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文档简介

高中数学讲义一复数课堂总结

目录

1.思维导图....................................................................1

2.数学抽象....................................................................2

2.1.题型一复数的概念....................................................2

3.数学运算.....................................................................3

3.1.题型二复数的四则运算................................................3

4.直观想象.....................................................................4

4.1.复数的几何意义........................................................4

5.复数的概念:...............................................................4

6.复数的几何意义:...........................................................5

7.复数的模:.................................................................5

8.复数模的性质:.............................................................5

9.复数相等特别提醒:.........................................................6

10.数学学习技巧..............................................................6

11.数学中的合数是什么意思?..................................................7

11.1.合数的概念.............................................................7

11.2.什么是质数.............................................................7

11.3.质数和合数应用.........................................................7

12.章末质量检测卷(二)复数....................................................7

1.思维导图

第1页共15页

概念

几何意义

复数的概念

共轨复数

复数

加法、减法运算

复数的四则运算乘法、除i去运算

2.数学抽象

数学抽象是数学的基本思路,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的

本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中,主要体现在

复数的基本概念中.

2.1.题型一复数的概念

(1)设i是虚数单位,若复数。+詈(adR)是纯虚数,则。=()

A.4B.3

C.2D.1

(2)i是虚数单位,复数z=a+i(aeR)满足z2+z=l—3i,则|z|=()

A.巾或小B.2或5

C.小D.5

.,6+2i(6+2i)(—1—i)

解析:(1)・・Z+—

1—1(―1+i)(—1—i)

,—4—8i

4+-2-=。一2—4i是纯虚数,

・・.q—2=0,即a=2,故选C.

(2)•/z2+z=:(^+i)2+6z+i

=a2-1+a+(2〃+l)i=1—3i,

第2页共15页

cr-1+a=1,

解得a=-2.

2。+1=-3,

.•.z=—2+i,故|z|=—(—2)2+12=小.

故选C.

答案:(1)C(2)C

3.数学运算

数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形式,是得到数学

结果的重要手段.在本章中,主要表现在复数的四则运算中.

3.1.题型二复数的四则运算

y一2

(1)已知复数z=l+i(i为虚数单位),则z2+:=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

(2)已知复数z满足(l+,§i)z=J3i,则z=()

3近3

-+-V23

A.22B.2-

33邛

c-+••

4V431D.4-1

解析:⑴・・・z=l+i,

22

2故选

/.z+~z—21+71+717=l+i.A.

土上口彳,日________小i(1一小一

()法一:由已知何,z=]+小j=(]十小i)(1-4)

=呼=1+小♦故选C.

法二:设z=a+〃i,Q,〃£R,则由(1+,§i)z=y[3i,可得(l+,§i),(a+

bi)=y/3i,即(〃一6b)+(y/3a+b)i=y[3i,所以〃一小匕=0,小a+b=y[3,

33

所以

即-V3-+坐i.故选c.

a-4-4z-4

答案:(1)A(2)C

第3页共15页

4.直观想象

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,在本

章中,主要表现在复数Z、复平面上的点Z及向量应之间的相互联系中.

4.1.复数的几何意义

(1)设复数Z1和Z2在复平面内对应的点关于坐标原点对称,且Zl=3一

2i,贝(Jzi,Z2=()

A.-5+12iB.-5-12i

C.-13+12iD.-13-12i

(2)已知复数z对应的向量为应(。为坐标原点),0Z与实轴正方向的夹角

为120。,且复数z的模为2,则复数2为()

A.1iB.—1+/i

C.—1—小iD.—1±^/3i

解析:(l)zi=3—2i,则Z2=—3+2i,所以ZI・Z2=(3—2i)(—3+2i)=—5

+⑵.故选A.

(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a,b).

根据题意可画图形如图所示.

\z\=2,且它与龙轴正方向的夹角为120°,

:.a=-1,b=±\f3,

即点Z的坐标为(一1,小)或(一1,一事).

:.z=-1+小i或—1—4i.

