%=1(8>»(9«双曲线

%-*=1(a>0,b>0)类似的结果是什么？并证明你的结论.

2.对命题।已知懦国亍*入纺”

<1),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则|AB|=|CD|.双曲线类

似的命题是什么？并加以证明.

习题L4答案或提示

1.若AB是椭圆、双曲线的弦(非直径)，M是AB的中点，则对

2.已岫线今-左=l(a>0,b>旃捺-g=A8<KD.

一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则|AB|=|CD|.

思维方法-求异思维

所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式.求

异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点.因此，用

求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性.

在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面.

(一)变换思维方向

解证解析儿何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到

“山穷水尽疑无路”的地步.这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟

径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景.

例1已知点A(l,-1)、B(7,2),以A为圆心、8为半径作。A,以B为圆

心，6为半径作。B,求这两个圆外公切线交点P的坐标.

【分析】如图1—4.解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程,

再解方程求出交点坐标.但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思

维陷入困境.如果能换一个角度思考，联想到公切

线的交点毋在心线上，8Pp.B.AH点共线.且疆即两同半

径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解.

【解】如图1-4,设M、N是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP,

则A、B、P三点共线，再连结AM、BN,则AMLMP、BN±MP.

,BN//AM.

|PB||BN|63

从而

-B--P-———3

PA4

设点P的坐标为(x,y),则由线段定比分点公式，得

j-=25t

3

2-TX(-D

故点P的坐标为(25,11).

例2如图1一5,直线y=kx+b与圆妙+产1交于B、C两点，与双曲线x=y2=l

交于A、D两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值.

【分析】如图1—5,解本题的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先

计算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值.但由

于线段AB、CD的端点不在同…曲线上，从而上述解法运算相当麻烦.如果变换

思考角度，由|AB|=|CD|出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定

理，列出k、b的一个关系式，再

由|Bq=*AD],可求出匕讷值.

【解】如图1—5,把丫=1^+1)代入必-产1中，整理，得

(1+k)x2+2bkx+b2-l=0

从而由韦达定理，得

十』=

把y=kx+b代入xJy2=l中，整理，得

(l-k2)x2-2bkx-(b2+l)=0

②

2bk

|AB|=jCD|,

，AD与BC的中点重点.

♦

22

V

解之，得k=0或b=0.

当k=0时,方程①化为x2=l+,

X=±7t-b\TJ||Bq=2Vl-ba.

方为r=[+『，"=*Vl*b\

于追AD|=2后户

由已知,镯Bq=；|AD|,,-.2jTbT=|jl+ba.

解之,斜二士竽.

同理，当b=OBtk=土竿.

故k=0.b=*或卜=tb=0.

（二）一题多解

在解析儿何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式.

例3已知直线1过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴

上，若点A(T,0)和点B(0,8)关于1的对称点都在C上，求直线1和抛物线C

的方程.(1994年全国高考理科试题)

【分析11设直线1的方程为y=kx,抛物线C的方程为y2=2px(p>0),先

求出A、B关于1对称的点A，、B'的坐标(用k表示)，再代入抛物线C的方程

中，可得k、p的方程组，最后解方程组即可.

【解法1】如图1—6.由已知可设抛物线C的方程为

y2=2px(p>0).

图1-6

由于直线1不与两坐标轴重合，故可设1的方程为

y=kx(kW

0).①

设A'、B，分别是A、B关于1的对称点，则由A，AL1可得直线AA'的

方程为

y=-^(x+l)②

将①、②联立，解得线段AA'的中点M的坐标为

于是，由中点坐标公式，可得点A'的坐标为(昌三,一鬲上

同理，点B，的坐标为^.节誉

分别把A'、B，的坐标代入抛物线C的方程中，得

[2k_2p0?-p

JPT?ka+i⑷

8（k,-Dp2P•16k/

-"STTT®

由③・④，消去p,整理，得

k2-k-l=0.

⑤

又由④知k>

）.

