【曲线运动加速度的数学推导及教学探究11000字（论文）】

曲线运动加速度的数学推导及教学研究摘要 2引言 21圆周运动和一般曲线运动 31.1圆周运动的加速度 31.2一般曲线运动中的加速度 42对向心加速度的一般推导 52.1向心加速度 52.2向心加速度的推导 52.2.1利用位移合成推导 52.2.2利用速度增量推导 62.2.3利用速度位移公式 72.2.4利用矢量端轨迹推导 82.2.5四种方法小结 93曲线运动加速度的数学推导 94对曲线运动加速度的教学研究 114.1基于高中物理对曲线运动加速度学习的思考 114.2怎样学习曲线运动的加速度 124.2.1学习方法 124.2.2重难点 124.3以“向心加速度”为例模拟教学过程 134.3.1模拟教学过程的意义 134.3.2新课导入 134.3.3新课教学 134.4.4小结 154.4.5课后作业 155总结 15参考文献 16摘要：通过对一般曲线运动的基础圆周运动进行分析，将曲线运动的加速度分为切向加速度和法向加速度进行研究。对圆周运动切向加速度和法向加速度进行了推导，并将结果扩展到一般曲线运动中。对向心加速度的推导方法进行了研究，采用位移合成法等多种物理方法推导圆周运动的向心加速度，得到多种曲线运动加速度的推导方式。分析了用纯物理方法推导曲线运动加速度的不足之处，又采用纯数学方法对曲线运动的加速度进行了研究。将曲线运动加速度的研究应用到物理教学中去，进行了以高中物理为基础的曲线运动加速度的教学研究，深刻分析了高中曲线运动加速度教学的难易点以及方法，并展开模拟课堂进行教学研究。关键词：圆周运动曲率半径模拟教学切向加速度向心加速度引言：曲线运动是指物体的运动轨迹为曲线的运动，可以根据动力学和运动学对曲线运动进行分析。动力学认为，如果一个物体它速度的方向同它所受到的合力的方向没有共线，那么这个物体就作曲线运动；而运动学认为，做曲线运动的物体运动速度的方向和它加速度的方向是不在同一条直线上的。所以可以得知做曲线运动的物体，它的速度的方向是一直变化的。因为速度是矢量，它不仅有大小还有着方向，所以曲线运动也是一种变速运动，所以曲线运动是十分常见的运动，研究曲线运动可以让我们更加了解我们的生活。生活中常见的曲线运动有平抛运动、圆周运动和斜抛运动等，而圆周运动是研究曲线运动最基础最实用的运动。判断物体是否做曲线运动主要是看物体速度的方向是否发生着改变，而只有加速度和速度不共线时，物体的速度方向才会发生改变。所以要想了解曲线运动就必须对曲线运动的加速度进行研究，对曲线运动的加速度研究最基本的就是加速度公式推导，毕竟物理的研究离不开数学，曲线运动加速度公式的推导也是本文研究的重点。曲线运动加速度公式的推导不仅是曲线运动加速度研究的重点，也是曲线运动物理教学的重难点。目前教课书中对曲线运动加速度的推导，大都采用物理学方法，虽然该方法直观性较强但叙述起来比较麻烦，所以本文着重研究曲线运动加速度的推导方法，采用数学和物理多种方法进行推导研究。由于圆周运动是研究一般曲线运动和物体转动的基础，所以本文从圆周运动着手对曲线运动加速度进行研究。在进行加速度的分析时，为了使其的物理意义更加清晰准确，本文将以平面自然坐标系来进行研究。1圆周运动和一般曲线运动1.1圆周运动的加速度圆周运动是研究一般曲线运动的基础，所以在探究曲线运动的加速度时，我们可以用质点在圆周运动上的轨迹来研究。在圆周运动中假设某个点绕其圆心不停的作变速的运动。例如图1-1所展示的，建立坐标系，取圆周运动轨迹上某一点作为质点，设该点为点P，坐标系的一个坐标轴沿着P点的切线的方向，并取改点的方向的单位矢量用eτ来表示，而另一个坐标轴沿着P点轨迹的法线也就是指向曲线内侧的线，相应单位矢量可以用en来进行表示，这种用en和图1-1因为质点的速度是沿切线方向的，所以我们可以将图1-1质点的速度写成为v加速度a可以根据公式（1-1）求对t的导数而得出，并且质点运动轨迹各点对切线的方向不同，它的单位矢量eτ同样也是个变量。