2024年初升高数学衔接讲义专题16集合间的基本关系练习(学生版+解析)

专题16集合间的基本关系学习学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲知识精讲高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．高中必备知识点3：空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．高中必备知识点4：集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(3)若A⊆B，A≠B，则AB．典例剖析典例剖析高中必会题型1：确定集合的子集、真子集1．(1)已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．(2)已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.3．已知，则求：(1)集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系(2)请写出集合A的所有非空真子集4．(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？5．举出下列各集合的一个子集：(1)A={是立德中学的学生}；(2)B={是三角形}；(3)；(4).高中必会题型2：集合间关系的判断1．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．2．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}.3．指出下列集合之间的关系：，．4．写出下列每对集合之间的关系：(1)，；(2)，；(3)，；(4)是对角线相等且互相平分的四边形，是有一个内角为直角的平行四边形．5．已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题1．设集合，不等式的解集为.(1)当时，求集合，.(2)当时，求实数的取值范围.2．设集合，，若，求实数a的值．3．设集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，若B⊆A，求实数a的取值范围4．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围．5．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅且B⊆A，求a，b.对点精练对点精练1．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}{0}，∅{0}，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．设集合A={1，x2}，B={x}，且B⊆A，则实数x为()A．0 B．1C．0或1 D．0或-14．已知集合，.若，则的值为()A．2 B．1C．-1 D．-25．下列集合与集合相等的是()A． B．C． D．6．集合的真子集的个数是()A．16 B．8 C．7 D．47．设A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x等于()A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或±28．设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则()A．M⫋N B．M⫌NC．M＝N D．以上都不正确9．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是()个.A．14 B．12 C．13 D．1110．设集合，，若AB，则的取值范围是()A． B． C． D．11．已知集合，则下列式子表示正确的有()①；②；③；④.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于A．1 B．0 C．－2 D．－313．当集合时，___________，___________，___________.14．已知A=，B=，若B⊆A，则实数m的取值范围为___．15．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.16．已知集合，若，则实数a的取值范围为___．17．已知集合，，若，求实数，的值.18．已知A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，求a，b．19．已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．20．已知P＝{x|2≤x≤6}，Q＝{x|a≤x≤a+1}若Q⊆P，求a的范围.21．已知集合,,，且,求的取值范围.22．已知集合，，判断这两个集合之间的关系.专题16集合间的基本关系学习学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲知识精讲高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．高中必备知识点3：空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．高中必备知识点4：集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(3)若A⊆B，A≠B，则AB．典例剖析典例剖析高中必会题型1：确定集合的子集、真子集1．(1)已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．(2)已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．答案:(1){1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；(2){3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．(1)因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，又因为M⊆{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．(2)若M只含1个元素，则M={3}；若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.答案:见解析集合{0,1,2}的所有子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.真子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.3．已知，则求：(1)集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系(2)请写出集合A的所有非空真子集答案:(1)8，(2)，，，，，(1)的子集有，，，，，，，共8个，其中.(2)集合A的所有非空真子集有，，，，，.4．(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？答案:(1)见解析；(2)有个子集，个真子集.(1)集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集.5．举出下列各集合的一个子集：(1)A={是立德中学的学生}；(2)B={是三角形}；(3)；(4).答案:(1){是立德中学的女生}(2){是直角三角形}(3)(4)(1){是立德中学的女生}(2){是直角三角形}(3)(4)高中必会题型2：集合间关系的判断1．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．答案:(1)AB(2)BA.(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，AB.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴BA.2．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}.答案:(1)AB；(2)DBAC；(3)AB.(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB.3．