练习卷 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1～1.3习题课(原卷版）1．【多选题】下列命题中，是真命题的是()A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为()A.eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1C．－eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1 D.eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)，13．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|＝()A．2eq\r(2) B.eq\r(10)C．3 D．44．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)，则该四面体的体积为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)5．【多选题】已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2，－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，y，1)，下列结论正确的是()A．若A，B，C，D四点共面，则∃λ，μ∈R，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ＝2B．若A，B，C，D四点共面，则∃λ，μ∈R，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，μ＝2C．若A，B，C，D四点共面，则y＝4D．当AD⊥AC时，y＝16.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N，E，F分别是AB，CD，BC，AD的中点，则()A．MN⊥ABB．MN⊥CDC．向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(CM,\s\up6(→))所成角的余弦值为eq\f(2,3)D．四边形MENF为正方形7．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)的方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为()A．(－1，－2，3) B．(9，4，－13)C．(－7，0，19) D．(1，－2，－3)8.【多选题】如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则()A．AP⊥BCB．异面直线AC与PD所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)C．异面直线PC与AB所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)D．三棱锥P－ABC的体积为eq\f(16\r(6),3)9．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝________．10．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝eq\f(1,2)，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝eq\f(5,2)，且对于任意x，y∈R，有|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1，x0，y0∈R，则|b|＝________．11.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．12.如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，则点M的坐标为________．13.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c.(1)试用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up6(→))；(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．14．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)若点D在直线AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，求点D的坐标；(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB1上，点N在线段BC1上，且MN⊥AB1，MN⊥BC1.求：(1)〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉；(2)eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．1．【多选题】已知向量a＝(1，1，0)，则与a共线的单位向量e等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0)) B．(0，1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)) D．(1，1，1)2．在四面体OABC中，空间的一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，若M，A，B，C四点共面，则λ等于()A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,2)3．在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比较大小4．已知a＝(1，－2，3)，b＝(－1，1，－4)，c＝(1，－3，m)，则“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知P(3cosα，3sinα，1)和Q(2cosβ，2sinβ，1)，则|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[0，5] B．[1，25]C．[1，5] D．(1，5)6．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则log3|xyz|等于________．7．已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)．(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值；(2)若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(AC,\s\up6(→)))⊥(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，求k的值．8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq\r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．1.1～1.3习题课(解析版）1．【多选题】下列命题中，是真命题的是()A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等答案ABC解析对于A，向量是有向线段，不能比较大小，故A为真命题；对于B，两向量相等说明它们的方向相同，模长相等，若起点相同，则终点也相同，故B为真命题；对于C，零向量为模长为0的向量，故C为真命题；对于D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题．2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为()A.eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1C．－eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1 D.eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)，1答案A解析d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1，,x－y＋z＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝－1.))3．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|＝()A．2eq\r(2) B.eq\r(10)C．3 D．4答案C解析因为b∥c，所以2y＝－4×1，所以y＝－2，所以b＝(1，－2，1)．因为a⊥b，所以a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，所以x＝1，所以a＝(1，1，1)，a＋b＝(2，－1，2)．所以|a＋b|＝eq\r(22＋（－1）2＋22)＝3.4．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)，则该四面体的体积为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)答案A5．【多选题】已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2，－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，y，1)，下列结论正确的是()A．若A，B，C，D四点共面，则∃λ，μ∈R，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ＝2B．若A，B，C，D四点共面，则∃λ，μ∈R，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，μ＝2C．若A，B，C，D四点共面，则y＝4D．当AD⊥AC时，y＝1答案AC解析由A，B，C，D四点共面，得∃λ，μ∈R，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ(1，1，1)＋μ(1，2，－1)＝(3，y，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝3，,λ＋2μ＝y，,λ－μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1，,y＝4，))故A、C正确，B不正确．由AD⊥AC，得eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.所以3＋2y－1＝0，解得y＝－1，D不正确．6.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N，E，F分别是AB，CD，BC，AD的中点，则()A．MN⊥ABB．MN⊥CDC．向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(CM,\s\up6(→))所成角的余弦值为eq\f(2,3)D．四边形MENF为正方形答案ABD解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(→))＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(q·p＋r·p－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD，A、B正确．设向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))的夹角为θ，因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(q＋r)，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝q－eq\f(1,2)p，所以eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)p))＝eq\f(1,2)(q2－eq\f(1,2)q·p＋r·q－eq\f(1,2)r·p)＝eq\f(1,2)(a2－eq\f(1,2)a2cos60°＋a2cos60°－eq\f(1,2)a2cos60°)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(a2,4)＋\f(a2,2)－\f(a2,4)))＝eq\f(a2,2).又因为|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)a，所以eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝|eq\o(AN,\s\up6(→))||eq\o(MC,\s\up6(→))|cosθ＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)a×cosθ＝eq\f(a2,2).所以cosθ＝eq\f(2,3).从而向量eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(CM,\s\up6(→))所成角的余弦值为－eq\f(2,3)，C错误．因为eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(FN,\s\up6(→)).所以四边形MENF为平行四边形．因为eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\o(EN,\s\up6(→))·eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(EN,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))，|eq\o(EN,\s\up6(→))|＝|eq\o(ME,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)a.所以四边形MENF为正方形．D正确．7．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)的方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为()A．(－1，－2，3) B．(9，4，－13)C．(－7，0，19) D．(1，－2，－3)答案C8.【多选题】如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则()A．AP⊥BCB．异面直线AC与PD所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)C．异面直线PC与AB所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)D．三棱锥P－ABC的体积为eq\f(16\r(6),3)答案BCD解析取AC的中点O，连接OP，OB.