【一元函数与多元函数的差异与统一探究3700字（论文）】

--一元函数与多元函数的差异与统一研究目录TOC\o"1-2"\h\u303361.引言 1126302.预备知识 232613.一元函数与多元函数的共同点 3163833.1极限与连续的关系 323110于是 586984.一元函数与多元函数的相异点 5120834.2二元函数连续,二元函数偏导数不一定存在 788904.3二元函数偏导数存在,二元函数可微不一定成立. 8297905.一元函数与多元函数异同点的分析 10316566.总结 1023990参考文献: 11摘要:本文通过分析一元函数和多元函数的基本性质,以二元函数为例,比较了与一元函数的异同,进而推广到多元函数,系统地比较它们在极限、连续性、微分、偏导数等方面的差异,并简要总结了它们之间的区别和统一.关键词:极限;连续;微分;偏导数1.引言在研究多元函数时,通常将一元函数与多元函数的差异和统一性进行比较.在实践中,一元函数可以被多元函数的某些概念和性质应用,并且多元函数的某些概念和性质也可以从一元函数的相关内容中引出.目前,关于两者性质的研究方面取得了丰富的成果,但是常见教科书中[1-5],仅作简要说明,所以需要就两者的差异和统一进行具体而系统的讨论.一元函数的函数关系是两个数集之间的,而多元函数的函数关系则是有序数组的集合与数集之间的.多元函数保留着一元函数的许多性质,然而自变量的变化是从一维空间扩展到n维空间,这样让研究的问题变得更加复杂,研究方法也随着更为多样.李娜、张艳敏等人在《一元函数与多元函数的相关概念对比》中,比较了一元函数和多元函数中的邻域、函数、极限、导数和积分概念,让概念之间的内在联系得到加强,从而使得相关概念从整体上更容易理解[6].陈洁的《多元函数与一元函数的本质差别》一文通过比较,着重阐述了多元函数与一元函数之间的极限、微分、积分等方面的十多个本质上的差异[7].本文对一元函数和多元函数中的极限、连续、可微、偏导数等概念进行类比,强化了概念之间的内在联系,让这些复杂抽象的函数知识更加直观,学生从整体上更好地理解相关概念,以及掌握如何应用这些函数.通过文献调研[6-14],发现大多数研究仅设计一元函数与多元函数其中一部分内容的比较.因此本文通过研究一元函数到多元函数的基本性质,以二元函数为例和一元函数进行比较并扩展到多元函数的方法,探究一元函数与多元函数在某些特定条件下的统一性,并且从极限、连续、微分、积分等方面比较差异.进而概括一元函数中表达概念间的关系的命题的在多元函数中能否得以保持正确性的规律.2.预备知识本文以下是一元函数与二元函数性质的部分定义.一元函数极限类型极限定义:若有,则.一元函数类型的极限定义:若时,与,则.一元函数在a的连续定义:函数在a连续.一元函数的微分定义:若函数在的该变量与自变量x的该变量x的该变量,有以下关系:,其中A是与无关的常数,称函数在在可微.称为函数在的微分.记为.一元函数极值的定义:设函数在附近有定义,如果对附近的所有的点,都有,则是函数的一个极大值.如果附近的所有的点,都有,则是函数的一个极小值,极大值与极小值统称为极值.二元函数的二重极限的定义:若,,,有,则.二元函数的连续性:,有,,那么二元函数在连续.二元函数偏导数定义:设二元函数在区域有定义,是的内点.若(常数),一元函数在可导,即极限存在,则称此极限是函数在关于的偏导数,记为或.3.一元函数与多元函数的共同点一元函数的推广是多元函数,其性质都体现在了多元函数的本身,但也因自变量的变化范围由一维空间扩展到了n维空间,研究内容复杂化,研究方法也随之更加多样化.3.1极限与连续的关系多元函数中“连续有极限”关系成立,多元函数是通过多元法给出连续和有极限这两个概念,所以一元函数在点处连续的表达式,可以换成多元函数在点处连续的表达式(点和点为多维空间中的点),.这样就让多元函数的“连续有极限”关系始终满足在点处.3.2关于微分

(1)多元函数中“可微可导”关系成立可微这一概念是在多元函数中用多元法给出的,在点处可微,即有(其中)成立.根据偏导数的定义:定理3.2.1(可微的必要条件)若二元函数在可微,则二元函数在存在两个偏导数,且全微分中的与分别是与.[2]综上所述,在多元函数中“可微可导”的关系也成立.(2)二者可微性之间的关系多元函数微分计算关系到是多元函数和一元函数之间的联系,例如极限、连续和微分,关于连续性和极限的问题已在前面进行了解释.下面以二元函数为代表探究一元函数可微性与多元函数可微性之间的关系.,随后延伸到多元函数中去.定理3.2.2若二元函数在点的邻域存在两个偏导数,且两个偏导数在点连续,则二元函数在点可微.[2]由上述定理可得,一元函数和二元函数可微性一定条件下是统一的.3.3二者在极值与极值判别法上的统一

