高中数学讲义-复数课堂总结

高中数学讲义一复数课堂总结

目录

1.思维导图....................................................................1

2.数学抽象....................................................................2

2.1.题型一复数的概念....................................................2

3.数学运算.....................................................................3

3.1.题型二复数的四则运算................................................3

4.直观想象.....................................................................4

4.1.复数的几何意义........................................................4

5.复数的概念：...............................................................4

6.复数的几何意义：...........................................................5

7.复数的模：.................................................................5

8.复数模的性质：.............................................................5

9.复数相等特别提醒：.........................................................6

10.数学学习技巧..............................................................6

11.数学中的合数是什么意思？..................................................7

11.1.合数的概念.............................................................7

11.2.什么是质数.............................................................7

11.3.质数和合数应用.........................................................7

12.章末质量检测卷（二）复数....................................................7

1.思维导图

第1页共15页

概念

几何意义

复数的概念

共轨复数

复数

加法、减法运算

复数的四则运算乘法、除i去运算

2.数学抽象

数学抽象是数学的基本思路，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的

本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在

复数的基本概念中.

2.1.题型一复数的概念

(1)设i是虚数单位，若复数。+詈(adR)是纯虚数，则。=()

A.4B.3

C.2D.1

(2)i是虚数单位，复数z=a+i(aeR)满足z2+z=l—3i,则|z|=()

A.巾或小B.2或5

C.小D.5

.,6+2i(6+2i)(—1—i)

解析：(1)・・Z+—

1—1(―1+i)(—1—i)

,—4—8i

4+-2-=。一2—4i是纯虚数,

・・.q—2=0,即a=2,故选C.

(2)•/z2+z=:(^+i)2+6z+i

=a2-1+a+(2〃+l)i=1—3i,

第2页共15页

cr-1+a=1,

解得a=-2.

2。+1=-3,

.•.z=—2+i,故|z|=—(—2)2+12=小.

故选C.

答案：(1)C(2)C

3.数学运算

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学

结果的重要手段.在本章中，主要表现在复数的四则运算中.

3.1.题型二复数的四则运算

y一2

(1)已知复数z=l+i(i为虚数单位)，则z2+：=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

(2)已知复数z满足(l+，§i)z=J3i,则z=()

3近3

-+-V23

A.22B.2-

33邛

c-+••

4V431D.4-1

解析：⑴・・・z=l+i,

22

2故选

/.z+~z—21+71+717=l+i.A.

土上口彳，日________小i(1一小一

()法一：由已知何，z=]+小j=(]十小i)(1-4)

=呼=1+小♦故选C.

法二：设z=a+〃i,Q,〃£R,则由(1+，§i)z=y[3i,可得(l+，§i),(a+

bi)=y/3i,即(〃一6b)+(y/3a+b)i=y[3i,所以〃一小匕=0,小a+b=y[3，

33

所以

即-V3-+坐i.故选c.

a-4-4z-4

答案：(1)A(2)C

第3页共15页

4.直观想象

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本

章中，主要表现在复数Z、复平面上的点Z及向量应之间的相互联系中.

4.1.复数的几何意义

(1)设复数Z1和Z2在复平面内对应的点关于坐标原点对称，且Zl=3一

2i,贝(Jzi,Z2=()

A.-5+12iB.-5-12i

C.-13+12iD.-13-12i

(2)已知复数z对应的向量为应(。为坐标原点)，0Z与实轴正方向的夹角

为120。，且复数z的模为2,则复数2为()

A.1iB.—1+/i

C.—1—小iD.—1±^/3i

解析：(l)zi=3—2i,则Z2=—3+2i,所以ZI・Z2=(3—2i)(—3+2i)=—5

+⑵.故选A.

(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a,b).

根据题意可画图形如图所示.

\z\=2,且它与龙轴正方向的夹角为120°,

：.a=-1,b=±\f3,

即点Z的坐标为(一1,小)或(一1,一事).

：.z=-1+小i或—1—4i.

