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文档简介
高中数学讲义一复数课堂总结
目录
1.思维导图....................................................................1
2.数学抽象....................................................................2
2.1.题型一复数的概念....................................................2
3.数学运算.....................................................................3
3.1.题型二复数的四则运算................................................3
4.直观想象.....................................................................4
4.1.复数的几何意义........................................................4
5.复数的概念:...............................................................4
6.复数的几何意义:...........................................................5
7.复数的模:.................................................................5
8.复数模的性质:.............................................................5
9.复数相等特别提醒:.........................................................6
10.数学学习技巧..............................................................6
11.数学中的合数是什么意思?..................................................7
11.1.合数的概念.............................................................7
11.2.什么是质数.............................................................7
11.3.质数和合数应用.........................................................7
12.章末质量检测卷(二)复数....................................................7
1.思维导图
第1页共15页
概念
几何意义
复数的概念
共轨复数
复数
加法、减法运算
复数的四则运算乘法、除i去运算
2.数学抽象
数学抽象是数学的基本思路,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的
本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中,主要体现在
复数的基本概念中.
2.1.题型一复数的概念
(1)设i是虚数单位,若复数。+詈(adR)是纯虚数,则。=()
A.4B.3
C.2D.1
(2)i是虚数单位,复数z=a+i(aeR)满足z2+z=l—3i,则|z|=()
A.巾或小B.2或5
C.小D.5
.,6+2i(6+2i)(—1—i)
解析:(1)・・Z+—
1—1(―1+i)(—1—i)
,—4—8i
4+-2-=。一2—4i是纯虚数,
・・.q—2=0,即a=2,故选C.
(2)•/z2+z=:(^+i)2+6z+i
=a2-1+a+(2〃+l)i=1—3i,
第2页共15页
cr-1+a=1,
解得a=-2.
2。+1=-3,
.•.z=—2+i,故|z|=—(—2)2+12=小.
故选C.
答案:(1)C(2)C
3.数学运算
数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形式,是得到数学
结果的重要手段.在本章中,主要表现在复数的四则运算中.
3.1.题型二复数的四则运算
y一2
(1)已知复数z=l+i(i为虚数单位),则z2+:=()
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
(2)已知复数z满足(l+,§i)z=J3i,则z=()
3近3
-+-V23
A.22B.2-
33邛
c-+••
4V431D.4-1
解析:⑴・・・z=l+i,
22
2故选
/.z+~z—21+71+717=l+i.A.
土上口彳,日________小i(1一小一
()法一:由已知何,z=]+小j=(]十小i)(1-4)
=呼=1+小♦故选C.
法二:设z=a+〃i,Q,〃£R,则由(1+,§i)z=y[3i,可得(l+,§i),(a+
bi)=y/3i,即(〃一6b)+(y/3a+b)i=y[3i,所以〃一小匕=0,小a+b=y[3,
33
所以
即-V3-+坐i.故选c.
a-4-4z-4
答案:(1)A(2)C
第3页共15页
4.直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,在本
章中,主要表现在复数Z、复平面上的点Z及向量应之间的相互联系中.
4.1.复数的几何意义
(1)设复数Z1和Z2在复平面内对应的点关于坐标原点对称,且Zl=3一
2i,贝(Jzi,Z2=()
A.-5+12iB.-5-12i
C.-13+12iD.-13-12i
(2)已知复数z对应的向量为应(。为坐标原点),0Z与实轴正方向的夹角
为120。,且复数z的模为2,则复数2为()
A.1iB.—1+/i
C.—1—小iD.—1±^/3i
解析:(l)zi=3—2i,则Z2=—3+2i,所以ZI・Z2=(3—2i)(—3+2i)=—5
+⑵.故选A.
(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a,b).
根据题意可画图形如图所示.
\z\=2,且它与龙轴正方向的夹角为120°,
:.a=-1,b=±\f3,
即点Z的坐标为(一1,小)或(一1,一事).
:.z=-1+小i或—1—4i.
