沪教版 九年级数学 相似三角形的模考汇编复习

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卷知识定位

/考情分析：

/

I

相似三角形这个知识点，是初中几何知识的核心，锐角三角函数会用相似，

旋转会用到相似，圆中也会用到相似。相似三角形作为中考题的重要组成部

分，是因为它不仅可以考察学生对图形相似的认识有多深刻，并且又利于学

生对以前学过的全等三角形知识进行巩固和提高。正是由于这种综合性的特

点，决定了相似三角形在中考中的重要地位.

考试占比：

相似三角形在上海中考中一般都出现在最后两题压轴题中，几何压轴和函数

压轴。几何压轴基本都是与三角形、四边形与全等、相似的结合，外加一些

动点问题。而函数压轴，基本就是二次函数、一次函数与相似结合，考证占

的分值在20分左右。

售题型梳理

一:密例题精讲

◎题型梳理1:线段比例

【题目】

（2012•普陀区一模）如图，G为AABC的重心，若EF过点G且EFIIBC,交AB、AC于E、

F,则理的值为.

【解析】试题分析：如果连接AG并延长，交BC于点P,由三角形的重心的性质可知

AG=2GP,贝!!AG:AP=2:3.又EFllBC,根据相似三角形的判定可知AAGF^APC,得

出AF:AC=2:3,最后由EFllBC,得出AAEF-AABC,从而求出EF:BC=AF:AC=2:3.

解：如图，连接AG并延长，交BC于点P.

•.G为'ABC的重心,

.-.AG=2GP,

/.AG:AP=2:3,

.EF过点G且EFllBC,

.,.△AGF-^APC,

.-.AF:AC=AG:AP=2:3.

又「EFllBC,

.".AAEF-AABC,

,EF=AF=_2

-'BC-AC-7,

故答案为：-r-.

总结：本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质.三角形三边的中

线相交于一点这点叫做三角形的重心重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍平

行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似.相似三角形的三边对应成

比例.

【难度系数】3

例题精炼

【题目1.11

(2018•长宁区一模)如图，在AABC中，点D在边AB上，DEIIBC,DFllAC,DE、DF

分别交边AC、BC

于点E、F,且■暮。.

ECz

(1)求昙的值；

=

(2)联结EF7设BC=a，ACb，用含a、b的式子表示EF,

【答案】(1)-1；(2)4b-4a

DDD

【解析】试题分析：(1)由薯=沏偿■=!■，根据DEIIBC知兽=整=看,由DFIIAC

iSO/AL/3XHLL-1AC,5

可得普嘿2.

5z

(2)由冷福知蓝珞，据此可得注品同理知翁舒根据平行四边形法则可

DU0DU0

得答案.

解•（1）..3E_=±

W-1'EC2

,EC=2

AC5

•.DEllBC,

,BD=EC=2

,'AB-AC

X/DFiiAC,

,BF=BD=2.

,,BC-AB'

,.BF_2

（2?）BC-51

,FC_2

■BC-y,

-BC=a，而与正方向相反，

—•3一

•ay

同理：EC=Tb，

□

d—•—•—•2—•3—

X---EF=EC+CF=yb-ya-

总结：本题主要考查相似三角形的判定与定理及向量的计算，解题的关键是熟练掌握平行

线分线段成比例定理及向量的计算.

【难度系数】4

2D例题精炼

【题目1.21

(2018•奉贤区二模)已知：如图,梯形ABCD,DCIIAB,对角线AC平分/BCD,点E

在边CB的延长线上，EAJ_AC,垂足为点A.

(1)求证：B是EC的中点；

(2)分别延长CD、EA相交于点F,若AC2=DC・EC,求证：AD:AF=AC:FC.

【答案】(1)B是EC的中点；(2)AD:AF=AC:FC

【解析】试题分析：(1)根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出NBCA=NBAC,进

而可得出BA=BC,根据等角的余角相等结合三角形外角的性质,即可得出BE=BA,进而

可得出BE=BC,此题得证；

(2)根据AC2=DC・EC结合NACD=NECA可得出AACD^AECA,根据相似三角形的性质

可得出NADC=NEAC=90°,进而可得出NFDA=NFAC=90°,结合NAFD=NCFA可得出△

AFD^CDA,再利用相似三角形的性质可证出AD:AF=AC:FC.

证明：(1)[DCIIAB,

R.NDCA=NBAC.