答案：(1)A(2)D

5.复数的概念：

形如a+bi(a,beR)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的

集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：

复数通常用字母z表示，即2=2+切(a,beR),这一表示形式叫做复数的

代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

第4页共15页

6.复数的几何意义:

（1）复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi（a、bGR）可用点Z（a,b）

表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y

轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯

虚数

（2）复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对

应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平

面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示

方法。

7.复数的模：

复数z=a+bi（a、bGR）在复平面上对应的点Z（a,b）到原点的距离叫复

数的模，记为|Z|,即|Z|=

虚数单位i：

（1）它的平方等于一1,即i2=—1；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍

然成立

（3）i与-1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2=-l的一个根,

方程x2=-l的另一个根是一i。

（4）i的周期性:i4n+l=i,i4n+2=—1,i4n+3=-i,i4n=1。

8.复数模的性质：

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi（a、b《R）,当且仅当b=0时，复数a+bi（a、b£R）是实

数a；当bWO时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且bWO时，z=bi叫做纯虚数；

当且仅当a=b=O时，z就是实数0。

第5页共15页

两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即:

如果a,b,c,d@R,那么a+bi=c+di

a=c,b=do特殊地，a,b£R时，a+bi=O

a=0,b=0o

复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

9.复数相等特别提醒：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数

都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

解复数相等问题的方法步骤：

(1)把给的复数化成复数的标准形式；

(2)根据复数相等的充要条件解之。

10.数学学习技巧

1、做好预习：

单元预习时粗读，了解近阶段的学习内容，课时预习时细读，注重知识的

形成过程，对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录，以便带着问题听课。

2、认真听课：

听课应包括听、思、记三个方面。听，听知识形成的来龙去脉，听重点和

难点，听例题的解法和要求。思、，一是要善于联想、类比和归纳，二是要敢于

质疑，提出问题。记，指课堂笔记一一记方法，记疑点，记要求，记注意点。

3、认真解题：

课堂练习是最及时最直接的反馈，一定不能错过。不要急于完成作业，要

先看看你的笔记本，回顾学习内容，加深理解，强化记忆。

4、及时纠错：

课堂练习、作业、检测，反馈后要及时查阅，分析错题的'原因，必要时强

化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了，不能将问题处

于悬而未解的状态，养成今日事今日毕的好习惯。

第6页共15页

11.数学中的合数是什么意思?

11.1.合数的概念

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的

数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是

4<,其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

11.2.什么是质数

质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不

能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因

数；否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可

以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写

出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

11.3.质数和合数应用

1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，

编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，

则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因

数）过久，使即使取得信息也会无意义。

2、质数与变速箱：在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数

设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增

强耐用度减少故障。

12.章末质量检测卷（二）复数

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

一+3』）

「l+2il-2i（）

A.—|B.1

第7页共15页

3

C.一§iD.i

]2i________1—2i2i(l+2i)

[l+2i+l-2i=(l+2i)(l-2i)+(l-2i)(l+2i)

l-2i+2i—43

=一.故选

55A.]

2-i

2.已知复数Z—机+i为实数（加为实数单位），则机一（）

55

A.~3B.一5

C.-2D.-1

(2-i)(m—i)2m—1—(m+2)i.,、山,

C[Z-（一2.1，因为Z是实数，则一

（"2十1）（"2—1）机”十1

加+2

=0,所以优=—2.故选C.]

/n2+1

3.已知i是虚数单位，复数（1+小）i的虚部是（）

A.1B.小

C.1+73D.（1+小）i

C[由复数的概念知，复数（1+小）i的虚部是1+小，故选CJ

4.已知i是虚数单位，复数zi=-3+2i,z2=l-4i,则复数z=zi+z2在复

平面内表示的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C[由复数加法运算可知z=zi+z2=—3+2i+l—4i=-2—2i.在复平面内

表示的点坐标为（-2,-2）,所以所在象限为第三象限.所以选C.]

5.已知为=(5,-1),OB=(3,2),AB对应的复数为z,则方=()

A.5-iB.3+2i

C.-2+3iD.-2—3i

D[由题可知油=(-2,3),故油对应的复数为z=-2+3i,则方=-

2—3i,故选D.]

第8页共15页

6.若z=（加+1）+（加一1）近是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限,

则实数〃2的取值范围为（）

A.(—8,—1)B.(—8,1)

C.(-1,1)D.(-1,+8)

C[z=("?+l)+(a—l)i对应的点为(〃?+1,加一1),因为对应的点位于第四

，”+1>0,

象限，得彳人解得一1<相<1.故选C.]

