2024年高考数学第一轮复习讲义第七章7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(学生版+解析)

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括________Ax＋By＋C≥0包括________不等式组各个不等式表示的平面区域的________2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的________线性约束条件由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的________解析式可行解满足线性约束条件的解________可行域所有可行解组成的________最优解使目标函数取得______________或________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．()(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1<0，,x＋y－3≥0))表示的平面区域(阴影部分)是()3．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x－4≤0，,y＋x－4≤0，,y≥1，))则z＝x＋2y的最大值是()A．－1B．5C．8D．7题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)(2022·成都模拟)在坐标平面内，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥|x|，,y≤x＋2，,x≤1))所表示的平面区域的面积为()A.eq\f(3,2)B．3C．1D．2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·西安模拟)已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,2x－y≤0，,kx－y＋2≥0))表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1(1)设x，y∈R，则“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2022·西安模拟)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≥2，,3x＋y≤5))所表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相等的两个部分，则实数k的值为()A．1B．2C．3D．4题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例2(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))则z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2求非线性目标函数的最值例3(1)若实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y＋1≥0，,x－y－2≤0，))则z＝eq\f(y＋3,x)的取值范围是()A．[－3，1)B．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C．[－3，3]D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))则(x－1)2＋y2的最小值为()A．1B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D．2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3求参数值或取值范围例4若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m，))且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．3听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).跟踪训练2(1)(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥4，,x－y≤2，,y≤3，))则z＝3x＋y的最小值为()A．18 B．10C．6 D．4(2)(2022·西宁模拟)如果点P(x，y)在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，则x2＋y2＋2y的最小值是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(9,5)C．1 D．2(3)(2023·呼和浩特模拟)已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a的值为________．题型三实际生活中的线性规划问题例5(2022·银川模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的工资最多为()A．150元 B．170元C．180元 D．200元听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天的费用为320元，乙型车每天的费用为504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为()A．2400元 B．2560元C．2816元 D．4576元§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(√)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(√)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))答案D解析“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1<0，,x＋y－3≥0))表示的平面区域(阴影部分)是()答案D解析将点(0,0)代入x－y＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x－y＋1<0所表示的平面区域内，将点(0,0)代入x＋y－3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x＋y－3≥0所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除A，C；x－y＋1<0不包括边界，用虚线表示，x＋y－3≥0包括边界，用实线表示，故选D.3．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x－4≤0，,y＋x－4≤0，,y≥1，))则z＝x＋2y的最大值是()A．－1B．5C．8D．7答案C解析作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，z＝x＋2y即为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，平移直线y＝－eq\f(1,2)x知直线过点A时z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4，))即A(0,4)，此时zmax＝0＋2×4＝8.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)(2022·成都模拟)在坐标平面内，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥|x|，,y≤x＋2，,x≤1))所表示的平面区域的面积为()A.eq\f(3,2)B．3C．1D．2答案B解析由不等式组可得其表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝|x|，))得A(1,1)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝x＋2，))得B(1,3)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝|x|，))得C(－1,1)；∴OA＝eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，OC＝eq\r(2)，又OC⊥BC，OA∥BC，∴阴影部分面积S＝eq\f(1,2)(OA＋BC)·OC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(2)＝3.(2)(2023·西安模拟)已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,2x－y≤0，,kx－y＋2≥0))表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．答案(－1,2)解析画不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,2x－y≤0，,kx－y＋2≥0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与y轴的交点为(0,2)，要使平面区域是一个三角形区域，由图得k∈(－1,2)．思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1(1)设x，y∈R，则“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析x2＋y2－2x－2y＋1≤0可表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1，即(x，y)在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上及其内部，x＋y≤4表示(x，y)在直线x＋y＝4上及其左下方，如图所示，由图象知，“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的充分不必要条件．