六年级奥数第22讲-综合行程问题（教）

学科教师辅导讲义

学员编号：年级六年级课时数：3

学员姓名：辅导科目奥数学科教师

授课主题第22讲一—行程问题

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①环形路线上的相遇和追及问题；

教学目标②速度行程问题与比例关系；

③钟面上的行程问题。

授课日期及时段

F(Textbook-Based)-同步课堂

知识梳理

△

问题回顾

例1、一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行

24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。

【解析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：

顺水逆水时间

48千米16千米5小时

32千米24千米

比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米

增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16+8=2倍。所以“逆水航行16千米”，

可转换为“顺水航行16X2=32（千米），这样船5小时一共顺水航行48+32=80（千米），船顺水速为80+5=16

千米，船逆水速为16+2=8（千米）。船静水速为（16+8）4-2=12（千米）。

例2、甲、乙二人分别从A、2两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次

相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、8两点间的距离为多少米?

ACFnR

【解析】（法一）画图分析知甲、乙速度比为：S甲：SL%:吃=3:7,第四次相遇甲乙共走：4X2—1=7（个

全程），甲走了：3X7=21（份）在C点，第五次相遇甲乙共走：5X2-1=9（个全程），甲走了：3X9=27

（份）在。点，已知C。是150米，所以AB的长度是150+6X（3+7）=250（米）。

（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2X4-1）X3+20余数为1则在x的位置，第五次相遇:

（2X5—1）X34-20余数为7则在7x的位置，尤表示速度基数7x-lx=6x,6x=15O,

10尤=10x150+6=250（米），即全程AB为250米。

典例分析

考点一：环型跑道行程问题

例1、如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处

沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？

,乙

甲-------

【解析】当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。

当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需300―（90-70）=15（分），

此时甲走了90x15+300=4.5（条）边，

所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后

可看到乙，共需300x5+90=16—（分），即16分40秒。

3

例2、甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD,其中40=100米，AB=80米,

已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方

向划行，己知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、边上视为静水），两人第一次相遇在边上的P点,

4CP=CD,那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）

------------>--------

BC

(•

P

A----------------------------D

------------>--------

【解析】设乙的速度为x米/秒，则可列得方程：

80+80+410010080-80+4

1--------1-------------

x+1---x+1+1x+1X

解得：x=3。所以甲的速度为4米/秒。

甲游一圈需要93工秒，乙游一圈需要128』秒。5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多43^秒。

333

多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。所以两人共相遇了5次。

例3、如图，在长为490米的环形跑道上，A、8两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出

发反向奔跑.两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%,乙把速度提高了20%.结

果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点8.如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开

始算起，甲一共跑了多少米。

【解析】相遇后乙的速度提高20%,跑回8点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5:6,所以所花时

间的比为6:5。

设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来每单位时间的速度%,由题

意得：6%+5x%x(l+25%)=490解得：%=40。

从A点到相遇点路程为40x6=240,所以％=(490-50-240)+6=煤。

两人速度变化后，甲的速度为40x(1+25%)=50,乙的速度为gx(1+20%)=40,从相遇点开始，甲追上乙

时，甲比乙多行一圈，

二甲一共跑了4904-(50-40)X50+240=2690(米)。

注：对于环形跑道问题，抓住相遇(或追及的)的路程和(或路程差)恰好都是一圈。(这是指同地出发的情

况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）。

另外，本题涉及量化思想，即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位乘以一个速度单位,

得到一个路程单位。

考点二：钟面行程问题

例1、某小组在下午6点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时手表的分针和时针垂直。下午

7点之前会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了分

钟。

【解析】分针每分钟转工圈，时针每分钟转」-圈。分针要比时针多转工圈，需要工+（工-二一］=当（分）。

6072022（60720J11

例2、某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天的

正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工

资6元。如果一个工人照此钟工作小时，那么他实际上应得工资多少元？

【解析】时钟的一圈有60小格，分针每分钟走1格，时针每分钟走上=,格。

6012

时针和分针从一次重合到下一次重合，分针应比时针多走一圈，因此需要时间6。/1-上］=烟（分钟）。

I12J11

于是依题设可知，计时钟的3分钟相当于标准时间的69分钟。

11

从而用此钟计时的8小时，实际上应该是8+%x69=8丫（小时），

1130

那么工人实际上应得的工资为8x4+2x6=34.6元。

30

例3、一个挂钟每天慢30秒。一个人在3月23日12时校正了挂钟，到4月2日14时至15时之间，挂钟的

时针与分针重合在一起时，标准时间应该是4月2日时分秒（精确到秒）。

【解析】从3月23日12时到4月2日12时共10天，挂钟慢了30X104-60=5（分）此时挂钟显示11时55

分。

因为时针与分针两次重合时间为60+［1-二］=孕（分）；

I12J11

所以从标准时间4月2日12时到所求时刻，挂钟走的时间为5+65』><2=135W（分）；

1111

相当于标准时间135—x60x60x24«135.956（分）Q2时15分57秒

1160x60x24-30

所求时刻为14时15分57秒。

P(Practice-Oriented)一-一实战演练

实战演练，

＞课堂狙击

1、王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就

要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？

【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟

70(x-2)=50(x+2)