设在dt时间内eτ的单位增量是deτa所以可知deτ的方向是垂直于eτ并且对准圆心o的，它和en的方向相同。单位矢量eτe所以d由此得出d通过公式（1-5）中可知ds是质点在一定时间dt里所通过的长度。将公式(1-5)带入a的表达式中就可以得到a因此我们可知圆周运动加速度可以被正交分解成切向加速度aτ和法向加速度an即，其分解图如图图1-2通过公式（1-6）我们可以知道aτ和an的大小，其中切线方向表示的是该点速率变化的快慢，法线方向表示的是该点的速度方向变化快慢。我们可以通过三角函数关系来判断质点是否做匀速圆周运动，也可以通过切向加速度是否为零来判断，假设该质点作的是匀速圆周运动，那么它dvdt因为圆周运动也是一种曲线运动，所以圆周运动的加速度的推导是可以推广到一般的曲线运动的。1.2一般曲线运动中的加速度如果一个物体作曲线运动，那么它运动的方向一定会发生改变，如果运动方向并不发生改变的话，那么它就只是一个直线运动。因为速度是一个矢量，它不仅有大小还有方向，所以只要速度发生任何改变，那么它一定会产生加速度，所以如果一个物体作曲线运动，那么它速度的方向一定是会发生改变的，速度也一定会变化，所以该物体的加速度就不可能等于零，因此研究曲线运动的加速度就是很有必要的。图1-3如图1-3，质点沿轨迹运动时，它在任意位置的加速度也可以被分解成为an和aτ，但是法向加速度的公式会有所不同，要把圆周运动中向心加速度公式中的半径R用曲线在该点处的曲率半径aa所以得出加速度的公式a通常情况下，曲线上不同位置处的曲率中心和ρ是不同的，但是an是一定2对向心加速度的一般推导2.1向心加速度加速度是描写物体的运动速度随时间变化快慢的物理量。物体做圆周运动时，它速度的大小和方向都是变化的，也就是说做圆周运动的物体有加速度。向心加速度是研究圆周运动最重要的知识点，它是指向曲率中心的并且同切线方向垂直，能够表示圆周的运动速度方向变化快慢的量词，由于它和速度方向垂直，所以它只能改变速度的方向，不会对速度的大小产生影响。向心加速度是很典型的加速度，很适合单独研究，并能够将其结果推广至曲线运动的加速度研究中。由于匀速圆周运动速度的大小不变，所以我们对向心加速度的研究基本上都是通过匀速圆周运动来进行的，不仅物理现象清晰明了还特别容易观察推导，计算方便只需要考虑法向加速度就行。由于本文是研究曲线运动的加速度，所以接下来将探讨匀速圆周运动向心加速度的几种推导方法，进行曲线运动加速度的研究。向心加速度不仅仅是研究曲线运动问题的重点，也是物理教学中一直存在的难点，并且向心运动这部分知识不仅仅贯彻初中，高中乃至大学的物理学，在基本力学中占据重要地位，而且在研究天体运动描述一切宏观物体运动时常常会涉及，而且在讲述回旋加速器质谱仪到现代物理学也会用到该物理知识方面。由于向心加速度研究时，向心加速度是仅由速度方向的改变而产生的虽然速度的大小不变，但是速度方向变化会引起速度改变，并且速度的改变量并不为零，因为速度是矢量，不但有大小，而且有方向。但是刚刚接触矢量的学生往往难以想象为什么速度大小不变会有加速度的产生，只理解速度改变导致加速度改变。所以本文接下来将介绍几种推导向心加速度公式的方法，从多个角度来加深学生对向心加速度概念的理解。2.2向心加速度的推导2.2.1利用位移合成推导如图2-1，一个以速率v做匀速圆周运动的物体，在经过一个极短的时间∆t从A点移动到了B点位置处，根据线速度公式可以得到AB如果当时间∆t无穷小时，那么路程AB几乎与AB重合，则有AB图2-1当物体处在A点时，如果力的作用消失，那么物体将会沿着A点的切线方向做匀速直线运动，在∆t时间内通过的位移为v∆t。