答案:(1)A(2)D

5.复数的概念:

形如a+bi(a,beR)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的

集合叫做复数集,用字母C表示。

复数的表示:

复数通常用字母z表示,即2=2+切(a,beR),这一表示形式叫做复数的

代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。

第4页共15页

6.复数的几何意义:

(1)复平面、实轴、虚轴:

点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、bGR)可用点Z(a,b)

表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y

轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯

虚数

(2)复数的几何意义:复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对

应关系,即

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平

面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示

方法。

7.复数的模:

复数z=a+bi(a、bGR)在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复

数的模,记为|Z|,即|Z|=

虚数单位i:

(1)它的平方等于一1,即i2=—1;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍

然成立

(3)i与-1的关系:i就是一1的一个平方根,即方程x2=-l的一个根,

方程x2=-l的另一个根是一i。

(4)i的周期性:i4n+l=i,i4n+2=—1,i4n+3=-i,i4n=1。

8.复数模的性质:

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:

对于复数a+bi(a、b《R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b£R)是实

数a;当bWO时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且bWO时,z=bi叫做纯虚数;

当且仅当a=b=O时,z就是实数0。

第5页共15页

两个复数相等的定义:

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:

如果a,b,c,d@R,那么a+bi=c+di

a=c,b=do特殊地,a,b£R时,a+bi=O

a=0,b=0o

复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

9.复数相等特别提醒:

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数

都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

解复数相等问题的方法步骤:

(1)把给的复数化成复数的标准形式;

(2)根据复数相等的充要条件解之。

10.数学学习技巧

1、做好预习:

单元预习时粗读,了解近阶段的学习内容,课时预习时细读,注重知识的

形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。

2、认真听课:

听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和

难点,听例题的解法和要求。思、,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于

质疑,提出问题。记,指课堂笔记一一记方法,记疑点,记要求,记注意点。

3、认真解题:

课堂练习是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要

先看看你的笔记本,回顾学习内容,加深理解,强化记忆。

4、及时纠错:

课堂练习、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的'原因,必要时强

化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处

于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好习惯。

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11.数学中的合数是什么意思?

11.1.合数的概念

合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的

数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是

4<,其中,完全数与相亲数是以它为基础的。

11.2.什么是质数

质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不

能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因

数;否则称为合数。

根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可

以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写

出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

11.3.质数和合数应用

1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,

编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,

则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因

数)过久,使即使取得信息也会无意义。

2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数

设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增

强耐用度减少故障。

12.章末质量检测卷(二)复数

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的

四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

一+3』)

「l+2il-2i()

A.—|B.1

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3

C.一§iD.i

]2i________1—2i2i(l+2i)

[l+2i+l-2i=(l+2i)(l-2i)+(l-2i)(l+2i)

l-2i+2i—43

=一.故选

55A.]

2-i

2.已知复数Z—机+i为实数(加为实数单位),则机一()

55

A.~3B.一5

C.-2D.-1

(2-i)(m—i)2m—1—(m+2)i.,、山,

C[Z-(一2.1,因为Z是实数,则一

("2十1)("2—1)机”十1

加+2

=0,所以优=—2.故选C.]

/n2+1

3.已知i是虚数单位,复数(1+小)i的虚部是()

A.1B.小

C.1+73D.(1+小)i

C[由复数的概念知,复数(1+小)i的虚部是1+小,故选CJ

4.已知i是虚数单位,复数zi=-3+2i,z2=l-4i,则复数z=zi+z2在复

平面内表示的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C[由复数加法运算可知z=zi+z2=—3+2i+l—4i=-2—2i.在复平面内

表示的点坐标为(-2,-2),所以所在象限为第三象限.所以选C.]

5.已知为=(5,-1),OB=(3,2),AB对应的复数为z,则方=()

A.5-iB.3+2i

C.-2+3iD.-2—3i

D[由题可知油=(-2,3),故油对应的复数为z=-2+3i,则方=-

2—3i,故选D.]

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6.若z=(加+1)+(加一1)近是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限,

则实数〃2的取值范围为()

A.(—8,—1)B.(—8,1)

C.(-1,1)D.(-1,+8)

C[z=("?+l)+(a—l)i对应的点为(〃?+1,加一1),因为对应的点位于第四

,”+1>0,

象限,得彳人解得一1<相<1.故选C.]