因为PA＝PC，所以AC⊥OP，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以OP⊥平面ABC，又因为AB＝BC，所以AC⊥OB.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△PAC是等腰直角三角形，PA＝PC＝4，△ABC为等边三角形，所以A(0，－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(6)，0，0)，C(0，2eq\r(2)，0)，P(0，0，2eq\r(2))，D(eq\r(6)，－eq\r(2)，0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(2)，2eq\r(2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2eq\r(6)，2eq\r(2)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝8≠0，A不正确；因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，4eq\r(2)，0)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(eq\r(6)，－eq\r(2)，－2eq\r(2))，所以cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(PD,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(PD,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,4\r(2)×4)＝－eq\f(\r(2),4)，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)，B正确；因为eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(2)，－2eq\r(2))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2eq\r(6)，2eq\r(2)，0)，所以cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(PC,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(8,4×4\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)，C正确；三棱锥P－ABC的体积VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PO＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(2))2×2eq\r(2)＝eq\f(16\r(6),3)，D正确．9．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝________．答案eq\f(14,3)10．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝eq\f(1,2)，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝eq\f(5,2)，且对于任意x，y∈R，有|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1，x0，y0∈R，则|b|＝________．答案2eq\r(2)解析问题等价于|b－(xe1＋ye2)|当且仅当x＝x0，y＝y0时取到最小值1，平方即|b|2＋x2＋y2－2b·e1x－2b·e2y＋2e1·e2xy＝|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy.已知上式在x＝x0，y＝y0时取到最小值1，x2＋y2＋(y－4)x－5y＋|b|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y－4,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)(y－2)2－7＋|b|2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(y0－4,2)＝0，,y0－2＝0，,－7＋|b|2＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝2，,|b|＝2\r(2).))11.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．答案eq\f(\r(30),30)12.如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，则点M的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))解析由题意，知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－a，a，a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－a，y，z)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x－a，y－a，z)．因为eq\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(AC1,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0.所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①因为eq\o(AC1,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，所以设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC1,\s\up6(→))，则x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa(λ∈R)，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②，得x＝eq\f(2a,3)，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).13.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c.(1)试用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up6(→))；(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．解析(1)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－c－b－a＝－a－b－c.(2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，a·c＝2×3×eq\f(1,2)＝3，b·c＝2×3×eq\f(1,2)＝3，∵eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，∴|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,4)（a＋b＋c）2)＝eq\r(\f(1,4)（a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c）)＝eq\r(\f(1,4)×（22＋22＋32＋0＋2×3＋2×3）)＝eq\r(\f(29,4))＝eq\f(\r(29),2).14．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)若点D在直线AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，求点D的坐标；(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．解析(1)由题意知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，点D在直线AC上，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)，∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2，1，6)＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)，∵eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3)＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，∴λ＝eq\f(1,2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，4)).(2)∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，1，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋12＋（－3）2)＝eq\r(14)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋（－2）2＋（－1）2)＝eq\r(14)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，∴cosB＝cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(7,\r(14)×\r(14))＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴S＝eq\r(14)×eq\r(14)×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3)，∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7eq\r(3).15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB1上，点N在线段BC1上，且MN⊥AB1，MN⊥BC1.求：(1)〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉；(2)eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解析(1)由题意可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，1，1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0×(－1)＋1×0＋1×1＝1，|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋12＋12)＝eq\r(2)，|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(（－1）2＋02＋12)＝eq\r(2)，所以cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).所以〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).(2)设点M(1，x，x)，N(y，1，1－y)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(y－1，1－x，1－x－y)．因为eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（y－1，1－x，1－x－y）·（0，1，1）＝0，,（y－1，1－x，1－x－y）·（－1，0，1）＝0，))化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x－y＝0，,2－x－2y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))所以eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3))).1．【多选题】已知向量a＝(1，1，0)，则与a共线的单位向量e等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0)) B．(0，1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)) D．(1，1，1)答案AC2．在四面体OABC中，空间的一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，若M，A，B，C四点共面，则λ等于()A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,2)答案A3．在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比较大小答案C解析因为eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2)＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|cos120°<0.所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).4．已知a＝(1，－2，3)，b＝(－1，1，－4)，c＝(1，－3，m)，则“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析当m＝1时，c＝(1，－3，1)，易得a，b，c不共面，即{a，b，c}能构成空间的一个基底，即“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的充分条件；当{a，b，c}能构成空间的一个基底时，则a，b，c不共面，设a，b，c共面，即c＝xa＋yb，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝1，,y－2x＝－3，,3x－4y＝m，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，,m＝2，))即当{a，b，c}能构成空间的一个基底时，m≠2，即当{a，b，c}能构成空间的一个基底时，不能推出m＝1，即“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的不必要条件．综上所述，“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的充分不必要条件．5．已知P(3cosα，3sinα，1)和Q(2cosβ，2sinβ，1)，则|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[0，5] B．[1，25]C．[1，5] D．(1，5)答案C6．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\