答案:(1)A(2)D
5.复数的概念:
形如a+bi(a,beR)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的
集合叫做复数集,用字母C表示。
复数的表示:
复数通常用字母z表示,即2=2+切(a,beR),这一表示形式叫做复数的
代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。
第4页共15页
6.复数的几何意义:
(1)复平面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、bGR)可用点Z(a,b)
表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y
轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯
虚数
(2)复数的几何意义:复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对
应关系,即
这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平
面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示
方法。
7.复数的模:
复数z=a+bi(a、bGR)在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复
数的模,记为|Z|,即|Z|=
虚数单位i:
(1)它的平方等于一1,即i2=—1;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍
然成立
(3)i与-1的关系:i就是一1的一个平方根,即方程x2=-l的一个根,
方程x2=-l的另一个根是一i。
(4)i的周期性:i4n+l=i,i4n+2=—1,i4n+3=-i,i4n=1。
8.复数模的性质:
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:
对于复数a+bi(a、b《R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b£R)是实
数a;当bWO时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且bWO时,z=bi叫做纯虚数;
当且仅当a=b=O时,z就是实数0。
第5页共15页
两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:
如果a,b,c,d@R,那么a+bi=c+di
a=c,b=do特殊地,a,b£R时,a+bi=O
a=0,b=0o
复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
9.复数相等特别提醒:
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数
都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
解复数相等问题的方法步骤:
(1)把给的复数化成复数的标准形式;
(2)根据复数相等的充要条件解之。
10.数学学习技巧
1、做好预习:
单元预习时粗读,了解近阶段的学习内容,课时预习时细读,注重知识的
形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。
2、认真听课:
听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和
难点,听例题的解法和要求。思、,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于
质疑,提出问题。记,指课堂笔记一一记方法,记疑点,记要求,记注意点。
3、认真解题:
课堂练习是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要
先看看你的笔记本,回顾学习内容,加深理解,强化记忆。
4、及时纠错:
课堂练习、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的'原因,必要时强
化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处
于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好习惯。
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11.数学中的合数是什么意思?
11.1.合数的概念
合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的
数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是
4<,其中,完全数与相亲数是以它为基础的。
11.2.什么是质数
质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不
能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因
数;否则称为合数。
根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可
以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写
出来的形式是唯一的。最小的质数是2。
11.3.质数和合数应用
1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,
编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,
则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因
数)过久,使即使取得信息也会无意义。
2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数
设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增
强耐用度减少故障。
12.章末质量检测卷(二)复数
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
一+3』)
「l+2il-2i()
A.—|B.1
第7页共15页
3
C.一§iD.i
]2i________1—2i2i(l+2i)
[l+2i+l-2i=(l+2i)(l-2i)+(l-2i)(l+2i)
l-2i+2i—43
=一.故选
55A.]
2-i
2.已知复数Z—机+i为实数(加为实数单位),则机一()
55
A.~3B.一5
C.-2D.-1
(2-i)(m—i)2m—1—(m+2)i.,、山,
C[Z-(一2.1,因为Z是实数,则一
("2十1)("2—1)机”十1
加+2
=0,所以优=—2.故选C.]
/n2+1
3.已知i是虚数单位,复数(1+小)i的虚部是()
A.1B.小
C.1+73D.(1+小)i
C[由复数的概念知,复数(1+小)i的虚部是1+小,故选CJ
4.已知i是虚数单位,复数zi=-3+2i,z2=l-4i,则复数z=zi+z2在复
平面内表示的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
C[由复数加法运算可知z=zi+z2=—3+2i+l—4i=-2—2i.在复平面内
表示的点坐标为(-2,-2),所以所在象限为第三象限.所以选C.]
5.已知为=(5,-1),OB=(3,2),AB对应的复数为z,则方=()
A.5-iB.3+2i
C.-2+3iD.-2—3i
D[由题可知油=(-2,3),故油对应的复数为z=-2+3i,则方=-
2—3i,故选D.]
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6.若z=(加+1)+(加一1)近是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限,
则实数〃2的取值范围为()
A.(—8,—1)B.(—8,1)
C.(-1,1)D.(-1,+8)
C[z=("?+l)+(a—l)i对应的点为(〃?+1,加一1),因为对应的点位于第四
,”+1>0,
象限,得彳人解得一1<相<1.故选C.]
