专题08多边形及平行四边形的性质(知识点串讲)(原卷版+解析)

专题08多边形及平行四边形的性质知识网络重难突破知识点一多边形的有关概念1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。3.四边形的内角和等于360o。n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。任何多边形的外角和为360o。【典例1】（2020春•鹿城区校级期中）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式训练】1．（2019秋•温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．6条 B．8条 C．9条 D．12条2．（2020•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14 B．15 C．16 D．173．（2019春•西湖区校级月考）若一个多边形减去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形4．（2020•如皋市校级模拟）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．知识点二平行四边形及其性质1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。【典例2】（2020春•丽水期中）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．【变式训练】1．（2019春•嘉兴期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝14，AC＝6，则△OBC的周长为．2．（2019春•天台县期末）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝°．3．（2019春•温州期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为．4．（2018秋•吴兴区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）连接BF，若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝3，求BF的长．5．（2019•黄石模拟）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．知识点三中心对称1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。2.对称中心平分连结两个对称点的线段。【典例3】（2020•黄岩区模拟）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，那么这个四边形（）A．仅是轴对称图形 B．仅是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对【变式训练】1．（2020春•杭州期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．线段 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形2．（2019•郫都区模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A（﹣2，3）关于点O中心对称，则点B的坐标为．3．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFBS四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．巩固训练1．（2020春•鹿城区校级期中）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（）条．A．9条 B．10条 C．11条 D．12条2．（2019春•西湖区校级月考）下列说法正确的是（）A．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 B．两个全等三角形一定关于某个点成中心对称 C．中心对称图形也是轴对称图形 D．轴对称图形也是中心对称图形3．（2019•邵阳三模）如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E，且BE＝CE，若AD＝10cm，则平行四边形ABCD的周长为cm．4．（2019春•嵊州市期末）如图，E是直线CD上的一点．已知平行四边形ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为cm2．5．（2018春•嵊州市期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．6．（2020•龙湾区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连结DE交AB于点F．（1）求证：△ADF≌△BEF．（2）连结DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．7．（2019春•西湖区校级月考）如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别延长BE、CD交于F．（1）CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．（2）AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；8．（2018春•建德市期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．（1）求证：BE＝CD；（2）若点F是CD的中点．①求证BF⊥AE；②若∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．专题08多边形及平行四边形的性质知识网络重难突破知识点一多边形的有关概念1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。3.四边形的内角和等于360o。n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。任何多边形的外角和为360o。【典例1】（2020春•鹿城区校级期中）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．【解析】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，解得：n＝8，故选：C．【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．【变式训练】1．（2019秋•温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．6条 B．8条 C．9条 D．12条【点拨】设这个多边形是n边形．构建方程求出n即可解决问题．【解析】解：设这个多边形是n边形．由题意＝180°﹣150°，解得n＝12，∴则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为12﹣3＝9条，故选：C．【点睛】本题考查多边形的内角与外角，多边形的对角线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2020•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14 B．15 C．16 D．17【点拨】由多边形的每一个内角都是156°先求得它的每一个外角是24°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可．【解析】解：180°﹣156°＝24°，360°÷24°＝15．故选：B．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数＝360°是解题的关键．3．（2019春•西湖区校级月考）若一个多边形减去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【点拨】首先求得内角和为720°的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数．【解析】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，解得：n＝6．∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，∴原多边形的边数为5或6或7．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．4．（2020•如皋市校级模拟）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是五边形．【点拨】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．【解析】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，解得：n＝5．则这个多边形是五边形．故答案为：五．【点睛】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式（n﹣2）•180°．知识点二平行四边形及其性质1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。【典例2】（2020春•丽水期中）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．【点拨】易证△ADE≌△CBF（SAS），得出AE＝CF，由平行四边形的性质易求AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，∠D＝∠B，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵AB＝CD，DE＝BF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形与全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2019春•嘉兴期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝14，AC＝6，则△OBC的周长为18．【点拨】由平行四边形的性质得出OA＝OC＝3，OB＝OD＝7，BC＝AD＝8，即可求出△OBC的周长．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝7，BC＝AD＝8，∴△OBC的周长＝OB+OC+AD＝3+7+8＝18．故答案为：18【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．（2019春•天台县期末）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝65°．【点拨】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F＝∠BAE＝50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B＝∠AEB＝65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【解析】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F＝∠BAE＝50°，．∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝65°，∴∠D＝∠B＝65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．3．（2019春•温州期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为．【点拨】过点D作DE⊥AB于E，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝2，由直角三角形的性质可得DE＝AE，由勾股定理可求DE的长．【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC＝2，∵∠A＝45°，DE⊥AB∴∠A＝∠ADE＝45°∴DE＝AE∵DE2+AE2＝AD2＝4，∴DE＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．4．（2018秋•吴兴区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）连接BF，若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝3，求BF的长．【点拨】（1）通过证AE、CF所在三角形全等即可求解；（2）利用条件（1）找出等量关系，用勾股定理即可求解．【解析】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，∴∠BAC＝∠ACD，AB＝CD，又BE⊥AC，DF⊥AC，所以∠BEA＝∠DFC＝90°，∴△BAE≌△DCF（AAS），∴AE＝CF．（2）如图：连接BF，AE＝CF＝1，在直角三角形BCE中，∠ACB＝45°，BE＝3＝EC，EF＝CE﹣CF＝3﹣1＝2，BF＝＝．答：BF的长等于．【点睛】本题考查平行四边形的性质，通过证AE、CF所在三角形全等即可求解，利用等量关系利用勾股定理即可求解．5．（2019•黄石模拟）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．【点拨】（1）根据平行四边形的性质可得DC＝AB，AD＝BC，AB∥CD，然后再证明AF＝DC，∠ADF＝∠DEC，∠AFD＝∠C，利用AAS可判定△ADF≌△DEC；（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DE，DF＝EC，再证出BC＝DE，即可得出结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠B＝∠AFE，∴∠AFD＝∠C，∵AB＝AF，∴AF＝DC，在△ADF和△DEC中，∴△ADF≌△DEC（AAS）；（2）证明：∵△ADF≌△DEC，∴AD＝DE，DF＝EC，又∵AD＝BC，∴BC＝DE，∴BC﹣EC＝DE﹣DF，即BE＝EF．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等．知识点三中心对称1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。2.对称中心平分连结两个对称点的线段。【典例3】（2020•黄岩区模拟）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，那么这个四边形（）A．仅是轴对称图形 B．仅是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对【点拨】根据题意判断出该四边形是菱形，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可得出答案．【解析】解：∵对角线AC、BD相交于O，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∴四边形为菱形，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形对角线的特点以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，难度适中．【变式训练】1．（2020春•杭州期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．线段 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形【点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解析】解：A、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2019•郫都区模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A（﹣2，3）关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣3）．【点拨】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．【解析】解：∵点A（﹣2，3）与点A关于原点O中心对称，∴点B的坐标为：（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点睛】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．3．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．【点拨】（1）根据知识背景即可求解；（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．【解析】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；（2）如图所示：（3）如图所示：故答案为：＝．【点睛】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．巩固训练1．（2020春•鹿城区校级期中）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（）条．A．9条 B．10条 C．11条 D．12条【点拨】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，由此计算即可．【解析】解：12﹣3＝9，十二边形从一个顶点出发可引出9条对角线．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的边数与对角线的关系．熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．2．（2019春•西湖区校级月考）下列说法正确的是（）A．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 B．两个全等三角形一定关于某个点成中心对称 C．中心对称图形也是轴对称图形 D．轴对称图形也是中心对称图形【点拨】直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义、关于点对称图形的性质分析得出答案．【解析】解：A、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，正确；B、两个全等三角形不一定关于某个点成中心对称，故此选项不合题意；C、中心对称图形不一定是轴对称图形，故此选项不合题意；D、轴对称图形不一定是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义、关于点对称图形的性质，正确把握相关定义是解题关键．3．（2019•邵阳三模）如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E，且BE＝CE，若AD＝10cm，则平行四边形ABCD的周长为30cm．【点拨】由平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，易得△CED是等腰三角形，又由BE＝CE，若AD＝10cm，即可求得各边的长，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝10cm，∴∠ADE＝∠CED，∵BE＝CE，∴CE＝BC＝5cm，∵DE是∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5cm，∴AB＝CD＝5cm，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝30（cm）．故答案为：30．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2019春•嵊州市期末）如图，E是直线CD上的一点．已知平行四边形ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为26cm2．【点拨】根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．【解析】解：根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半，又∵平行四边形ABCD的面积为52cm2，∴△ABE的面积为26cm2．故答案为：26．【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半．5．（2018春•嵊州市期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．【点拨】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF．【解析】解：结论：BE＝DF，BE∥DF．理由如下：连接DE、BF．∵ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF．【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．6．（2020•龙湾区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连结DE交AB于点F．（1）求证：△ADF≌△BEF．（2）连结DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．【点拨】（1）根据平行四边形的性质，证得∠ADF＝∠E，AD＝BE，∠A＝∠FBE，再根据ASA判定全等即可；（2）证明EF＝DF，DB＝BE，得出BF⊥DE，由勾股定理求出EF，即可得出结果．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E又∵BC＝BE，∴AD＝BE，在△ADF和△BEF中，，∴△ADF≌△BEF（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC，由（1）得：△ADF≌△BEF，∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，∵AD＝DB＝5，∴DB＝BE＝5，∴BF⊥DE，在Rt△BEF中，EF＝＝＝4，∴DE＝2EF＝2×4＝8．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7．（2019春•西湖区校级月考）如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在