■.AC平分/BCD,

..NBCA=NBAC=NDCA,

..BA=BC.

•.zBAC+zBAE=90°,zBAC+zABC+zBCA=180°,

.-.zBAE=-zABC.

2

■.NABC=NBAE+NBEA,

.•.NBAE=NBEA=£NABC,

.'.BE=BA=BC,

.'.B是EC的中点;

(2)•,-AC2=DC«EC,

.AC=DC

"EC"AC'

.NACD=NECA,

.•.△ACD-^ECA,

..NADC=NEAC=90°,

.-.zFDA=zFAC=90o.

又.NAFD=NCFA,

.".△AFD'-,ACDA,

..AD:AF=AC:FC.

总结：本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及等

腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用等角对等边找出BA=BC、BE=BA;(2)利用

相似三角形的判定定理找出AAFDiCDA.

【难度系数】4

◎一题型梳理2:相似与平行四边形

【题目】

(2012•上海)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD,zBAF=zDAE,

AE与BD交于点G.

(1)求证：BE=DF;

【答案】(1)BE=DF;(2)四边形BEFG是平行四边开乡

【解析】试题分析：（1）证得AABE与AAFD全等后即可证得结论；

（2））利用瞿=瞿得到罂皤关,从而根据平行线分线段成比例定理证得FGIIBC,

rCDrrCDE（JD

进而得至!UDGF=NDBC=NBDC,最后证得BE=GF,利用一组对边平行且相等即可判定平

行四边形.

证明：（1）•.四边形ABCD是菱形，

..AB=AD,NABC=NADF,

i.zBAF=zDAE,

.'.zBAF-zEAF=zDAE-zEAF,

即：zBAE=zDAF,

.•.△BAE%DAF

.■.BE=DF;

(2)•.四边形ABCD是菱形，

/.ADIIBC,

.'.△ADG'-'AEBG

,AD=DG

-BE-BG

▽-RF-DFDF_AD

又BE-DF，而-市

,DG=AD=DF

'BG_DF-FC

嗡嗡，又NBDCZGDF

故ABDCSAGDF,再由对应角相等有NDBC=NDGF

■••GFIIBC(同位角相等则两直线平行)

.,.zDGF=zDBC

■.BC=CD

..NBDC=NDBC=NDGF

..GF=DF=BE

•.GFllBC,GF=BE

..四边形BEFG是平行四边形

总结：本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如

何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键.

【难度系数】4

：：■例题精炼

【题目2.1]

(2018•静安区二模)已知：如图,在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E,点F在

BC的延长线上，联结EF、DF,且NDEF=NADC.

(1)求证：；

DrUD

(2)如果BD2=2AD・DF,求证：平行四边形ABCD是矩形.

【解析】试题分析：(1)由已知条件和平行四边形的性质易证SDBSAEBF,再由相似三

角形的性质：对应边的比值相等即可证明：Md；

DrDD

(2)由(1)可得BD2=2AD・BF,又因为BD2=2AD«DF,所以可证明BF=DF,再由等腰

三角形的性质可得NDEF=90°,所以NADC=NDEF=90°,进而可证明平行四边形ABCD是

矩形.

解：(1)证明：•.平行四边形ABCD,

.-.ADllBC,ABIIDC

.-.zBAD+zADC=180o,

X/zBEF+zDEF=180°,

.-.zBAD+zADC=zBEF+zDEF,

.NDEF=NADC,

;.NBAD=NBEF,

■.ABllDC,

;.NEBF=NADB,

.".AADB'-,AEBF,

.EFAB.

"BF^DB(

(2)“ADBSAEBF,

,ADBE

一丽丽，

在平行四边形ABCD中,BE=ED”BD,

.-.AD»BF=BD«BE=^BD2,

.-.BD2=2AD.BF,

又1BD2=2AD・DF,

.-.BF=DF,

."DBF是等腰三角形，

.BE=DE,

.-.FE±BD,

即NDEF=90°,

R.NADC=NDEF=90°,

二平行四边形ABCD是矩形.

总结：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)

小题证明ADBF是等腰三角形是解题的关键.

【难度系数】4

：D例题精炼

【题目2.2]

(2018•徐汇区一模)如图在AABC中，AB=AC,点D、E、F分别在边BC、AB、AC±,

且NADE=NB,NADF=NC,线段EF交线段AD于点G.

(1)求证:AE=AF;

(2)若瞿冬，求证：四边形EBDF是平行四边形.

