椭圆及其标准方程(第一课时)教案

课题：椭圆及其标准方程课时：第一课时教学目标：1、使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距；2、使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法；3、培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.教学重点：椭圆的定义及其标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导——比拟复杂的根式的化简.教学方法：启发诱导式教具准备：1、多媒体课件两个(1)教材100页章头图，先作两个圆锥〔顶对顶，上面的圆锥是倒立的，且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线〕，然后用与圆锥曲线成不同角的平面截圆锥，得到椭圆、双曲线、抛物线等.(2)倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线；汽车的罐截面的轮廓线；发电厂通风塔的外形线；拦洪堤的曲线；探照灯反光镜的轴截面的曲线.2.同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条〔约10cm长，两端各结一个套〕，图钉两个；教师准备无弹性细绳一条〔约50cm长，两端各结一个套〕，图钉两个.教学过程：课题引入1、复习回忆〔1〕曲线方程的概念；〔2〕圆的几何特征.2、展示两个多媒体课件二、试验取一条一定长的细绳，把它的两端固定在板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖绷紧绳子在板上慢慢地移动，可以画出一条怎样的曲线？假设绳长等于F1和F2的距离，按照同样的方法会作出怎样的曲线呢？假设绳长小于F1和F2的距离呢？〔提前一天布置学生自己在家完成〕请两位同学上讲台和老师一起演示以上实验.结论：第一种情况作出的图形是一条封闭的曲线；第二种情况作出的图形是一条线段；第三种情况不能作出任何曲线.从第一种情况画图过程可以看出，曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长〔即绳子的长〕，也可以说，这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹〔或点的集合〕，我们把这样的曲线叫椭圆.大家能举出一些现实生活中常见的椭圆的例子吗？三、新课1、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数〔大于|F1F2|2、建立椭圆的方程〔1〕回忆：求曲线方程的步骤①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明.〔2〕建系的一般原那么有哪些？原点取在定点或线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上.〔3〕建立坐标系方案一：方案二：方案三：yyyyyyoxxooxoxxoox〔4〕求椭圆方程〔方案二〕设M〔x，y〕是椭圆上任意一点，并设椭圆的焦距为2c〔c>0〕，那么F1〔－c，0〕，F2〔c，0〕，又设M与F1、F2的距离的和等于2a.〔提问：为什么要令|F1F2|＝2c，＝2a？〕由椭圆的定义，椭圆就是点的集合：，〔提问：应如何化简？答：将式子有理化。有理化方法有两种：①直接两边平方去根号；②先移项，后平方.提问：为什么要先移项，后平方？答：假设不先移项，两边平方后，方程的左边要用和的平方公式，第一项、第二项平方去掉根号，而两项的积的2倍更复杂了.〕移项，得两边平方，得整理，得两边再次平方，得整理，得〔*〕〔问：a与c的关系如何，为什么？〕由椭圆的定义可知：，即，令，其中〔问：为什么令？答：使方程变得简单整齐，同时这一代换还有明确的几何意义。〕代入〔*〕式，得两边同时除以，得，，这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1〔－c，0〕，F2〔c，0〕，这里c2＝a2－b2.3、课堂练习〔方案三〕如果使点F1和F2在y轴上，a、b、c的意义同上，请同学们再求一次椭圆的方程。如果使点F1和F2在y轴上，那么F1〔0，－c〕，F2〔0，c〕，a、b、c的意义同上，那么所得方程为，.4、公式的结构特点：椭圆的两种标准方程中，总是，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就大。5、例题〔1〕椭圆的方程是，求椭圆的焦点坐标、焦距。分析：椭圆的方程可变形为：，，，即焦点在x轴上，，，焦点坐标为，，焦距为.〔2〕平面内两个定点的距离是8，一动点到这两个定点的距离的和是10.判断该动点的轨迹；②求出轨迹的标准方程.分析：①2a＝10，2c＝8；2a>2c.该动点的轨迹是椭圆.②当焦点在x轴上时，标准方程为椭圆的标准方程为：当焦点在y轴上时，标准方程为2a＝10，2c＝8；2a>2c椭圆的标准方程为：四、小结本节课我们学习了椭圆的定义、焦点、焦距的概念，求出了椭圆的两种标准方程.〔1〕当椭圆的焦点在x轴上时，标准方程为，焦点坐标是〔－c，0〕，〔c，0〕.〔2〕当椭圆的焦点在y轴上时，标准方程为，焦点坐标是〔0，－c〕，〔0，c〕.〔3〕椭圆的两种标准方程中，总是，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就大.〔4〕始终满足〔不要与勾股定理混淆〕.思考题：两个焦点的坐标分别是F1〔-2，0〕、F2〔2，0〕，并且椭圆经过点P〔，〕，求椭圆的标准方程.分析：因为焦点在x轴上，所以标准方程为.①，②，③.椭圆的标准方程为.五、作业P96：习题8.11、2六、教学反思这节课围绕“认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→椭圆方程知识运用”这一主线展开。在整个教学过程中，采用引导发现法、探索讨论法等教学方法，注重数形结合等数学思想的渗透，教学中学生通过观看动画、动手实践，自己总结出椭圆定义，应该说，还是比拟好地到达了本堂课的预设教学目标.下面从以下几个方面来总结一下本堂课的教学：1．从备课的情况来看应该说，自己对本堂课的备课过程是不够充分的，本节课是圆锥曲线的第一课时.它是在学生学习了直线和圆的方程的根底上，进一步学习用坐标法研究曲线.椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了根本模式和理论根底.因此这节课有承前启后的作用.是本章和本节的重点内容.所以，备课的过程中对于如何更好地为圆锥曲线这章内容作铺垫没有更好地进行深思.在以后的教学中，一定不能无视对教材的连贯性、教材的熟悉程度、学生的知识水平的深入思考，才能为上好一堂课奠定根底.2．从课堂的实施来看本节课还是采用了探究体验的方式，学生在体验中去感知知识，接受新知.首先我设置了教材100页章头图，先作两个圆锥〔顶对顶，上面的圆锥是倒立的，且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线〕，然后用与圆锥曲线成不同角的平面截圆锥，得到椭圆、双曲线、抛物线等，给学生一个直观的印象，使学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识.生活中的实例及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，学生从中可认识椭圆、感受椭圆.之后在学生先探索用细绳画椭圆的前提下，充分调动学生主动参与的积极性，和学生从实践中进一步体会椭圆的画法及椭圆上的点所满足的条件，逐渐把图形语言转化为文字语言，引导学生自主探索.进而发现：当两定点近的不能再近时画出的是圆，当两定点远的不能再远时画出的是线段.通过这样的实践，学生对条件2a>2c的理解水到渠成.这样，不仅完善了椭圆的定义，也有助于培养学生质疑，养成勤于动脑的良好思维习惯.有助于帮助学生自主学习，学会学习.应该说，这个过程到达了较好效果，学生对于椭圆定义以及需要满足的条件记忆深刻.椭圆标准方程的推导是本节课的难点.建立直角坐标系、推导椭圆标准方程是两个重要环节.结合我们学生的知识水平，考虑到课堂时间紧张，决定适当地简化这个过程，采用PPT清楚明了地展示椭圆标准方程的推导过程.这个过程有理有弊，虽然节约了时间，却少了学生自我探究的过程.给出椭圆标准方程后，突出椭圆方程的特点：