但是我们都知道物体的实际运动是绕圆周运动在∆t时间内从A点运动到了B点，这是因为物体还受到了向心力的作用，更快速的离开了切线，在向心力的作用下，物体在此方向上的位移为AF，同过A点的切线方向上的位移一起合起来，让物体运动到了B点。因为有限时间∆t很小，我们可以将向心力近似的看成通过A点半径方向。根据图2-1所示，我们可以通过几何方法来求出向心加速度公式，由于∆ABC∼∆ABF，所以AF于是AF将公式（2-2）带入该公式，并且知道AC=2R，所以得出AF式中v、R均是常量，这个公式表明位移AF同时间∆t的平方成正比，该结果满足匀加速直线运动的规律。根据初速度为零的匀加速直线运动的位移公式s=1a=根据本文第一部分内容可知，该结论是正确的圆周运动的法向加速度，并且我们可以将这一结论推广到一般曲线运动的法向加速度，可以用该几何法进行求解。2.2.2利用速度增量推导如图2-2，一个做匀速圆周运动的物体，在一定时间∆t内从A点移动到了B点，这段运动过程中因为有限时间∆t非常小，可以看成是一个过点A的切线的方向速度为v的匀速直线运动，和一个在AO方向v0为0图2-2物体通过A点沿着切线方向的速度为v，物体在AO方向的v0=0，所以当物体经过很小的时间∆t内，物体虽然从A点到了B点，但物体的线速度仍然是v，但是物体运动的方向发生了改变，所以物体在v因此，物体在AO方向速度的增加量应该是∆v=此时该物体沿着切线的方向走过的距离，可以看成从点E到点B的距离，即EB所以可得∆t=我们可以根据加速度的公式得到向心加速度的大小a=本方法是利用速度的增量来推导的，该法的重点是用加速度的定义式去得到结论，同样得到了向心加速度的计算公式，也同样可以推广到一般曲线运动加速度的推导。2.2.3利用速度位移公式如图2-3，该图表示一个做匀速圆周运动的物体，它的速率为v，物体在极短的时间∆t内从A移动到了B，本方法与第二种类似，我们将运动过程看成为是一个过A点切线方向，并且速度是v的匀速直线运动，和一个在AO方向v0为0的匀加速直线运动的合运动，同第二种方法不同的是AOv求得a=图2-3我们可以从图2-3看出AE因为已知v所以a=当∆t→0时，有θ→0，就有sinθ→0，a=本方法是利用速度和位移的公式来求推导的，比上一种方法稍稍复杂了点，但是仍是一种简单的方法去推导向心加速度的计算公式。2.2.4利用矢量端轨迹推导如图2-4，该图为速度矢端的轨迹曲线，它表示一个圆形的路径，我们可以在其上面画出相等时间间隔里的一系列的速度的矢量，它们方向不同大小相同。我们可以从共同的原点o,画出这些速度的矢量，我们可以使这些速度矢量端点在半径为v，周长为2πv的圆上绕一圈。我们可以发现速度的相继变化∆v都有着相同的长度，但它们方向却彼此不相同。图2-4我们假设一个以半径R作圆周运动的物体，在一个周期以内，绕行一周的距离是vT=2πR#根据这个思路，我们可以求得速度矢端把v作为半径，如此绕圆一周，则有aT=2πv#因为从公式（2-19）可知T=所以可得a=本方法比起其它三种方法更加新颖有趣，运用速度的矢量端轨迹相叠加得出了向心加速度的计算方法。2.2.5四种方法小结我们可以通过比较上面的四种方法得出，向心加速度的推导其实是很简单的，我们有许多方法来计算。通过四种方法的对比，我们能将其分为两类，前面三种利用位移合成法推导、利用速度增量法推导和利用速度位移公式法推导实际可以概括成一类，它们都是从运动合成的观点来进行展开分析的。不同的是位移合成法在处理上更注重几何学方法；速度增量法推导更注重加速度的定义式a=∆v总之这四种方法都是非常常见且简单的向心加速度公式的推导，运用数学物理知识，采用几何法等方法去推导向心加速度公式无疑是非常便利的，当然物理世界无穷无尽好用的办法数不胜数并不仅仅局限于本文所列举的几种方法。