DEAE

A

【答案】(1)AE=AF;(2)四边形EBDF是平行四边形

【解析】试题分析：(1)只要证明ABADSADAE,可得普=黑推出AD2=AE・AB,同法

DAAE

可证：AD2=AF・AC,由此即可解决问题；

(2)分别证明DFUBE,EFIIBC即可；

证明:(1).NADE=NB,zBAD=zEAD,

.1.ABAD,"ADAE,

.AB=AD

"DA"AE'

.-.AD2=AE»AB,

同法可证：AD2=AF・AC,

..AE・AB=AF・AC,.AB=AC,

/.AE=AF.

(2)•"BADSADAE,

R.NAED=NADB=NDAC+NC,

.NDFC=NDAC+NADF,zADF=zC,

.•.NAED=NDFC,

..DFCF

'Df^AE(

.".△AED-ACFD,

.,.zADE=zCDF=zB,

.'.DFIIBE,

.AE=AF,AB=AC,

.-.zAEF=zAFE,NB=NC,

.2NAEF+NBAC=180°,2NB+NBAC=180°,

.-.zAEF=zB,

.,.EFIIBC,

二•四边形EBDF是平行四边形.

总结：本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

【难度系数】4

卷题型梳理3:相似与圆

【题目】

如图，已知。。的半径长为1,AB、AC是。0的两条弦，且AB=AC,BO的延长线交AC

于点D,联结OA、0C.

(1)求证：AOAD-AABD;

(2)当AOCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

(3)记AAOB、AAOD、ACOD的面积分别为Sl、S2、S3,如果S2是S1和S3的比例

中项，求0D的长.

R

【答案】(1)AOAD-AABD;(2)后£后；(3)与^

【角军析】试题分析：(1)由AAOB当AOC,推出NC=NB,由OA=OC,推出NOAC=N

C=NB,由NADO=NADB,即可证明AOADSAABD;

(2)如图2中，当AOCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；

(3)如图3中，作OH^AC于H,设OD=x.想办法用x表示AD、AB、CD,再证明

AD2=AC・CD,列出方程即可解决问题；

(1)证明：如图1中，

K

在AAOB和AAOC中，

'0A=0A

<AB=AC,

OB=OC

.'.△AOB^^AOC,

.,.zC=zB,

•.OA=OC,

.,.zOAC=zC=zB,

...NADO=NADB,

AOADWAABD.

(2)如图2中，①当NODC=90°时,

•.BD±AC,OA=OC,

.,.AD=DC,

.,.BA=BC=AC,

.”ABC是等边三角形，

在RbOAD中，.OA=1,NOAD=30°,

.QD=2OA=5,

22

-'AD-VOA2-OD2--^<

..BC=AC=2AD=«.

②NCOD=90。，NBOC=90。，BC=712+12=V2，

③NOCD显然W9O°,不需要讨论.

综上所述，BC=«或加.

(3)如图3中，作OH^AC于H,设OD=x.

B

HDyc

图3

1,ADAOSADBA,

,AD=OD=OA

''DB-AD~AB'

,AD=x=1

'-74"AD-AB，

•.AD=V7(7nT,AB="x(x+l),

X

••,S2是S和S3的比例中项，

,.S22=S1*S3,

.「S2=^~AD・OH,SI=SAOAC=-^-*AC*OH,S3=1,CD・OH,

222

(-AD«OH)2=—•AC«OH«-<D»OH,

222

，AD2=AC・CD,

；AC=AB.CD=AC-AD=」x1x+l)-4&+1),

X

XX

整理得X2+X-1=0,

解得x=Y1=L或二号工，

22

经检验：x=，1工是分式方程的根，且符合题意，

.QD=^^1.

2

(也可以利用角平分线的性质定理：黑"=黑=当,黄金分割点的性质解决这个问题)

方法2、设OD=x,设AAOB的边上的高为h,则MOD的边OD边上的高也为h,

BQXh

SAA0B^2-=BQ=i

Do

,△AODl.D0Xhx

S^AOB-ai

「SAOD二ax,

「△AOB2△AOC,

「SAOLSSOB二a

-■•SAAOC=SAAOD+SACOD,

「SCOD=a-ax=a(1-x),

是Si和S3的比例中项，

.$2=S1,S3,

/.(ax)2=axa(1-x),

.y_-l±V5

•.入-------------------

2

/OD>0,

2

总结：本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例

中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考

压轴题.