⑥

于®ff®.®,=

妃―竽代入③中，辖

24

P=­•

故直纬的方程为了二孥*,鹤线C的方程为

345

，=­M-

【分析2】如图1—7,设直线1的倾斜角为a,则1的斜率为

1T

k=iga.由对渊珈NA，8,=—,从而利用三角豳数的定义，可

用a的三角函数表示点A'、B，的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同

解法1.

5法21JrtHi-7,设直线I的假角为,a#Q).则

1的斜率为k.

,.,|0A,|=|OA|=1,

|OBZ|=|0B|=8,NxOA'=-(n-2a),

,.JT兀7T

NeB--5--2(--<1)=20,

由三角函数的定义，得A'的坐标为

/

xA=10A'\cosZxOA=-cos2a,

I--ak2-1

__1+i82a\+d，

,z

yA=|OA|sinZxOA=-sin2a

2tg。2k.

l+1al+H

?,16k

xB=|OB|c<wZxOB=8«n2G=

7=|OBZ|«fiZxOBJ=8(-»^20)二3).

B唱

以下同解法1,从略.

8你1*881-7,设N1OBj=8,UZBCML/=e-^

又IOB，1=8,|OAZ|=b从而此题可设极坐标方程去解.

【解法3】如图1—7,以0为极点，Ox为极轴建立极坐标系，把-Pcos

0代入方程y-2px(p>0)中，得抛物线的坐标方程为

加0*8

P

面’8

由已知可设点B'的极坐标为(8,a)、A'的极坐标为(1,

a-2，把它们分别3地线方程中，.

2k>cosd一

anaa_8*

兀

2pc*Q--)

4

,兀

-年)

4

pcosU=4An'a.

V

2paa<l=cos"。.

梢却，器g、a=5，二姐。=J，

O/

又0<a<2，，而。=§.c<»a

*■JJ

„而4dna2#

从而P=G.可

直线1平分NBOB',

直哪制角为1+；弓-9=枭+0.

兀

17TLc«(a+—)

[3a+北--------

“«.彳)

l-t-aoa/+i

=一■■------------

83a2

故直纬的方程为‘二争x,端线C的方程为力=华*.

期析41如BL7,础峨I物河设其#数方ft为卜".

卜-2pt

BjeiftAJ(2Hb2pQ，B，(2pt：,gXhVQ)，再由|OA'|-L|OB1

=8,0A/_LOB'列出p、3、七的方程组，进而去求解.

MHI-7.谢I瞰妨翟为卜二于；9》办

(y-2pt

发点A7.B，3标砌为(2pt；,率J.(2pt：,2^)(li<°).

,.'|0Az|=|OA|=1,|0B'|=|0B=8,

•'•(2f*：>+(2?9'=10

aa

(2pt?)+C2ptt)=«©

又由OA'_LOB',得鼠、・嗑=-1,

即春,急=』

②+①，得字巨=64

把上式，整理，你；=言.

XtiV。.；工1=节

4

把它代入①中，ftp=^

这时，A'的坐标为（点，-喳.

从而k”.JF»

于伸k=-J-=”.

故直牌的方程为y="x,鹤线C的方程为/=华*.

【分析5】如图1一7,由于|0A'|=1,|OB，|=8,NA'

N

OB'=y,0可考虑用复数法耳配

【解法5】如图1一7.把直角坐标系视为复平面，设点A'

对应的复数为勺+力「由|OA'|=L|OB,|=8/A'OB'W，

得点B'对应的复数为(x,+yii)8i=-8yi+8x,i.

二点A，、Bz的坐标为

(Xi,y)、(-8y1,8x0.

把它们分别代入抛物线C的方程y2=2px(p>0)中，得

V?=2*«i①

由②+①，叫卬=曲，，"=2

即k0产-2,又|0A'|=1,

后26

■-J",力■——■

iWA0申,痴岑.

以下同解法4,从略.

[分析6]本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解.

MH1-7,设AjB'的坐标分别为你:，4Q.

刖，g).曼・由/4，8,=90*.|OA*|=l,|OB,1=丽复

数乘法的几何意义，得

(2pt?+2ptli)»=2^+2ptai.