有关曲线运动加速度的推导也可以通过圆周运动向心加速度公式推导得出其法向加速度的推导，唯一需要改变的就是将向心加速度公式的R改成曲线运动的曲率半径ρ。曲率半径是用于描述曲线上某处的曲线的曲率度的物理量。圆的半径越大，曲率的程度就越小，并且它与直线的距离越近。所以，ρ越大，曲率越小，这个曲线也更借接近直线。曲率半径也可以认为是曲线截面最大程度地微分所得到的弧的半径。3曲线运动加速度的数学推导曲线运动不仅是生活中十分常见的运动，同样也是大学物理主要学习的重要内容之一。研究曲线运动就必不可少的要计算它的切向加速度和法向加速度，也就是对曲线运动加速度的研究。虽然曲线运动的加速度在中学时期已经进行了研究，学生早就学习了曲线运动的概念定义，以及如何计算曲线运动的加速度，当然中学时对曲线运动的涉及，大多是一般曲线运动，如圆周运动等，但是进入大学以后，大学物理中仍然对曲线运动加速度进行着研究，这时我们的研究就不仅限于运用物理学知识，更多的运用数学知识，毕竟自古以来数学物理不分家，当我们掌握了更多的知识也就有着更好的研究问题的方式。曲线运动加速度公式的推导一直都是物理学习的难点，以往较常用的推导方法，主要是物理方法，因为运用物理方法推导比较直观形象，更容易学习掌握，但物理方法推导出来的结果往往只是近似的，并不是准确的结果，所以我们还需要有更好更合理的方法来推导曲线运动的加速度，也就是用数学的方法对曲线运动的加速度进行推导。在许多力学教科书中，并没有给出数学推导的办法，而是为了方便学生的学习选择用物理方法得到近似的结论，这种举措有利也有弊，虽然学习起来简单了但是学生对于这个结论的准确性的怀疑并不能打消。所以本文在这里给出了一种完全通过数学运算的方法来直接导出计算结果，得到曲线运动加速度的公式，方便大家的学习并且使本文更加严谨。图3-1如图3-1所示，假设某一动点M沿着曲线AMB进行运动。在该曲线上建立随点M运动的自然坐标系，其中en和eτ分别表示法向和切向的单位矢量。在某一时刻，M点处在图3-1v再假设曲线在点M处的曲率半径为ρ，点o为曲率中心，并且在中心点o处建立直角坐标系oxy（坐标的位置并不影响计算结果，本文为了描述方便所以将坐标中心设于o点）。由图3-1可知，自然坐标系en和eτ与直角坐标系的i、jee将公式（3-1）对t求导数，可以得到动点M的加速度a然后再将公式(3-2)对时间t求导数，得d可以注意到dsdt=v，以及dφds=dφ将公式（3-6）代入到公式（3-5）中，得d再将公式（3-7）代入到公式（3-4）中，我们可以得到a所以如上文所推导的，动点M的切向加速度为a动点M的法向加速度为a以上对曲线运动加速度的推导，有效避开了一般物理方法中比较抽象难懂的矢量极限关系以及含有近似的三角函数结论，所以这样也就不用再附加物理矢量的图形以及冗杂的文字问题说明。运用纯数学的方法对曲线运动的加速度进行推导，清晰明了，准确严格，这是推导曲线运动加速度的极为有效的方法。4对曲线运动加速度的教学研究4.1基于高中物理对曲线运动加速度学习的思考本文已经对曲线运动加速度的推导进行了详尽的阐述，但是对曲线运动加速度的研究并不仅仅局限于公式推导，更应该涵盖方方面面，尤其是教学方面的研究是我们应当重点涉及的。就曲线运动知识点来讲，它是高中物理学习中的重点，所以对于曲线运动加速度的研究也要放到高中的物理课堂上，这样研究起来才更有意义。对于大多数学生来说，力学不仅仅是一门关于运动的科学，它可以让学生学会如何运用物理知识去描述自然界发生的运动，能够用物理的视角来看待我们的生活，而曲线运动正是自然界最常见的运动，所以曲线运动的学习上十分重要的，我们必须打将曲线运动乃至整个物理学的学习放在心上。