普通高等学校高三招生全国统一考试仿真卷（十）数学（理）试题

班级姓名准考证号班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（十）本试题卷共=sectionpages4*28页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．30 B．31 C．32 D．3．已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线，，，及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D．5．已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为（）A．3 B． C． D．66．设与均为锐角，且，，则的值为（）A． B． C．或 D．或7．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是（）A． B． C． D．18．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．2 D．49．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为且的，则其面积为（）A． B． C． D．10．已知数列满足，，则该数列的前23项的和为（）A．4194 B．4195 C．2046 D．11．过点作直线（，不同时为零）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__．14．已知向量，，若，则______．15．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果QUOTE__________．16．已知抛物线的方程为，为坐标原点，，为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为5，求的值．18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前QUOTE天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额QUOTE的分布列及数学期望．参考公式：，，．19．已知四棱锥，平面，底面为直角梯形，，，，，是中点．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，是的中点，求二面角的余弦值．20．如图，是圆：内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点．（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．21．设函数（其中）．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点．（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值．23．已知函数．（1）若不等式有解，求实数的最大值；（2）在（1）的条件下，若正实数，满足，证明：．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（十）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B7．A 8．A 9．A 10．A 11．D 12．B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13． 14．10 15．9 16．2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知：·········2分，·········4分所以的最小正周期为．·········6分（2）由（1）知：，当时，．·········8分所以当时，的最小值为．·········10分又∵的最小值为5，∴，即．·········12分18．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）依题意：，·········1分，·········2分，，，·········3分，·········4分则关于的线性回归方程为．·········5分（2）二人所获购物券总金额的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：·········6分，，，，．·········11分所以，总金额QUOTE的分布列如下表：03006009001200总金额的数学期望为元．·········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取中点，连接，，在中，，，，，四边形为平行四边形．·········2分，·········3分又平面，平面，平面．·········4分（2）由已知得：，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．·········5分，，，平面，就是与平面所成的角．在中，，即，·········7分设，则，，；中，为斜边中点，，．则，，，，，，所以，，．设是平面的一个法向量，则，令，得．·········9分设是平面的一个法向量，则，令，．·········11分．二面角的余弦值为．·········12分20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分，，，轨迹方程为．·········4分（2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得，消去得，设，，则，，·········6分则，·········8分又，·········9分，·········10分令，由，得，，，易证在递增，，，面积的最大值．·········12分21．【答案】（1）答案见解析；（2）函数在定义域上有且只有一个零点．【解析】（1）函数的定义域为，，·········1分①当时，令，解得．∴的单调递减区间是，单调递增区间是；·········2分②当时，令，解得或．∴在和上单调递增，在上单调递减；·········3分③当时，，在上单调递增；·········4分④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．·········5分（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，·········6分当时，．又∵在上单调递增，∴在上有唯一的零点，∴函数在定义域上有唯一的零点；·········7分②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；·········8分当时，，．令，，则，，∵，，在上单调递增，，∴在上单调递增，得，即．∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．·········11分综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．·········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．【答案】（1），；（2）．【解析】（