1m—1<0,

7.设复数z满足丁；=-i,则下列说法正确的是（）

A.z为纯虚数

B.在复平面内，7对应的点位于第二象限

C.z的虚部为2i

D.|z尸小

,z+3,曰一3+i(—3+i)(1—i)一

D由口=-i^z=-r+r=(i+i)(i——=—i+2i，z

1一2i,

z=-l+2i不为纯虚数，A不正确；z=—1—2i对应的点（一1,—2）位于

第三象限，B不正确；z=—l+2i的虚部为2,C不正确；\z\=yj（-1）2+22=

小，D正确.故选D.]

8.已知Z],Z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）

A.|zi|=|z

B.若31=2,则Z2的取值集合为｛-2,2,—2i,2i｝（i是虚数单位）

C.若1+Z2=0，则Zl=0或Z2=0

D.Z1Z2+ZIZ2一定是实数

D[对A,例如取zi=i,则W无意义，故A错误；对B,|Z2|=2,取Z2

=2（cos8+isin。），2兀），故B错误；对C,例如取zi=i,z2=~i,满足

条件，故C错误；对D,设z\=a+hi,Z2=c+di,a,b,c,d£R,则ziz2

+z1Z2=3+Ai)(c—di)+(。-Ai)(c+di)=ac~\-bd~\~(be—ad)\+ac+bd+(ad—

第9页共15页

bc）i=2ac+2bd,所以ziz2+z1Z2是实数，故D正确.故选D.]

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全

的得2分，有选错的得0分）

9.若复数z满足（1+i）z=3+i（其中i是虚数单位）,复数z的共车厄复数为7，

则（）

A.|z|=V5

B.z的实部是2

C.z的虚部是1

D.复数,在复平面内对应的点在第一象限

3+i(3+i)(1—i)4-2i

ABD；下=(+)(­)=2=2-i,

.,.|z|=^22+l=小，故选项A正确；z的实部是2,故选项B正确；z的虚部

是一1,故选项C错误；复数，=2+i在复平面内对应的点为（2,1）,在第一

象限，故选项D正确.故选ABD.]

10.给出下列命题，其中是真命题的是（）

A.纯虚数z的共加复数是一z

B.若Zl—Z2=0,则zi=z2

C.若Z1+Z2GR,则Zl与Z2互为共辗复数

D.若Zl—Z2=0,则ZI与"2互为共枕复数

AD[A项，根据共轲复数的定义，显然是真命题；B项，若Zl—Z2=0,则

Z1=Z2,当Zl,Z2均为实数时，则有Zl=Z2,当Zl,Z2是虚数时，Z1关Z2,所

以B是假命题；C项，若Z1+Z2GR,则Zl,Z2可能均为实数，但不一定相等，

或ZI与Z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D项，若

Zl—Z2=0,则Z1=Z2,所以Z1与Z2互为共聊,复数，故D是真命题.故选AD.]

11.（2020.滕州一中高二开学考试）下面关于复数的四个命题中，结论正确

的是（）

第10页共15页

A.若复数zdR,则zGR

B.若复数z满足Z2£R,则ZGR

C.若复数z满足}GR,则zGR

D.若复数Zl,Z2满足Z1Z2GR,则Z1=Z2

AC[A选项，设复数z=a+历(a,b&R),则z=a-b\{a,〃GR),因为

zGR,所以匕=0,因此z=aGR,即A正确；

B选项，设复数z=a+〃i(a,bSR),则z2=(a+历)2=4—》2+2。为，

因为Z2^R,所而=0,若a=0,0W0,则夫R,故B错；

C选项’设复数z=a+bi(a,麻R),贝叶=露=篝=冷一

b.

a^+b2L

1h

因为三GR,所以/+苏=0,即/?=0,所以z=aGR,故C正确；

D选项，设复数zi=a+bi(a,b^R),Z2=c+di(c,c/GR),

则ziZ2=(a+Z?i)(c+di)=(ac-/?6/)+(ad+方c)i,

a=\,c=2,

因为ZIZ26R,所以ad+"c=O,若I能满足ad+hc=O,

S=l,[d=-2,

但Z1#Z2,故D错误.故选AC.]