“极值点一定是稳定点”对于可导函数是成立的.定理3.3.1(费马定理)设函数在区间有定义.若函数在可导,且是函数的极值点,则.[2]称满足方程的点为稳定点.由上述定理能够知道“可导函数的极值点一定是它的稳定点”.观察下面这个命题的正确性是否继续由多元函数保持.定理3.3.2(极值点的必要条件)若二元函数在点存在两个偏导数,且是函数的极值点,则与.[2](1)方程组的解(坐标平面上某些点)称为函数的稳定点.定理3.3.2指出,二元可微函数的极值点一定是稳定点.而对于n(n≥3)元函数来说,只要把点换为n维,(1)式变为,即可发现,这一命题的正确性继续保持从而一元函数与多元函数在这性质上是统一的.例1解:解方程组解得稳定点及在处于是故z在取得极大值.4.一元函数与多元函数的相异点图1图1例2证明:函数在点处偏导数是存在的但函数不是连续的.证:同理则函数有两个在点的偏导数.但是,,有,有即函数没有极限在点,故函数不连续在点.利用软件作出函数在点处的图像如下,图(2)中蓝色区域代表时的图像,中间的黑点是的点,该点在蓝色区域内不存在,红绿色两条曲线代表的图像,将图像翻转（图3）则更清晰地看出该曲线是两条经过点的抛物线,但是在点处抛物线并不与蓝色平面连续,因此说明这个函数的偏导数存在但是函数是不连续的.图3图2图3图24.2二元函数连续,二元函数偏导数不一定存在一元函数中,于点可导必连续,而在二次函数偏导数在点偏导数,这个函数也不一定是连续的.例3证明:在点处连续,但它在处的两个偏导数都不存在.,在处连续,又.由一元函数的结论知在处不可导.同理,在处也不可导.在处连续.但它在处的两个偏导数和都不存在.该问题的几何意义如图所示,图表示的圆锥曲面,被平面x=0所截,如图(5)是交线的图像.图4图5图4图54.3二元函数偏导数存在,二元函数可微不一定成立.例4证明:函数在点处存在偏导数却不可微.证:函数在原点存在两个偏导数,由偏导数定义,有存在两个偏导数,但是,它在原点不可微.事实上,假设它在原点可微,有特别的,取,有于是即比不是高阶无穷小,与可微定义矛盾,于是,函数在原点不可微.利用软件作出该函数图像（图5）,可发现函数在某点出有褶皱,将图像翻转至背面（图6）能清晰的看出在点处函数并不光滑,因此说明这个函数在原点处是不可微的,将函数图像投影至平面（图7）可发现该图像在点处相交,即该函数存在偏导数.图6图5图6图5图7图7以上从几个方面分析了多元函数与一元函数的一些差别.通过调研可以得出,在研究多元函数时,要注意二者的统一,同时要注意它们的差异.因为有些结论对一元函数成立,但是对多元函数不一定成立或者需附加一定条件后方可成立,反之对一元函数不成立,对多元函数则成立.所以在解决多元函数问题时,一般使用已证明过的结论,不要草率地将一元函数的有关结论套用到多元函数中.5.一元函数与多元函数异同点的分析空间结构从一元变为多元,功能变化的范围已从一维扩展到多维,空间结构发生了变化,有必要使思维方式更加灵活.在研究多元函数时调查问题的方法已更改为使用两种思路:第一种是多变量调查方法,该方法需要多个自变量同时变;另一个是一个自变量更改和其余部分自变量暂时被视为固定的单一方法.6.总结运用以上定理以及例子,浅谈了关于一元函数与多元函数的差异与统一并对两者的异同点进行了简单的分析.由于受到论文篇幅和撰写进度要求的影响,本文就不再对其他的差异和统一进行一一赘述.在数学分析教学中,正确地区分这两大函数的才能使学生在高等数学的学习中更好地加深对函数的理解、掌握和运用.也希望本文撰写完成后能为此内容的教学方法贡献一点磨薄之力,为更好改进数学教学思维给出一点参考.参考文献:[1]樊映川.高等数学讲义[M].北京:高等教育出版社,1993.[2]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义上册[M].第五版.北京:高等教育出版社,2008.[3]华东师大数学系.数学分析[M].北京:高等教育出社,1991.[4]许绍溥.数学分析教程[M].南京:南京大学出版社,1990.[5]《数学手册》编写组.数学手册[M]北京:人民教育出版社,1977．[6]李娜,张艳敏,王洁.一元函数与多元函数相关概念的类比[J].商丘职业技术学院学报,2014(5):16-17.[7]陈洁.多元函数与一元函数的本质差异[J].宿州师专学报,2002,17(1).[8]王莉萍.关于n(n≥1)一元和多元函数极值的统一性研究[J].焦作师范高等专科学校学报,2007,23(4):80-82.[9]唐善刚.一元函数与多元函数在广义积分上的差异[J].湖北工程学院学报,2005(3):51-54.[10]慕运动,张德洋.以一元函数到多元函数为例论证从量变到质变的变化过程[J].高等数学研究