(2)(2022·西安模拟)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≥2，,3x＋y≤5))所表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相等的两个部分，则实数k的值为()A．1B．2C．3D．4答案A解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示．由图可知，可行域为△ABC及其内部，因为直线y＝kx＋2过△ABC的顶点C(0,2)，所以要使直线y＝kx＋2将可行域分成面积相等的两部分，则直线y＝kx＋2必过线段AB的中点D.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,3x＋y＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，又B(0,5)，所以AB的中点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(11,4)))，将D的坐标代入直线y＝kx＋2，得eq\f(11,4)＝eq\f(3,4)k＋2，解得k＝1.题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例2(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))则z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12答案C解析方法一由题意作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，转化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，上下平移直线y＝2x－z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.故选C.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x＋2y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))此时z＝2×0－2＝－2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))此时z＝2×2－0＝4；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))此时z＝2×4－0＝8.综上所述，z＝2x－y的最大值为8.命题点2求非线性目标函数的最值例3(1)若实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y＋1≥0，,x－y－2≤0，))则z＝eq\f(y＋3,x)的取值范围是()A．[－3,1)B．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C．[－3,3]D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)答案B解析作出约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y＋1≥0，,x－y－2≤0))表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．其中点A(－1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，目标函数z＝eq\f(y＋3,x)表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－3)确定的直线l的斜率k，过点P的直线l0平行于直线x－y－2＝0，其斜率为1，过点P的直线l1经过点A(－1,0)，其斜率为－3，直线l从直线l0(不含直线l0)绕点P逆时针旋转到直线l1(含直线l1)的位置，则k≤－3或k>1，所以z＝eq\f(y＋3,x)的取值范围是(－∞，－3]∪(1，＋∞)．(2)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))则(x－1)2＋y2的最小值为()A．1B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D．2答案B解析结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x－1)2＋y2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方，又(1,0)到直线2x－y＝0的距离为eq\f(2,\r(5))，故(x－1)2＋y2的最小值为eq\f(4,5).命题点3求参数值或取值范围例4若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m，))且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m))表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，O(0,0)，A(m，m)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)，\f(4m,3)))，由图中直线斜率关系知，当直线y＝－3x＋z向上平移时，依次经过点O，B，A.故经过点A时，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.思维升华常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).跟踪训练2(1)(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥4，,x－y≤2，,y≤3，))则z＝3x＋y的最小值为()A．18B．10C．6D．4答案C解析方法一(数形结合法)作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))即点A的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.方法二(代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可．易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3,1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.方法三(巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①因为y≤3，所以－2y≥－6.②于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立．(2)(2022·西宁模拟)如果点P(x，y)在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，则x2＋y2＋2y的最小值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(9,5)C．1D．2答案A解析如图，作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))表示的可行域，即图中△ABC区域(包含边界)，而x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1，设点Q(0，－1)，则x2＋y2＋2y表示的是点P(x，y)和点Q(0，－1)的距离的平方减去1，由图可知，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,x＋y－2＝0，))解得A(1,1)，而B(－1,0)，则BQ＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AQ＝eq\r(1＋22)＝eq\r(5)，又Q到直线AB的距离d＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，且eq\f(3\r(5),5)<eq\r(2)<eq\r(5)，所以当PQ⊥AB时，PQ最小，则x2＋y2＋2y的最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2－1＝eq\f(4,5).(3)(2023·呼和浩特模拟)已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a的值为________．答案－1或2解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l：y－ax＝0，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，a是斜率，z是纵截距，直线向上平移，z增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l与AB或AC平行，所以a＝－1或a＝2.题型三实际生活中的线性规划问题例5(2022·银川模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的工资最多为()A．150元 B．170元C．180元 D．