高中物理的学习需要我们有较强的逻辑推理和数据分析能力，而曲线运动是一个包括了物体运动的方向和速度、运动的合成与分解、加速度、向心力等等一系列的内容，这些知识都是我们学习的难点，尤其是曲线运动的加速度，学生往往分不清楚切向加速度和法向加速度的区别，以及如何推导出加速度的计算公式。所以在新课改背景下，如何更好的展开曲线运动的教学是老师们必须思考的问题。我国基础教育的改革对教师课堂教学的质量十分重视，尤其是学生的学习效果和课堂的教育质量。在改革的背景下，我国出现了一系列反传统课堂的授课方式，比如先学后教的翻转课堂、幕课等。但是如何更好地确定学生学习任务，展开更切实方便的教学活动，给予学生更多帮助，给学生提出更多的建议和意见，都是需要老师们不断研究探讨的。就曲线运动加速度的教学研究来说，教师在教学过程中应该注重如下几个方面：首先，应该安排好曲线运动的教学结构模式，比如在研究“物体做曲线运动的方向”这一环节中，对于应该怎样高效的证明曲线上某一点的运动方向为该点切线的方向，物理教材安排了以下几个步骤来进行证明：现象归纳整理、实验验证、数理分析、概括以及最后的归纳总结。这样的教学结构对于学生的学习是有利的，通过合理的结构安排循序进渐的展开学习活动。其次，对教材的合理分析，物理教材的编写都是有科学依据的，每一个环节的安排都是必要存在的，所以教师在备课的时候应当重点钻研教材，对课本上安排的互动游戏以及探究实验都要有所涉及。最后，应该有科学严密的理论依据，物理的学习离不开数学，虽然我们对物理的学习都是从现象展开的，但是数学的推导也是十分重要的，没有严谨合理的推导，那物理结论就没有科学的依据，所以对物理公式推导的研究也是很有必要的。4.2怎样学习曲线运动的加速度4.2.1学习方法俗话说得好授人以鱼不如授人以渔，在物欲横流科技飞速发展的现在，教给学生正确的学习方式是比教给学生正确的知识更为重要的事情。时代的发展是飞速的，我们学习的知识并不是一成不变的，所以对曲线运动的加速度学习也是要随时代变化，不断地改善我们学习的方法。第一，归纳法。归纳法是指从大量的实验现象去总结物理规律的常用的方法。比如我们在进行曲线运动加速度的学习时，可以先从生活中许多实例来进行学习，比如为什么导弹和人造卫星发射后都是作曲线运动？为什么钢珠沿着桌面直线运动之后它会脱离桌面作斜抛运动？通过牛顿第一定律，我们可以得知这些作曲线运动的物体，它们受到的力和它们的速度并不在同一条直线上。因此可以得出物体作曲线运动的条件：力和速度不共线。第二，模型法。在学习过力的合成与分解后，对于受力比较复杂的物体求合力时，我们可以将物体受到得力先分解后合成，将力分解成具有独立性的模型，这样更方便求解。对曲线运动我们可以将物体受到的力分解成与速度垂直和与速度共线两个方向的力，当分力和速度垂直时速度的方向改变，当分力和速度共线时速度的大小改变。所以通过模型法，我们可以更好地研究曲线运动的加速度。第三，分析推理法。通过已经掌握的知识对所学的内容进行物理分析，在学习曲线运动之前，学生已经学习了加速度的概念，由于速度和加速度都是矢量，所以加速度不仅可以使速度的大小发生改变，还可以使速度的方向发生改变。所以我们可以对曲线运动的加速度进行研究时，可以以匀速圆周运动的物体为例来进行讨论，通过研究匀速圆周运动物体的速度变化，分析推理得出向心加速度的特点。4.2.2重难点第一，曲线运动也有匀变速运动。曲线运动可以被分成两个部分：非匀变速曲线运动和匀变速曲线运动。很多人受到之前学习过的匀速直线运动的影响，往往会产生误解认为只有直线运动才存在匀速运动。如果作曲线运动的物体它所受到的加速度不变，那么它就是匀变速运动，比如抛体运动。第二，对曲线运动速度的分解。在研究曲线运动和曲线运动的加速度时，我们通常会对它的速度进行分解，虽然分解的方向是可以任意的。但是为了更好地研究曲线运动，我们通常会将速度根据实际运动效果分解。