70x-140=50x+100

70x—50龙=100+140

尤=12

70x(12-2)=700(米)。

2、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都

是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山道

长米。

【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走480+20=24(分钟)后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个

时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，也就是距离山脚还有30x30=900(米)，所

以山顶至U山脚的距离为900+24x(20+30)=900+1200=2100(米)。

3、小明在1点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到2：30,但此时的时针和分针与开始做题时

正好交换了位置，你知道小明做题用了多长时间，做完题时是几点吗？

【解析】在不到L5小时的时间内，时针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈，则

经6。/1+，］=552分钟。

I12J13

两针在此时间内共转了一圈，所以时针实际转了」一=。圈，所以开始做作业时分针在时针前工圈，做完

1+121313

作业时时针在分针前工圈，2点的时候，时针在分针前工圈，所以还要经过+小时，即

1361613)I12)143

5竺S分，小明所以做完作业时是2点5”。分。

143143

4、有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200

厘米的公用跑道（如下图）。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方

向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发，那么当两个机器人在跑道

上第3迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米？

【解析】第一次在耳点相遇，甲、乙共跑了400厘米（见左下图）。

第二次在星点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米（见右

上图）。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间（400+700+700）+（6+4）=180（秒），

甲跑了6X180=1080（厘米）,距A点400X3—1080=120（厘米）。

5、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要

走15分钟.有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站.他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站.在路

上他又遇到了10辆迎面开来的电车.到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出.问他从乙站到甲站用了多

少分钟？

【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答：

骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出.骑车中，甲站发

出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5x8=40（分钟）.

再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：

第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站.由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示

甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟.

«~曙~.蠲"“以~承与出58.、健同成或E4

第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与户点（注意：这两点在水平方向上正好有3

个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表

示从甲站开往乙站的电车.

第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从户点引出的粗

从图中可以看出，骑车人正好经历了从尸点到0点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了5x8=40（分钟）.

对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！

＞课后反击

1、小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米.小王步行，速度为每小

时4千米.如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王.那么甲、

乙两地之间的距离是千米.

【解析】因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车1个小时，小王步

行2个小时，他们一共所走的路程是：60x1+4x2=68（千米），所以甲、乙两地之间的距离是：68+2=34（千

米）.

2、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A.甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A.甲向北，乙

向东同时匀速行走.4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等.问：

甲、乙二人的速度各是多少？

【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程.那么甲、乙两

人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：560+4=140（米/分）。第二次：两人距A的距离又相等，

只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程=乙走的总路程.那么，从第二次甲比乙共多走了560米,

共走了4+24=28（分钟），两人的速度差：560+28=20（米/分），甲速+乙速=140,显然甲速要比乙速要快;

甲速-乙速=20,解这个和差问题，甲速=（140+20）+2=80（米/分），乙速

=140-80=60（米/分）.

A

3、如图，A、3两地位于圆形公路一条直径的两个端点。一天上午8点甲从A出发，/

沿顺时针方向步行，同时乙从8出发，骑自行车沿逆时针方向行进。8点40分时乙将（）

自行车放在路边，自己改为步行。当甲走到自行车停放地点时，就骑上自行车继续前进。

结果在10点的时候两人同时到达A地。已知两人步行速度相同，都是每小时5千米，

而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，求乙骑车的速度。

【解析】根据题意，可知乙骑了2小时，步行了&小时。由于甲乙步行速度相同，所以甲应步行士小时后骑

333

上自行车，骑了2小时后到达A地。因为甲的路程是乙的路程的2倍，所以乙骑土小时，步行邑小时等于甲

333

0497

骑士小时，步行之小时。而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，所以甲骑士小时相当于乙骑」小时。

3333

5X（»,）+（Z/）=型（千米/小时），所以乙骑车的速度是0千米/小时。

333333

4、一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A,B,C分别在这3个点上。它们同时出

发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是10厘米/秒、5厘米/秒、3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间

第一次到达同一位置？

【解析】先来详细讨论一下：

⑴先考虑2与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。

开始时，他们相差30厘米,每秒钟8能追上C的路程为5-3=2（厘米）；30+（5-3）=15（秒）

因此，15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，2要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

90+（5-3）=45（秒）。

8与C到达同一位置，出发后的秒数是15,60,105,150,195,

⑵再看看A与8什么时候到达同一位置。

第一次是出发后30+（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上8一圈，需要90+（10-5）=18（秒）。

A与2到达同一位置，出发后的秒数是6,24,42,60,78,96.......