由复数相等的条件，得

-18C]=却©,

消去P，解得tz=2.

从而B'的坐标为(8p,4p).

|0B"=J(8p)+(4p)'=8.

2

1"PF

•.•线段BB'的中点C的坐标为(4p,2p+4),

故直线I的方程为y=端端c的方程为r=华工

【分析7】在解法5中，利用复数乘法的几何意义，发现了A，、B，坐标

之间的关系式，从而获得简解.如图1—8,点B'与点A'的坐标关系也可用平

面几何法得到.

【解法7】如图1—8,作A'CLOx于C,B'DLOx于D.设A'、B'的

坐标分别为(x“yj、(x2,y2).

NB'OD+NA'0C=90°，

RtAA(COSRSODB'.

|0B1|0D[|BT|

joAj"jTq-"oc-

又|OA'|=1,|OB'|=8,

|0D|=8|AzC|,|B'D|=8|0C|.

于是X2=-8y”y2=8xl.

以下同解法5,从略.

【解说】本例给出了七种解法.解法1是本题的一般解法，它的关键是求

点A、B关于1的对称点的坐标.解法2是三角法，它

TT

抓住=y,利用三角商数的定义去求AL的坐标.解

法3是极坐标法，巧妙利用了A'、B'的特殊位置.解法4是利用抛物线

的参数方程去解的.解法5和解法7是从寻找A'、B，的坐标关系式入手的，

分别用复数法和相似形法获解.解法6把参数法与复数法结合起来，体现了思维

的灵活性.总之，本例运用了解析几何的多种方法，是对学生进行求异思维训练

的极好例题.

(三)逆向思维

在人们的思维活动中，如果把A-B的思维过程看作正向思维的话，那么就

把与之相反的思维过程B-A叫做逆向思维.

在平常的学习中，人们习惯于正向思维，而不善长逆向思维.因此，为了培

养思维的多向性和灵活性，就必须加强逆向思维训练.在解题遇到困难时，若能

灵活地进行逆向思维，往往出奇制胜，获得巧解.

在解析儿何中，培养学生逆向思维能力，要注意逆用解析式的儿何意义、逆

用曲线与方程的概念和逆用圆锥曲线的定义.

例4设a、b是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=na+b,nWZ},B={(x,y)|x=m,

y=3(m2+5),mWZ},C={(x,y)/+于忘144}是平面xOy内的点焦，讨论是否存

在a和b,使得：⑴ACBW。；(2)(a,b)6C.(1985年全国高考理科试题)

【解】由已知可得，a、b是否存在等价于混合组

{na4-b=%’+5)

是否有解.

W+bV+i

以上二式的儿何意义是：如图1-9,在平面aO'b中，na+b=3(rf+5)是直

线，区+4忘144是圆面(即圆好+于=144的边界及其内部).因此，这个混合组有

解的充要条件是直线na+b=3(n%5)与圆^+£=144有公共点，即圆心0'(0,

0)到这条直线的距离dW12.

从而与兽《⑵

即(n2+5)2^16(n2+l),

二n」6n49WO,

即5-3)2<0.

又(nT)。。,

n2=3.这与n是整数矛盾.

图1-9

故满足题中两个条件的实数a、b不存在.

【解说】这种解法中，把混合组翻译成儿何语言(直线和圆面是否有公共

点)就是解析法的逆向思维.教学实践表明，学生普遍认为这种解法难想，其实,

“难就难在逆向思维”，普遍认为这种解法巧妙，其实，“巧就巧在逆向思维”.

习题1.2

22

1.已知圆C：(x+l)z+(y-2)2=4与圆G：(x-3)+(y-4)=25,求它们外公切

线交点P的坐标.

2.已知直线1过点P(l,4),求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程.(要

求至少5种解法)

3.已知***+&=l(a>b>Q),A.B是*0上的网点，蜗AB

则-巴20〈巴士.

aa.

（要求至少4种证法）.（1992年全国高考理科试题）

4.长度为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为

M,求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标.（要求至少4种解法）.（1987

年全国高考理科试题）

5.已知2a+3b=5,求证：直线ax+by-5=0必过一个定点.