指出下列集合之间的关系：，．答案:集合表示的是直线上的一些孤立的点的集合，而集合表示的是直线上所有的点的集合，因此.4．写出下列每对集合之间的关系：(1)，；(2)，；(3)，；(4)是对角线相等且互相平分的四边形，是有一个内角为直角的平行四边形．答案:(1)；(2)；(3)；(4)．(1)因为B的每个元素都属于A，而且，所以．(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和，所以．(3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示．由图可知．(4)如果，则是对角线相等且互相平分的四边形，所以是矩形，从而可知是有一个内角为直角的平行四边形，所以，因此．反之，如果，则是有一个内角为直角的平行四边形，所以是矩形，从而可知是对角线相等且互相平分的四边形，所以，因此．综上可知，．5．已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．答案:A是B的真子集.，理由见解析因为，则的几何意义是轴上的点到定点与点的距离之差．即．∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，∴且，，三点不共线，即．∴．即；又，∴A是B的真子集.高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题1．设集合，不等式的解集为.(1)当时，求集合，.(2)当时，求实数的取值范围.答案:(1)，；(2).(1)解：当时，，解不等式得：，即.(2)解：若，则有：①，即，即，符合题意，②，有，解得：.综合①②得：.2．设集合，，若，求实数a的值．答案:a≤－1或a＝1.∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得解得a＝1.(2)当时，又可分为两种情况．①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.3．设集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，若B⊆A，求实数a的取值范围答案:[﹣1，]∵集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}={x|(x﹣a)(x﹣2a)＜0}，B⊆A，∴当a=0时，B=∅，成立；当a＜0时，B={x|2a＜x＜a}，由B⊆A，得，解得﹣1≤a＜0，当a＞0时，B={x|a＜x＜2a}，由B⊆A，得，解得0＜a，综上，实数a的取值范围是[﹣1，].4．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围．答案:m≤1．∵B⊆A，若B＝∅，则m≤0，满足B⊆A，若B≠∅，则m＞0，由B⊆A，得m≤1，解得，0＜m≤1．综上所述：实数m的取值范围为m≤1．5．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅且B⊆A，求a，b.答案:答案见解析因为B≠∅，B⊆A，所以B={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.当B={﹣3}时，，解得a=﹣3，b=9；当B={4}时，，解得a=4，b=16；当B={﹣3，4}时，，解得a=，b=﹣12.对点精练对点精练1．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案:C解析由B⊆A，知x2=3或x2=x，解得x=±，或x=0，或x=1，当x=1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x=1舍去.故选：C2．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}{0}，∅{0}，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案:A集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅{0}正确．因此正确的只有1个．

故选：A.3．设集合A={1，x2}，B={x}，且B⊆A，则实数x为()A．0 B．1C．0或1 D．0或-1答案:A因为B⊆A，所以x∈A，所以x=1或x=x2，x2≠1，解得x=0．故选：A.4．已知集合，.若，则的值为()A．2 B．1C．-1 D．-2答案:A因为，所以集合为双元素集，即所以.故选：A.5．下列集合与集合相等的是()A． B．C． D．答案:C集合表示数字和的集合.对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.故选：C.6．集合的真子集的个数是()A．16 B．8 C．7 D．4答案:C解：∵，的真子集为：共7个．故选：C．7．设A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x等于()A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或±2答案:D因为A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x2＝4或x2＝x，解得x＝2或﹣2或1或0．①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足B⊆A．②当x＝1，集合A＝{1，4，1}不满足元素的互异性．③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．④当x＝﹣2，集合A＝{1，4，﹣2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．综上，x＝2或﹣2或0．故选：D．8．设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则()A．M⫋N B．M⫌NC．M＝N D．以上都不正确答案:B集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2(2n±1)，n∈Z}，故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，故N⫋M，故选：B．9．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是()个.A．14 B．12 C．13 D．11答案:A∵A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，所以A×B＝{(1，2)，(1，4)，(3，2)，(3，4)}，共有四个元素，则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.故选：A.10．设集合，，若AB，则的取值范围是()A． B． C． D．答案:A，，由数轴表示集合，作图如下：由图可知，即的取值范围是故选：A11．已知集合，则下列式子表示正确的有()①；②；③；④.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:C因为，，，对于①，显然正确；对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；对于④，，．根据子集的定义知正确．故选：C．12．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于A．1 B．0 C．－2 D．－3答案:C解析：由题意得，选C.13．当集合时，___________，___________，___________.答案:详解：由已知，所以，∴，，从而，即，∴．故答案为1，－1，0．14．已知A=，B=，若B⊆A，则实数m的取值范围为___．答案:∵A=，B=，B⊆A，∴m≥2，∴实数m的取值范围为．故答案为：．15．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.答案:0或±1因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A={0}，符合题意；当a≠0时，Δ=4-4a2=0，解得a=±1.此时A={-1}或{1}，符合题意.综上所述a=0或a=±1.故答案为：0或±1.16．已知集合，若，则实数a的取值范围为___．答案:．当时，方程化为，解得，此时，满足题意，当时，要使，则，解得且，所以使的实数a的取值范围