【难度系数】4

:n例题精炼

【题目3.1]

(2013•嘉定区一模)已知点A、B、C是半径长为2的半圆O上的三个点，其中点A是弧

BC的中点(如图)，联结AB、AC,点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE.

(1)求证：OD=OE;

(2)联结BC,当BC=2后时，求NDOE的度数;

(3)若NBAC=120。，当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积是否变化？若变化,

请简述理由；若不变化，请求出四边形ADOE的面积.

d

【答案】(1)OD=OE;(2)45°;(3)73

【解析】试题分析：(1)先证出AAOB2AoC,NCAO=NABO,再根据BD=AE,证出△

BOD^AOE,即可彳导出OD=OE;

(2股0A和BC交于M彳导出NAOB=NAOC/BOD=NAOE/AOD=NCOE,则NDOE=\

NBOC,NAOC=^NBOC,再根据AB=AC,得出OA^BC,CM=^BC=«，最后根据sin

NCOM=1^=4，得出NCOM=45°,zBOC=90°,zDOE=^zBOC=45°;

(3)先证出SAAOB=SAAOC,SABOD=SAAOETSAAOB-SABOD=SAAOC-SAAOE,SAAOD=SACOE,得

出SAAOE+SAAOD=SABOD+SACOE,S四边形ADOE=1S四边形ABOC,即可证出当点D在弦AB上运

动时四边形ADOE的面积没有变化，再根据NABC=120]得出NOAB=NOAC=60°ABOC

是菱形，再求出AM=1,BC=2*n,得出S菱形ABOC=2、/5,最后根据S四边形ADOE=1S四边

形ABOC即可得出答案.

解：(1)：A是弧BC的中点，

..AB=AC,

连接OB、OA、0C,

,.在AAOB和AAOC中,

'AB=AC

-0B=0A,

OA=OC

.-.AAOB^AOC(SSS),

R.NCAO=NABO,

.AD=CE,

..AB-AD=AC-CE,

即BD=AE,

1,在ABOD和AAOE中，

'0B=0A

<ZCA0=ZAB0,

BD=AE

.•.△BOD2AOE(SAS),

..OD=OE;

(2)设0人和BC交于M,

•.△AOB^^AOC,

R.NAOB=NAOC,

•.•△BOD^AOE,

.,.zBOD=zAOE,

.,.zAOD=zCOE,

.•.NDOE=NAOE+NAOD=SNBOC,

zAOC=zAOE+zCOE=yzBOC,

.AB=AC,

.-.OA±BC,CM*BC=VL

.•.sinNCOM=*"

OC2

.•.NCOM=45°,

.-.zBOC=90°,

.•.NDOE==NBOC=45。;

(3)/△AOB^MOC,

•，­SAAOB=SAAOC,

「△BOD弁AOE,

.*.SABOD=SAAOE,

「SAOB-SABOD=SAAOC-SAAOE,

•'•SAAOD=SACOE,

•'•SAAOE+SAAOD=SABOD+SACOE,

--S四边形ADOE='；S四边形ABOC

:当点D在弦AB上运动时,四边形ADOE的面积没有变化，

•.NBAC=120。，

/.zOAB=zOAC=60°z

•.ABOC是菱形，

/.AM=-AO=1

2

cM=VAC2-AM2=V22-I2=M-

・BC=2F，

•••S菱形ABOC二近x2=2«,

总结：此题考查了圆的综合，用到的知识点是垂径定理、菱形的判定与性质、全等三角形

的判定与性质、勾股定理等，关键是综合应用有关知识，列出算式.

【难度系数】5

◎题型梳理4:相似与二次函数

【题目】

(2014•浦东新区三模)已知一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B,

BCllx轴,且NACB的正切值为3.

(1)求点人、B、C的坐标；

(2)如果二次函数图象经过A、B、C三点,试求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(3)如果在y轴上有一点D,使得AABD与AABC相似，求点D的坐标.

【答案】(1)点人的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标是(4,3);

(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,顶点M的坐标是(2,-1);(3)点D的坐标为(0,

-1)或(0,

［解析】(1)根据一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B,BCII

x轴，且NACB的正切值为3,可以分别求得点A、B、C的坐标；

(2)根据(1)求得点点A、B、C的坐标，可以求得过A、B、C三点的抛物线的解析式

及顶点M的坐标；

(3)根据题意可知要使得AABD与MBC相似，存在两种情况，计算出两种情况下点D的

坐标即可解答本题.