6.+b^nB=qcoap声5+亍&

2

F*©kA

EZ),--------1求由

2-----2

7.已知三个集合M={(x,y)|y2=x+l),S={(x,y)14x2+2x-2y+5=0},

P={(x,y)|y=ax+m}，问是否存在正整数a、m使得(MUS)CPR?(其中。表

示空集)

习题1.2答案或提示

i.式T，$.

2.<-J=l(a>0,b>0),第由P€L・+

abab

-1.ft%li由Tb=^">0.从lSa>l.a+b=(a-l)+

•(3+5=9.TJI当a=3,6=时.加

铝，雌2.Km=a+b,痴…二，从

36a-1

式法可得m>9.解法3,由』+?=Lfl(a-l)%-4)=4,从而a+b・

&D

_________i4

(a-l)4-(b-4)4-5>27(a-0(b-^+5=9.雌4.a+b=(a+0(TQ

ao

=5+3工>5+2^♦f=9,Wfe5,由2+：=t(40b>(0,Rlifc-

abVababa

4兀

=co«'0-=ritt36(0<6<—)JMa+b-sec30*4csc30-5*tgJ

9b2f

0+4d«ao>5+2jlgq8•4^8=9.

3.证法1：设A、B的坐标分别为(x”y)和(xz,脸,

1

■由己%I,由|PA|=1PB1,fftMt-Me)+yl=(Ka*yL

a

a：=F-Id，7：=F吗-xg・yY)

Afl&：.

可•・=幺尹•二再由-«“，叼<%且%人，»-2a<

JLA.

o+叼<2gE-二旦5<

aa

|PA|=r,则圆P的方程为（x-x>+y2=r2,与椭圆方程联立，消去y,得

--2"--Zx+120+b'-r'=0,由韦达定理.得丐十!-.t

aa-b

证法羽设线段AB的中点醺工y)＜屯+巩工-”,，-4,

把A、B的坐标代入椭圆方程中，后把所

舸期g咤竽.又由岫，哂±・3」.从国

=工+萼・之坦工又由可回结论.证法％设・国的

1K自动窗JP=-M(e'.p・j，MBfl瞠制冽为(P“g

i-eoosvac

)、(P”0J,点P的坐标为(t,0),则t=x°+c.由|PA|=|PB|,可得

P；-2Plta»8i=P：-2P；tco>ei”…<D.又由PL=Y7^i-，Pl

中

=Z~A，t=

l・ecosjePteP3

t=芷铲2又言皿PS言做去y<芝工

即-=<!<=

aa

4.解法l：设A(*i，30,B(Z4>口)，兄兄=K(,y：=5由|AB|

3,+

=3^T^(y1-y1)[H-(jri+ya)]=9.设M(小力，fil«=|(«l«a)-x

44

(y?+力=/gF)’+(n+%)；+1-rJ'Kn%)'+il

-0=j-当刖小值:时为©.士号・解法2序捌武法.由

4442

|AB|=3#«=-(y?+^),可承小必下+2力以+9-2x-4x,■。.由4

>0,傅4-16(9-2«-4-)>0.所以《>。.懒三设M(M,，找直线AB

4

的参数方程为；；：:=；M/=却孰小=暗月=~劭

.。="乙匕/，骷a怖'=：«"+武江加+4

915

O*777^-11>GQX3-D--.*»8(^，。,用由|AB|-3,硼

1/^y4q

AjfyJ+3co«9,y.+lsinB),所以力+五口曾，=y：+3cos。.从而加

3cos

S8=；10。-San30).轴也yXMx-y?*^co«8-

044

*9痴'0**-D*(2小•0•

5.逆用点在直线的概念，得定点为(2,3).

6.在直角坐标系中，由已知两个等式可知，直线ax+by=c过点

豌的。，in8),B(coar.疝口■).又宜^AB的方程为~~-

K-co«8

手.即》».^^+yrin，；2=81与上.于是.由网直线

g3”g3

重合的条件，可证得结论.