对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置。

5、如图，长方形的长AD与宽4?的比为5:3,E、尸为边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿长方

形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、歹出发沿长方形顺时针运动.甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5.他

们出发后12分钟，三人所在位置的点的苜己线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所

在位置的点的连线第二次构成最大三角形?

AD

E<

F’

BC

【解析】长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合,

并且另一个点恰好在该长方形边的对边上。

所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况。

将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那

么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、

乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段。所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况。

对于甲的运动进行讨论：

时间（单位时间）246810121416...

地点CACACACC

对于乙的运动进行讨论:

时间（单位时间）23101118192627....

地点DCBADCBA

对于丙的运动进行讨论:

时间（单位时间）23101118192627....

地点CBADCBAD

需要检验的时间点有2、3、10、11、……

2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件。

3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形.所以一个单位时间相当于4分钟。

10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形。

所以再过40分钟。三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形。

6、如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重.甲以每秒6米的速

度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当

他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？

【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在4?右侧的半跑道上相遇.

易知小跑道上左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上⑷？的左、右两侧的路程均是200米.

我们将甲、乙的行程状况分析清楚.

当甲第一次到达3点时，乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的54某处.

而当乙第一次到达3点时，所需时间为200+4=50秒,此时甲跑了6x50=300米,在离B点300-200=100米

处.

乙跑出小跑道到达A点需要100^4=25秒，则甲又跑了6x25=150米在A点左边(100+150)-200=50米处.

所以当甲再次到达2处时，乙还未到3处，那么甲必定能在3点右边某处与乙第二次相遇.

从乙再次到达A处开始计算，还需(400-50)+(6+4)=35秒，甲、乙第二次相遇，此时甲共跑了

50+25+35=110秒.

所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6x110=660米.

直击赛场.

1、(奥数网杯)电子玩具车A与2在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知A比3的速度快50%,根据

推算，第2。07颉7次相遇点与第2008.8次相遇点相距58厘米，这条轨道长厘米。

0I--------A1-----►2-----►3-----A4-----5

-----9-----8-----7-----6-----1

【解析】A、B两车速度比为(1+50%):1=3:2；第2OO72007次相遇点的位置在：3x(2x2OO72007-l)^5(modl0)；

第2OO82008次相遇点的位置在：3x(2*200820°8-1)三3(modl0)所以这条轨道长58^(5-3)x5=145(厘米)。

2、(第五届“走进美妙的数学花园”决赛)如图，甲、乙两只蜗牛同时从A点出发，甲沿长方形ABC。逆时

针爬行，乙沿逆时针爬行.若42=10,BC=14,AO=DO=10,且两只蜗牛的速度相同，则当两只

蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少？

【解析】很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，

那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况：

情况一；甲在c点，乙在A点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了x

圈，甲已走了y圈.则可以列出不定方程：（10+10+14）x=（10+14+10+14）y+10+14«

化简为34x=48y+24,由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12,止匕时y=8,两只蜗牛共走了816。

情况二：甲在2点，乙在。点，这种情况下乙走了若干圈又20,甲走了若干圈又10,设两只蜗牛分别行走了

x圈和y圈，则可以列出不定方程：34x+20=48y+10

化简为17x+5=24y,x=ll是方程的最小解，此时y=8,两只蜗牛一共行走了788.

显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788。事实上

两只蜗牛在走过情况二之后各走了14,就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就

可以少讨论一种情况了。

3、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地,8点15追上一个骑车人.小

李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人.小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙

地，速度是小李的L25倍.当他追上骑车人后，速度提高了20%.结果小王、小李、小张三人一同于9点整

到达乙地.小王、小李、骑车人的速度始终不变.骑车人从甲地出发时是几点几分，小张从甲地出发时是8

点几分几秒？

【解析】不妨设从甲地到乙地的距离为单位“1”，小王从甲地到乙地一共用了1小时，所以小王的速度为1,

小李从甲地到乙地一共用了45分钟（即3小时），所以小李的速度为小王追上骑车人时，走了总路程的

43

1x1=1,而小李追上骑车人时，走