1m—1<0,

7.设复数z满足丁;=-i,则下列说法正确的是()

A.z为纯虚数

B.在复平面内,7对应的点位于第二象限

C.z的虚部为2i

D.|z尸小

,z+3,曰一3+i(—3+i)(1—i)一

D由口=-i^z=-r+r=(i+i)(i——=—i+2i,z

1一2i,

z=-l+2i不为纯虚数,A不正确;z=—1—2i对应的点(一1,—2)位于

第三象限,B不正确;z=—l+2i的虚部为2,C不正确;\z\=yj(-1)2+22=

小,D正确.故选D.]

8.已知Z],Z2均为复数,下列四个命题中,为真命题的是()

A.|zi|=|z

B.若31=2,则Z2的取值集合为{-2,2,—2i,2i}(i是虚数单位)

C.若1+Z2=0,则Zl=0或Z2=0

D.Z1Z2+ZIZ2一定是实数

D[对A,例如取zi=i,则W无意义,故A错误;对B,|Z2|=2,取Z2

=2(cos8+isin。),2兀),故B错误;对C,例如取zi=i,z2=~i,满足

条件,故C错误;对D,设z\=a+hi,Z2=c+di,a,b,c,d£R,则ziz2

+z1Z2=3+Ai)(c—di)+(。-Ai)(c+di)=ac~\-bd~\~(be—ad)\+ac+bd+(ad—

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bc)i=2ac+2bd,所以ziz2+z1Z2是实数,故D正确.故选D.]

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的

四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全

的得2分,有选错的得0分)

9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共车厄复数为7,

则()

A.|z|=V5

B.z的实部是2

C.z的虚部是1

D.复数,在复平面内对应的点在第一象限

3+i(3+i)(1—i)4-2i

ABD;下=(+)(­)=2=2-i,

.,.|z|=^22+l=小,故选项A正确;z的实部是2,故选项B正确;z的虚部

是一1,故选项C错误;复数,=2+i在复平面内对应的点为(2,1),在第一

象限,故选项D正确.故选ABD.]

10.给出下列命题,其中是真命题的是()

A.纯虚数z的共加复数是一z

B.若Zl—Z2=0,则zi=z2

C.若Z1+Z2GR,则Zl与Z2互为共辗复数

D.若Zl—Z2=0,则ZI与"2互为共枕复数

AD[A项,根据共轲复数的定义,显然是真命题;B项,若Zl—Z2=0,则

Z1=Z2,当Zl,Z2均为实数时,则有Zl=Z2,当Zl,Z2是虚数时,Z1关Z2,所

以B是假命题;C项,若Z1+Z2GR,则Zl,Z2可能均为实数,但不一定相等,

或ZI与Z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;D项,若

Zl—Z2=0,则Z1=Z2,所以Z1与Z2互为共聊,复数,故D是真命题.故选AD.]

11.(2020.滕州一中高二开学考试)下面关于复数的四个命题中,结论正确

的是()

第10页共15页

A.若复数zdR,则zGR

B.若复数z满足Z2£R,则ZGR

C.若复数z满足}GR,则zGR

D.若复数Zl,Z2满足Z1Z2GR,则Z1=Z2

AC[A选项,设复数z=a+历(a,b&R),则z=a-b\{a,〃GR),因为

zGR,所以匕=0,因此z=aGR,即A正确;

B选项,设复数z=a+〃i(a,bSR),则z2=(a+历)2=4—》2+2。为,

因为Z2^R,所而=0,若a=0,0W0,则夫R,故B错;

C选项’设复数z=a+bi(a,麻R),贝叶=露=篝=冷一

b.

a^+b2L

1h

因为三GR,所以/+苏=0,即/?=0,所以z=aGR,故C正确;

D选项,设复数zi=a+bi(a,b^R),Z2=c+di(c,c/GR),

则ziZ2=(a+Z?i)(c+di)=(ac-/?6/)+(ad+方c)i,

a=\,c=2,

因为ZIZ26R,所以ad+"c=O,若I能满足ad+hc=O,

S=l,[d=-2,

但Z1#Z2,故D错误.故选AC.]