由刊蛾茄』+I与丁=W+工埒在布必

7.》刖为±1

和♦，所以珀t(MUanP="又送N,版i-2.由

44

y=az+2J\

/…加,当A3-8a+l<0,aPaWl..l+»)

y■«*2.

味方程稣渊叫5U6N,故a=l.这时•方程统

厂2K

也无实数解.故a=l,m=2.

思维方法•分析综合法

综合法、分析法和分析综合法是平面解析几何中论证命题的基本方法.

从已知条件出发，运用学过的定义、公式、定理进行一步步地正确推理，最

后证得结论，这种论证命题的思维方法叫做综合法.从命题的结论入手，寻找使

这个结论成立的充分条件，一直追溯到已知条件为止，这种论证命题的思维方法

叫做分析法.把分析法与综合法结合起来去论证命题的思维方法叫做分析综合

法，它是从一个命题的两头向中间“挤”，因此容易发现证题的突破口，收到事

半功倍的效果.

例1设A、B、C是双曲线xy=l上的三点，求证：4ABC的垂心H必在此双

曲线上.

【分析】如图1-1,设H的坐标为(x0,%),要证H在此双曲线上，即证

x<,yo=l.而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所

得方程组中设法推出x0y°=l.

【证明】如图1—1,由已知可设A、B、C的坐标分别为(a,

卷)、Y-)-

..ji

,-一斤

k=-PT.

从而直线AH的方程为y，2=07（x・。）.

同电直线BHft方程为八千二丫用邛），

设点H的坐标为（x0，y„），则

y.­=PT(«o-a)①

y.-j-=7tt(Io-p)

由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得

。7（%-白吸邢）=07（%母&-S，

化简可得xoy（>（a-3）=a-g.

aWB,Xoy0=l.

故H点必在双曲线xy=l上.

【解说】本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=l

上就是证x°y0=l.这为综合法证明此题指明了目标.在用综合法证明的过程中，

牢牢抓住这个目标，去寻找X。、%的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参

数a、B、Y,得到x°y°=l.从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度.

例2在直角坐标系xOy中，已知Ai（x“仕）、Az（x”yz）是单位圆x2+yF内

任两点，设点P（x,y）是以线段AA为直径的圆上任一点，求证：x2+y2<2.

【分析】欲证犬+丫2<2,由于A,、也是圆好+歹=1内两点,

所叫:+A<1,€+6<1，从加:+M：+*+，<2,徐

为fiM+/《；+*；+4+,；.为此，需舞群泡唯座标与点A『.

坐标的关系式，又点P在以AA为直径的圆上，故可从PA」PAz入手去证.

【证明】当P是直径AA的端点时，结论显然成立.当P不是直径AA的

端点时，如图1一2,连结PA、PA”则PA」PA”

图1-2

从而(x-X|Xx-*a)G-力)-0,

22

即x+y-(xi+x2)x-(yi+y2)•y+x,x2+y1y2=0,

22

•*.x+y=(xi+x2)x+(yi+y2)y-xlx2-y1y2.

7(«i+«,)!<%/+(!+!)']

+€)+*&•

(n+5h)y<

=%'“M+U)+力外，

•••，+产号(*'+/)+%■：+♦)+(£+渤,

<■4

从而P+/<(*；+")+(KJ+力.

又由Ai、A,是圆x2+y-l内两点，得

U+y；<i，

+0〈父+才)+y+yi)<21

故x2+y2<2.

【解说】乍看，本题难以下手.但用分析综合法，把被证结论转

化为？+f<寸+4+月+月后・利用已知条件PAJPA用不等式ab

〈”+口）后，丽便幽丽

例3已知P是椭圆bq+ay=a2b“a>b>0）上任一点，£、艮是左、右两个

焦点，NPFR=a,NPFE=B,e是离心率，求证：

aP1-e

电=

22l+e

RE唧欲证吟・J=S

输?成：i--

即证22_a

aP

coi—cos—1+—

22

a.B

m-2flnT

V&E

aPa*-c

3TC01T

由合分比定理，得只需证

apa£

an—sin-*«»­«>»