1m—1<0,
7.设复数z满足丁;=-i,则下列说法正确的是()
A.z为纯虚数
B.在复平面内,7对应的点位于第二象限
C.z的虚部为2i
D.|z尸小
,z+3,曰一3+i(—3+i)(1—i)一
D由口=-i^z=-r+r=(i+i)(i——=—i+2i,z
1一2i,
z=-l+2i不为纯虚数,A不正确;z=—1—2i对应的点(一1,—2)位于
第三象限,B不正确;z=—l+2i的虚部为2,C不正确;\z\=yj(-1)2+22=
小,D正确.故选D.]
8.已知Z],Z2均为复数,下列四个命题中,为真命题的是()
A.|zi|=|z
B.若31=2,则Z2的取值集合为{-2,2,—2i,2i}(i是虚数单位)
C.若1+Z2=0,则Zl=0或Z2=0
D.Z1Z2+ZIZ2一定是实数
D[对A,例如取zi=i,则W无意义,故A错误;对B,|Z2|=2,取Z2
=2(cos8+isin。),2兀),故B错误;对C,例如取zi=i,z2=~i,满足
条件,故C错误;对D,设z\=a+hi,Z2=c+di,a,b,c,d£R,则ziz2
+z1Z2=3+Ai)(c—di)+(。-Ai)(c+di)=ac~\-bd~\~(be—ad)\+ac+bd+(ad—
第9页共15页
bc)i=2ac+2bd,所以ziz2+z1Z2是实数,故D正确.故选D.]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的
四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全
的得2分,有选错的得0分)
9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共车厄复数为7,
则()
A.|z|=V5
B.z的实部是2
C.z的虚部是1
D.复数,在复平面内对应的点在第一象限
3+i(3+i)(1—i)4-2i
ABD;下=(+)()=2=2-i,
.,.|z|=^22+l=小,故选项A正确;z的实部是2,故选项B正确;z的虚部
是一1,故选项C错误;复数,=2+i在复平面内对应的点为(2,1),在第一
象限,故选项D正确.故选ABD.]
10.给出下列命题,其中是真命题的是()
A.纯虚数z的共加复数是一z
B.若Zl—Z2=0,则zi=z2
C.若Z1+Z2GR,则Zl与Z2互为共辗复数
D.若Zl—Z2=0,则ZI与"2互为共枕复数
AD[A项,根据共轲复数的定义,显然是真命题;B项,若Zl—Z2=0,则
Z1=Z2,当Zl,Z2均为实数时,则有Zl=Z2,当Zl,Z2是虚数时,Z1关Z2,所
以B是假命题;C项,若Z1+Z2GR,则Zl,Z2可能均为实数,但不一定相等,
或ZI与Z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;D项,若
Zl—Z2=0,则Z1=Z2,所以Z1与Z2互为共聊,复数,故D是真命题.故选AD.]
11.(2020.滕州一中高二开学考试)下面关于复数的四个命题中,结论正确
的是()
第10页共15页
A.若复数zdR,则zGR
B.若复数z满足Z2£R,则ZGR
C.若复数z满足}GR,则zGR
D.若复数Zl,Z2满足Z1Z2GR,则Z1=Z2
AC[A选项,设复数z=a+历(a,b&R),则z=a-b\{a,〃GR),因为
zGR,所以匕=0,因此z=aGR,即A正确;
B选项,设复数z=a+〃i(a,bSR),则z2=(a+历)2=4—》2+2。为,
因为Z2^R,所而=0,若a=0,0W0,则夫R,故B错;
C选项’设复数z=a+bi(a,麻R),贝叶=露=篝=冷一
b.
a^+b2L
1h
因为三GR,所以/+苏=0,即/?=0,所以z=aGR,故C正确;
D选项,设复数zi=a+bi(a,b^R),Z2=c+di(c,c/GR),
则ziZ2=(a+Z?i)(c+di)=(ac-/?6/)+(ad+方c)i,
a=\,c=2,
因为ZIZ26R,所以ad+"c=O,若I能满足ad+hc=O,
S=l,[d=-2,
但Z1#Z2,故D错误.故选AC.]