200元答案B解析设一次派送甲批快件x件、乙批快件y件，则x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋10y≤350，,10x＋20y≤250，,x，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤35，,x＋2y≤25，,x，y∈N，))小马派送完毕获得的工资z＝8x＋10y(元)，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝35，,x＋2y＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝5，))易知目标函数在点M(15,5)处取得最大值，故zmax＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的工资最多为170元．思维升华解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天的费用为320元，乙型车每天的费用为504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为()A．2400元 B．2560元C．2816元 D．4576元答案B解析设甲型车x辆，乙型车y辆，运送这批水果的费用为z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤y≤4，,24x＋30y≥180，,x∈N，y∈N，))画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．目标函数z＝320x＋504y，作直线320x＋504y＝0并平移，结合实际情况分析可得当直线过点(8,0)时，z取得最小值，即zmin＝8×320＋0×504＝2560(元)．课时精练1．(2023·铜川模拟)已知点A(1，－2)，B(－1,4)在直线x＋2y－b＝0的同侧，则实数b的取值范围为()A．b>－3 B．b<－3或b>7C．－3<b<7 D．b<3或b>7答案B解析因为点A(1，－2)，B(－1,4)在直线x＋2y－b＝0的同侧，所以(1－4－b)(－1＋8－b)>0，即(b＋3)(b－7)>0，解得b<－3或b>7.2．已知x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝4围成三角形区域，那么表示该区域的不等式组是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,0≤x≤4)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤0，,0≤x≤4))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤0，,0≤x≤4)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥0，,0≤x≤4))答案A解析由于x2－y2＝1的两条渐近线方程为x＋y＝0和x－y＝0，故表示与直线x＝4围成的三角形区域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,0≤x≤4.))3．(2023·咸阳模拟)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y≥0，,7x－5y≤14))表示的可行域的面积为()A．6B．7C．12D．14答案B解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，可行域的面积为eq\f(1,2)×2×7＝7.4．(2023·宝鸡模拟)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x－2y＋8≤0，,x≤y，))且z＝2x＋y，则()A．z有最大值，也有最小值B．z有最大值，无最小值C．z有最小值，无最大值D．z既无最大值，也无最小值答案C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，为一个开放区域．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，由数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，z取得最小值，无最大值．5．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()答案C解析(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C符合题意．6．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≤3，,y≥x＋1))表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为()A．(0,3] B．[－1,1]C．(－∞，3] D．[3，＋∞)答案D解析直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．7．(2023·成都模拟)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2，))则eq\f(y＋2,x＋1)的最大值是()A.eq\f(7,2)B．3C．2D.eq\f(3,2)答案D解析如图所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得A(1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝6，,x－y＝0，))得B(2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝6，,x＋y＝2，))得C(4，－2)，所以平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2))是由点A(1,1)，B(2,2)，C(4，－2)围成的三角形区域，而eq\f(y＋2,x＋1)表示点P(－1，－2)与可行域内的点所构成的直线的斜率，所以eq\f(y＋2,x＋1)的最大值是kAP＝eq\f(1＋2,1＋1)＝eq\f(3,2).8．若变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2≤0，,x－y＋4≥0，,y≥a，))且2x－y的最大值为－1，则a的值为()A．0B．1C．－1D．2答案C解析画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，令z＝2x－y，则y＝2x－z.因为2x－y的最大值为－1，所以2x－y＝－1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点，由图象可知，当直线2x－y＝－1经过点C时，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝－1，,x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))故a＝－1.9．已知点(1,1)在直线x＋2y＋b＝0的下方，则实数b的取值范围是________．答案(－∞，－3)解析因为点(1,1)在直线x＋2y＋b＝0的下方，所以1＋2＋b<0，解得b<－3.10．已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0，,y≥1，))则z＝x2＋y2的最大值为________．答案10解析根据约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0，,y≥1，))画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z＝x2＋y2是指可行域内的动点(x，y)与定点(0,0)之间的距离的平方，由图可知，点P到原点O的距离的平方最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以P(1,3)，故zmax＝12＋32＝10.11．(2022·银川模拟)若实数x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－y＋1≥0，,0≤x≤1，))则|x－3y|的最大值为________．答案5解析由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝0，))解得A(1，－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－y＋1＝0，))解得B(1,2)．令z＝x－3y，即y＝eq\f(x,3)－eq\f(z,3)，由图可知，当直线y＝eq\f(x,3)－eq\f(z,3)过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值4；过点B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值－5.所以|x－3y|的最大值为5.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．答案780解析设每天安排电脑机和普通机各x，y台，则一天可获利z＝12×8x＋10×6y＝96x＋60y，线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤15，,12x＋10y≥100，,0<x≤7，,0<y≤5，))画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，zmax＝780.13．(2023·西宁模拟)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2|x|－1，,y≤x＋1))且z＝kx＋y(k为常数)取得最大值的最优解有无数多个，则k的值为()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2|x|－1，,y≤x＋1))表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，要使z＝kx