222~22a

apaP-2c*

in—an--co1—co«

222T

8«5（a-p）

明ET------

*力

①

如图1-3,在△PFF中，由正弦定理，得

幽I图眄|

AQCLan&n（Cl+P）1

从而幽卜㈣IF闻

sina-1•anp+

|PF/+|PF/=2a,|FF/=2c,

2a

ana-i-aiip^n（a+B）'

_and4-anPa

11

SJ■l=—

"A«a+B）c

由和差化积公式和倍角公式，得

a+Ba-B

2an---cos---

______22

a4-Ba+B

2an---cos---

22

cos------。

______i_____匕

a+0c

2~

即①式成立.

故原结论成立.

【解说】本例的上述证法就是分析综合法.它从被证结论入手，把它转化

为证①式成立，这个过程是分析法.然后，从已知条件出发，运用解析几何、三

角知识推得①式，这个过程是综合法.

习题1.1

用分析综合法证明下列各题：

1.已知a、b、c满足3(a2+b2)=4c2(cW0),求证：直线ax+by+c=0与圆

x2+y-l有两个不同的交点.

2.设1«14+4=1(8＞»。上有点?，以财m的右・点，

ab

。为原点.flZOPA=9(r,求fib挖.

b

3.已知乂«帼捺+昌=1色＞1＞〉6上异询"峋任一点.

B、B，是此椭圆的短轴的两个端点，BM与1M分别交x轴于K、N两点.求

证:|0N|•|0K|=a2.

4.设E、F2是双曲线x2-y2=a2(a＞0)的两个焦点,P为该双

曲线的右支上任一点，O1JR点，求证，2c国爵叫＜2

5.已斓=两条串径OA.OB互相垂直，求证，

ab

l11I

而上阿TP

习题i.i答案或提示

1.欲证直线与圆有两个不同的交点，只需证圆心0到直线的距离

小于霸的耨.因为距阚=荐］,又由改.得匹萨=舄4

**b

解U=.Vi.

2.欲证［〉四,IB蕤立关于&赧科式.设点式.，yj.0。

<a.又点P既在椭圆上，又在圆x?+y2-ax=0上，由此可得出一)

K|+a、i--小=0,8P(a「力［(14>1)7--］=0,从而可--5―

<4T*；〉低

D

3.欲证|0K|­|0Nha2,需要求出K、N两点的横坐标，从而只需求出直线

BM、B'M的方程.

4.ift-~~=u-BPfiE24^2点.y1)>由

焦亭径公式和网点间距离公式及<；・4=?・可得*；==，进而

2u-8

向环等式宰7AL可将2V*m.

2u-8

5T证大品原WG应先求出曲利苏・由于

&BMH4+^-=i±ftA.^5U>Bft缔邠M|OA|.|阳访.

.从而设耶》|8>a,|QA|ma).BqcB|c«

屋f和国'

aty),|OB|A«Qt刍,把它们分册MIH方程.便可得到加

co*?aan1a41sin：acos1a

-和两

思维方法-数形结合观点

解析几何是数形结合的科学，其显著特点是用代数的方法研究几何图形的性

质，从而把代数、儿何、三角熔为一炉.解题时，要贯穿数形结合的观点，不但

要注意把图形数字化和把数式图形化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目

中的隐含条件，充分利用图形的儿何性质，把数与形有机地结合在一起，去探索

问题的最佳解法.

例1过圆M：(x-l)2+(yT)2=l外一点P向此圆作两条切线，当这两切线

互相垂直时，求动点P的轨迹方程.

【分析】本题一般用参数法去解，但运算量大且有一定的技巧，不易求

解.如果运用数形结合的观点，仔细观察图形的性质，不难发现动点P是正方形

PTML的顶点，因此|PM|是定值，立得简捷解法如下.

图1-10

【解】如图1—10,设切点为T,、L,连结MR、MTz、PM,则MT」TF,ML

±PL,又TFJ_PT”且|PT,|=|PTZ|,那么MTPTI

是防舫从而止凶=阊皿|=耳

设动点P(x,y),则(x—l)2+(yT)2=2,这就是所求的轨迹方程.