解：(1).•一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B,

将y=0代入y=-X+3得x=3,将x=0代入y=-x+3得y=3,

二点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,3),

又•.BCIIx轴,fizACB的正切值为3,作AE,BC于点E,如右图所示,

..AE=OB=3,OA=BE=3,3=笫,

解得，CE=1,

.'.BC=BE+CE=4,

.•.点C的坐标是(4,3),

即点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标是(4,3);

(2)设过点A(3,0)、B(0,3)、C(4,3)三点的抛物线的解析式为y=ax?+bx+c,

(o

aX3,3b+c=0

则、c=3,

2

aX4+4b+c=3

'a=l

-

解得，，b-4(

c=3

即过A、B、C三点的抛物线的解析式是y=x2-4x+3,

.y-x2-4x+3=(x-2)2-1,

.•过A、B、C三点的抛物线的顶点M的坐标是(2,-1);

(3)当点D在y轴上且在点B的上方时，则NABD>90°,而△ABC的三个角都是锐角，

故此种情况不存在；

当点D在y轴上且在点B的下方时，

..NOBA=NABC=45°,AABD^ABC,

.-A-B---BD□中V--A-B---BD

"AB-BCBC-AB，

又•.BC=4,AB=7OA2+OB2=732+32=3>/2，

r.BD=BC=4或RD^A52_^3V2)2_9,

"BC"4~2

.•点B的坐标为(0,3),

二点D的坐标为(0,-1)或(0,-4)

总结：本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会

求函数的解析式，可以将抛物线的解析式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想解答问题.

【难度系数】5

21例题精炼

【题目4.1]

(2016•普陀区一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2-《x+c的

图象经过点、A(0,8)、B(6,2)、C(9,m),延长AC交x轴于点D.

(1)求这个二次函数的解析式及的m值;

(2)求NADO的余切值;

(3)过点B的直线分别与v轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P(点A的上方)、M、

Q,使以点P、A、Q为顶点的三角形与AMDQ相似，求此时点P的坐标.

97

【答案】(1)y=5x2.±x+8,m=5;(2)3;(3)点P的坐标是(0,20)

【解析】试题分析：(1)把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到

函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值;

(2)由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到

点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；

(3)根据相似三角形的对应角相等进行解答.

7

解：(1)把A(0,8)、B(6,2)代入y=ax2-?x+c，得

8=c

-27,

2=aX6-7X6+C

o

，3

解得•aZT,

,c=8

故该二次函数解析式为：丫=诙-lx+8.

yJ

9797

把C(9,m),代入y=黄x2-gx+8得至U:m=y=^x92-；x9+8=5,即m=5.

9393

综上所述，该二次函数解析式为y=^x2-lx+8,m的值是5;

y3

(2)由(1)知，点C的坐标为:(9,5),

又由点A的坐标为(0,8),

所以直线AC的解析式为：y=-当＜+8，

令y=0，则0=-《x+8，

解得x=24,

即OD=24,

nn94

所以cotNADO='MT=3,即cotzADO=3;

0A8

(3)在AAPQ与AMDQ中，NAQP=NMQD.

要使3PQ与AMDQ相似，贝|NAPQ=NMDQ或NAPQ=NDMQ(根据题意，这种情况不

可能)，

.•.cotzAPQ=cotzMDQ=3.

作BH^y轴于点H,

在直角APBH中,cotzP=—3,

DH

.'.PH=18,OP=20,

.•点P的坐标是(0,20).

总结：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次

函数解析式，相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义.在求有关动点问题时要注意

分析题意分情况讨论结果.

【难度系数】5

I/课后练习

【题目】体习1

(2018•奉贤区一模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，

AE、BD相交于点F,过点F作FGIIBC,交边DC于点G.

(1)求FG的长;

(2)设由=：,DC=b，用Z、E的线性组合表示而.

DGC

'E

B

【答案】(1)4；(2)|a+-|b

□O0

【解析】试题分析：(1)根据FGIIBC,可得n黑F=F螯G，求出n器F的值即可解决问题;

UDDUUD

(2)首先求出凝，再证明通■标即可解决问题；

解：(1)•.四边形ABCD是平行四边形，

..AD=BC=2,ADllBC,

■.BE=EC,

,BE=BF=1

,,AD_DF'

'.'FGIIBC,

,DF=FG=_2

,'DB-BC'

24

.-.FG=4BC=4.

3