12.下列关于复数的说法，其中正确的是()

A.复数z=a+历(a,8©R)是实数的充要条件是6=0

B.复数z=a+/?i(a,b@R)是纯虚数的充要条件是

C.若Z”Z2互为共貌复数，则ZIZ2是实数

D.若zi,Z2互为共辗复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

AC[对于A：复数z=a+〃i(a,匕@R)是实数的充要条件是Z?=0,显然成

立，故A正确；对于B：若复数z=a+bi(a,匕GR)是纯虚数，则a=0且bWO,

故B错误；对于C：若zi,Z2互为共舸复数，设zi=a+Ai(a,8WR),则Z2=a

—bi(a,bGR),所以ziz2=(a+bi)(a一历)=层一名[2=<+"是实数,故c正确；

对于D：若zi,Z2互为共匏复数，设zi=a+bi(a,Z?GR),则Z2=a—bi(a,bG

第11页共15页

R),所对应的坐标分别为(a,b),(a,-h),这两点关于x轴对称，故D错误.故

选AC.]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线

上)

13.已知复数z=l—2i,那么上=.

Z

解析：Vz=l-2i,/.z=l+2i,故="I]=.,1_32i~~777-

z1+21(1+21)(.1—21；

l-2i12.

555L

答案：P1I?1

14.若1+6i是关于x的实系数方程/+法+c=0的一个复数根，则方

+c=

解析：因为1+啦i是关于x的实系数方程r+^+cuO的一个复数根，

所以(1+也i)2+^(l+V2i)+c=O,

即一1+2色i+b+巾bi+c=O,

.'.b+c=l.

答案：1

15.复数z满足(z+2i)i=3—i,则|z|=.

解析：•.•复数z满足(z+2i)i=3—i,

，z=—-2i=-l-5i,则0=回.

答案：^26

16.如果向量应对应复数4i,改绕点。按逆时针方向旋转45°后再把

模变为原来的6倍得到向量近1,那么与龙।对应的复数是(用代数

形式表示).

解析：•.•4i=4(cos90。+isin90°).

所求复数为4(cos90°+isin90°)X^/2(cos45°+isin45°)=4啦(cos

第12页共15页

135°+isin135°)=4/(—坐+芈[=—4+4i.

答案：一4+4i

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知复数z=lg(nr+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数

单位)，试求实数〃2分别取什么值时，Z分别为：

⑴实数；

(2)虚数;

(3)纯虚数.

[m2+2m+1>0,

解析：⑴由々I。八得〃z=-2,・,•当加=—2时，z是实数；

”十3加十2=0,

[/?Z2+2/??+1>0,

⑵由J7ZA得mW—1且mW—2,・••当加6(—8,—2)U(—2,

1机”9十3加+2750,

—1)U(―1,+8)时，Z是虚数；

[m2+3m+2#:0,2+3m+2W0,

(3)由题意得।即J.」।

[lg(/n2+2m+1)=n0,[in2+2m+l=l,

解得机=0..\当机=0时，z是纯虚数.

18.(本小题满分12分)(1)在①z+"T=4,②z为纯虚数，③z为实数，这

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知复数z=(m2—3/7?+2)+(m2—5m+6)i(i为虚数单位)，z为z的共辆复

数，若，求实数〃2的值；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个

条件给分)

(2)在复数范围内解关于x的方程：X2+2X+2=0.

解析：(1)①：z=(〃我一3M+2)—(nr—5〃z+6)i,z+z=4,

2</772-3m+2)=4,即m2—3m=0,解得m=0或m=3.

②为纯虚数，

机2—3m+2=0,

,解得m=1.

、用9—25m+6W0,

③..2为实数，・••加2—5m+6=0,解得m=2,〃2=3.

第13页共15页

(2)'..(x+1)2=­1=i2,.,.xi=­1+i,X2=-1-i.

19.(本小题满分12分)已知复数zi=a+i,Z2=l—i,aGR.

⑴当a=l时，求zi・z2的值；

(2)若zi—Z2是纯虚数，求a的值；

(3)若言在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围.

解析：(1)由题意知，z2=l+i,zi,z2=(l+i)(14-i)=14-2i+i2=2i.

(2)由题意知zi—Z2=(a-l)+2i为纯虚数，则a—1=0,所以a=l.

zia+i(a