例2定・G1-货+«印=(，上有动点p,它关于定点M7口

的对称点为Q，点P绕圆心C依逆时针方向旋转120°后到达点R,求线段

RQ长度的最大值和最小值.

8所与解1本瓯TR雌是,先设点PO+,cosa,3+温

a),然后求出点Q、R的坐标，最后用两点间距离公式，求出IRQI的最值.但

这种解法运算量较大，还易出错.

观察图1-11,在△PRQ中，欲求IRQ因A是PQ的中点，易想起三角形的

中位线,从而取PR的中点B,连结BA,则|RQ|=2|AB|.又

B是茯RP的中点，连CB,JWCB1RP,ZBCP=jzPCR=6O*,所以

1叼=38|=：・于是，点以期船是以皿为隹的图.这时，

求IQRI的最值，转化为求点A与所作圆上点的距离的最值.过C、A作直线,

交所作圆于B,、B。两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为

-------------------525

IABJHAQ4-1叫=Ja了+(0f2+工=—.|AB|的最小值为JABJ

#CHCBJ=5-，=胸QR|的量大值,最小值分别为裂吟.

例3设关于I的不等武g”/〉(a-Di的解集为A.flAC(ip<

x<2},求a的值集.

【分析与解】本题如果用纯代数法，着眼于求出集合A,就相当麻烦.如

果用数形结合的观点看待已知不等式，从“形”的角度去考虑可得下列简捷解法:

设y=-X1(0<K<4),J#ya=4«即+jr；=4

(0<*<4fy>0).T*.y=的几flffl就是61(2,2

为半径的半圆(如图1—12),而y=(aT)x是过原点的直线束.

问题转化为：求半圆在动直线上方且0<xV2时，a的值集.易得a-121,

即a22.

故a的值集为{a1a22}.

【解说】由以上三例可知，数与形密切配合，坐标法以图形性质相助，如

虎添翼，问题可迎刃而解.

习题1.3

用数形结合观点解证下列各题：

1.过圆M：(x—a)z+y2=a2(a>0)上一点A(2a,0)作此圆的动弦AB,求AB

中点P的轨迹方程.

2.求证,以双曲线W*-4=Ka>。，b>0的鬃点弦AB为直径的国

必与相应的准线相交.

3.已如实效，、遍足(*印+/=3,承，的最大值.

4.己知―足J/+尸-2«+l+J?+y,+2.+1=8.求

u=x?+y2的最大值和最小值.

5.已如aJl-b,+bTTF=1,求证，W+b'=l.

习题1.3答案或提示

1.连MP,则MP_LAB,从而P的轨迹是以AM为直径的圆，方

程为(x-+尸-g>)L

2.欲证准线1与以AB为直径的圆相交，即证圆心M到1的距离小于半径.设

过A、B、M分别作准线1的垂线，重足分别为P、Q、N,

删MI制QAPMBQ)=》中+写吟明得网心也整为

鬣氤民AB).

3.设，=HWy=kx.这时，国，1与1+/=3上点与原点连线

的斜率.J=，,

4.己丸蹲式为麻〒+而可亍=8,它的曲童义是，点P

(x,y)是以FK-1,0)、R(l,0)为焦点、长轴为8的椭圆上的动点.u皿=16,

um„=15.

5.=PGub)•伸HilTH,M

|0P|XPH1，即而豆>哗」-I.从而+宁乂2+

Vl-ba+l-aJ

b2)]>h即(aTb-DWO,所以a，+b2=l.

学科方法・参数法

参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现.参数是解析几何中最活跃

的元素，也是解题的一种主要方法.解析儿何中的许多解题技巧都来源于参数观

点.

(一)参数法解题的基本步骤

参数法解题的步骤是：

(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；

(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；

(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决.

例1已知抛物线y2=2px(p>0),在x轴的正半轴上求一点M,使过M的弦

PR,满足OP」OB.

【解】如图2—5,设M(m,0)(m>0)>P[(x”y)、P2(x2,y2).

0P,10P2,

:.