12.下列关于复数的说法,其中正确的是()

A.复数z=a+历(a,8©R)是实数的充要条件是6=0

B.复数z=a+/?i(a,b@R)是纯虚数的充要条件是

C.若Z”Z2互为共貌复数,则ZIZ2是实数

D.若zi,Z2互为共辗复数,则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

AC[对于A:复数z=a+〃i(a,匕@R)是实数的充要条件是Z?=0,显然成

立,故A正确;对于B:若复数z=a+bi(a,匕GR)是纯虚数,则a=0且bWO,

故B错误;对于C:若zi,Z2互为共舸复数,设zi=a+Ai(a,8WR),则Z2=a

—bi(a,bGR),所以ziz2=(a+bi)(a一历)=层一名[2=<+"是实数,故c正确;

对于D:若zi,Z2互为共匏复数,设zi=a+bi(a,Z?GR),则Z2=a—bi(a,bG

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R),所对应的坐标分别为(a,b),(a,-h),这两点关于x轴对称,故D错误.故

选AC.]

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线

上)

13.已知复数z=l—2i,那么上=.

Z

解析:Vz=l-2i,/.z=l+2i,故="I]=.,1_32i~~777-

z1+21(1+21)(.1—21;

l-2i12.

555L

答案:P1I?1

14.若1+6i是关于x的实系数方程/+法+c=0的一个复数根,则方

+c=

解析:因为1+啦i是关于x的实系数方程r+^+cuO的一个复数根,

所以(1+也i)2+^(l+V2i)+c=O,

即一1+2色i+b+巾bi+c=O,

.'.b+c=l.

答案:1

15.复数z满足(z+2i)i=3—i,则|z|=.

解析:•.•复数z满足(z+2i)i=3—i,

,z=—-2i=-l-5i,则0=回.

答案:^26

16.如果向量应对应复数4i,改绕点。按逆时针方向旋转45°后再把

模变为原来的6倍得到向量近1,那么与龙।对应的复数是(用代数

形式表示).

解析:•.•4i=4(cos90。+isin90°).

所求复数为4(cos90°+isin90°)X^/2(cos45°+isin45°)=4啦(cos

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135°+isin135°)=4/(—坐+芈[=—4+4i.

答案:一4+4i

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知复数z=lg(nr+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数

单位),试求实数〃2分别取什么值时,Z分别为:

⑴实数;

(2)虚数;

(3)纯虚数.

[m2+2m+1>0,

解析:⑴由々I。八得〃z=-2,・,•当加=—2时,z是实数;

”十3加十2=0,

[/?Z2+2/??+1>0,

⑵由J7ZA得mW—1且mW—2,・••当加6(—8,—2)U(—2,

1机”9十3加+2750,

—1)U(―1,+8)时,Z是虚数;

[m2+3m+2#:0,2+3m+2W0,

(3)由题意得।即J.」।

[lg(/n2+2m+1)=n0,[in2+2m+l=l,

解得机=0..\当机=0时,z是纯虚数.

18.(本小题满分12分)(1)在①z+"T=4,②z为纯虚数,③z为实数,这

三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.

已知复数z=(m2—3/7?+2)+(m2—5m+6)i(i为虚数单位),z为z的共辆复

数,若,求实数〃2的值;(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个

条件给分)

(2)在复数范围内解关于x的方程:X2+2X+2=0.

解析:(1)①:z=(〃我一3M+2)—(nr—5〃z+6)i,z+z=4,

2</772-3m+2)=4,即m2—3m=0,解得m=0或m=3.

②为纯虚数,

机2—3m+2=0,

,解得m=1.

、用9—25m+6W0,

③..2为实数,・••加2—5m+6=0,解得m=2,〃2=3.

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(2)'..(x+1)2=­1=i2,.,.xi=­1+i,X2=-1-i.

19.(本小题满分12分)已知复数zi=a+i,Z2=l—i,aGR.

⑴当a=l时,求zi・z2的值;

(2)若zi—Z2是纯虚数,求a的值;

(3)若言在复平面上对应的点在第二象限,求a的取值范围.

解析:(1)由题意知,z2=l+i,zi,z2=(l+i)(14-i)=14-2i+i2=2i.

(2)由题意知zi—Z2=(a-l)+2i为纯虚数,则a—1=0,所以a=l.

zia+i(a

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