比如一个平拋运动的小球我们可以将速度分解成沿小球运动的方向和垂直小球运动的方向。第三向心力并不一定就是合外力。物体圆周运动时受到的向心力实际只是一种效果力，它是物体所有力在半径这条线上的合力，它可能只是一个力，也可能是多个力的合成，像变速圆周运动它的合外力就是向心力和切向力的合力。总之，曲线运动的加速度是学习的难点，要学好它一定要掌握好各个物理量的概念以及含义，并且要善于对曲线运动的规律进行归纳总结，这样学习曲线运动就不会那么难了。4.3以“向心加速度”为例模拟教学过程4.3.1模拟教学过程的意义对曲线运动加速度的教学研究不仅仅需要理论方面的研究，也需要基于实际教学情境展开的研究，所以本文对曲线运动的加速度设计了模拟教学过程，能够运用前文对曲线运动加速度的教学研究以及公式推导。通过以“向心加速度”为例展开的模拟教学，能够更好的扩展对曲线运动加速度的教学研究。4.3.2新课导入经过前面抛体运动的学习，我们了解到在实际生活中，物体如果做曲线运动那么它一定会受到外力的作用，比如以下两个例子（通过课件展示）图4-1地球公转图4-2小球绕图钉转动提问：图中所示的地球以及小球它们分别都受到了什么样的力的作用？它们加速度的大小和方向是怎样的？带领学生复习曲线运动的有关知识，回顾重难点和基本概念。提问：什么是加速度？加速度的公式是什么？如果在直线运动中v0表示初速度，v表示末速度，那么速度的变化量为v−4.3.3新课教学4.3.3.1速度变化量从加速度的定义式a=vt可知，a的方向和引导学生阅读教材，画出物体加速和减速运动的矢量图，并基于图片展开教学，引导学生判断∆v是矢量还是标量。得到结论：如果速度是增加的，那么速度的变化量和初速度方向相同，反之亦然。可以将以上结论延伸到曲线运动，当物体沿着曲线运动时，虽然初速度v1和末速度v2不在同一条直线上，但速度的变化量∆v仍然可以用上面的方法求的。比如，如图4-3，一个物体沿曲线从A向B运动，物体于点A和点B的速度为v1和v2，在这个过程中∆v如图4-4所示。图4-3图4-4我们可以这样理解，在物体从点A向点B运动的过程中，它的速度得到增量∆v，可以用矢量合成的方法来进行研究，由图4-4可以看出初速度和速度增量的矢量和为末速度。初步的得到这一结论后在通过课件展示不同曲线运动的速度矢量合成图，使学生更好地理解∆v。4.3.3.2向心加速度通过课件展示圆周运动的初末速度矢量图，通过上一部分的学习学生已经能很好的合成速度增量，所以这里可以让学生分组讨论，亲自导出向心加速度的方向。再通过本节课的导入，“地球公转”和“小球的转动”这类具体的运动加以区别，引导学生得出做匀速圆周运动的物体加速度的特点。虽然已经通过导入部分使学生知道匀速圆周运动加速度方向是指向圆心的，但是物体加速度的大小同什么因素有关还是未知的，所以要进行加速度的推导。这里先让学生按照课本提示自主推导，然后教师再进行总结，推导过程如下所示。图4-5如图4-5所示，由于vv并且由于vOA所以∆OAB近似于vA、vB和∆v组成的三角形，以v代表vA和vB的大小，以∆v将上式除以∆t，可得∆v若∆t→0，用∆v∆t表示an的大小，这时AB所对应的圆心角∆l=rθ#将公式（4-7）带入公式（4-6）可得∆v因为已知a利用v=ωr#可得a这种推导公式的办法是利用前面所学的线速度和角速度的知识来进行的，除此之外还有很多简便的办法。为了让学生对向心加速度的推导掌握得更好，再给学生补充其它向心加速度的推导方法：位移合成推导法、速度增量法、速度位移公式法来进行补充，通过前面所学习过的公式来推导加速度，不仅让学生复习了以前的知识，还对物理公式的运用有了更好的理解。4.4.4小结本节课通过生活实例进行情景导入，使学生初步认识了圆周运动，再通过复习向心力的相关知识使学生更好的进行新内