12.下列关于复数的说法,其中正确的是()
A.复数z=a+历(a,8©R)是实数的充要条件是6=0
B.复数z=a+/?i(a,b@R)是纯虚数的充要条件是
C.若Z”Z2互为共貌复数,则ZIZ2是实数
D.若zi,Z2互为共辗复数,则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称
AC[对于A:复数z=a+〃i(a,匕@R)是实数的充要条件是Z?=0,显然成
立,故A正确;对于B:若复数z=a+bi(a,匕GR)是纯虚数,则a=0且bWO,
故B错误;对于C:若zi,Z2互为共舸复数,设zi=a+Ai(a,8WR),则Z2=a
—bi(a,bGR),所以ziz2=(a+bi)(a一历)=层一名[2=<+"是实数,故c正确;
对于D:若zi,Z2互为共匏复数,设zi=a+bi(a,Z?GR),则Z2=a—bi(a,bG
第11页共15页
R),所对应的坐标分别为(a,b),(a,-h),这两点关于x轴对称,故D错误.故
选AC.]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线
上)
13.已知复数z=l—2i,那么上=.
Z
解析:Vz=l-2i,/.z=l+2i,故="I]=.,1_32i~~777-
z1+21(1+21)(.1—21;
l-2i12.
555L
答案:P1I?1
14.若1+6i是关于x的实系数方程/+法+c=0的一个复数根,则方
+c=
解析:因为1+啦i是关于x的实系数方程r+^+cuO的一个复数根,
所以(1+也i)2+^(l+V2i)+c=O,
即一1+2色i+b+巾bi+c=O,
.'.b+c=l.
答案:1
15.复数z满足(z+2i)i=3—i,则|z|=.
解析:•.•复数z满足(z+2i)i=3—i,
,z=—-2i=-l-5i,则0=回.
答案:^26
16.如果向量应对应复数4i,改绕点。按逆时针方向旋转45°后再把
模变为原来的6倍得到向量近1,那么与龙।对应的复数是(用代数
形式表示).
解析:•.•4i=4(cos90。+isin90°).
所求复数为4(cos90°+isin90°)X^/2(cos45°+isin45°)=4啦(cos
第12页共15页
135°+isin135°)=4/(—坐+芈[=—4+4i.
答案:一4+4i
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知复数z=lg(nr+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数
单位),试求实数〃2分别取什么值时,Z分别为:
⑴实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
[m2+2m+1>0,
解析:⑴由々I。八得〃z=-2,・,•当加=—2时,z是实数;
”十3加十2=0,
[/?Z2+2/??+1>0,
⑵由J7ZA得mW—1且mW—2,・••当加6(—8,—2)U(—2,
1机”9十3加+2750,
—1)U(―1,+8)时,Z是虚数;
[m2+3m+2#:0,2+3m+2W0,
(3)由题意得।即J.」।
[lg(/n2+2m+1)=n0,[in2+2m+l=l,
解得机=0..\当机=0时,z是纯虚数.
18.(本小题满分12分)(1)在①z+"T=4,②z为纯虚数,③z为实数,这
三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知复数z=(m2—3/7?+2)+(m2—5m+6)i(i为虚数单位),z为z的共辆复
数,若,求实数〃2的值;(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个
条件给分)
(2)在复数范围内解关于x的方程:X2+2X+2=0.
解析:(1)①:z=(〃我一3M+2)—(nr—5〃z+6)i,z+z=4,
2</772-3m+2)=4,即m2—3m=0,解得m=0或m=3.
②为纯虚数,
机2—3m+2=0,
,解得m=1.
、用9—25m+6W0,
③..2为实数,・••加2—5m+6=0,解得m=2,〃2=3.
第13页共15页
(2)'..(x+1)2=1=i2,.,.xi=1+i,X2=-1-i.
19.(本小题满分12分)已知复数zi=a+i,Z2=l—i,aGR.
⑴当a=l时,求zi・z2的值;
(2)若zi—Z2是纯虚数,求a的值;
(3)若言在复平面上对应的点在第二象限,求a的取值范围.
解析:(1)由题意知,z2=l+i,zi,z2=(l+i)(14-i)=14-2i+i2=2i.
(2)由题意知zi—Z2=(a-l)+2i为纯虚数,则a—1=0,所以a=l.
zia+i(a
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