2024成都中考数学第一轮专题复习之重点、难点知识强化训练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之重点、难点知识强化训练第1天打卡：____月____日1.[新考法—过程性学习]在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解．已知点A，B，C在数轴上表示的数分别为eq\f(x＋1,2)，3(x－1)，9－x，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧，求x的取值范围．小云的分析过程如下：第一步：根据点A在点B的左侧，可列不等式为______________①；第二步：根据点C在点B的右侧，可列不等式为________________②；第三步：解不等式①得__________，解不等式②得____________；第四步：得出x的取值范围是____________．(1)请补全小云的分析过程；(2)在列不等式过程中体现的数学思想是________，求解不等式过程中体现的数学思想是________．A.转化思想B.整体思想C.数形结合思想D.类比思想2.[新考法—跨学科]赤道是地球表面上的点随地球自转产生的轨迹中周长最长的圆周线，所有与赤道平行的圆圈叫纬线.某数学小组查阅资料得知，太原市的纬度约为北纬37.5°，由此想求得北纬37.5°纬线的长度．该小组将地球看作如图所示的球体，点A所在的圆圈为赤道，点B所在的圆圈为北纬37.5°纬线，已知地球半径OA约为6400km，∠AOB＝37.5°，请求出北纬37.5°纬线的长度.(参考数据：π≈3，sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77)第2题图班级：____________姓名：____________第2天打卡：____月____日3.[新考法—自主分组并补图](2023临沂)某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩(单位：分)如下：81908289999591839293879294889287100868596(1)请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；频数分布表成绩分组划记频数第3题图(2)①这组数据的中位数是________；②分析数据分布的情况(写出一条即可)________________________________；(3)若85分以上(不含85分)成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．

班级：____________姓名：____________第3天打卡：____月____日4.[新设问—结合频率](2023株洲)某花店每天购进16支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量n(n为正整数，单位：支)，统计如下表：日需求量n131415161718天数112411(1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；(2)当n＜16时，日利润y(单位：元)关于n的函数表达式为：y＝10n－80；当n≥16时，日利润为80元．①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．

班级：____________姓名：____________第4天打卡：____月____日5.(万唯原创)[新考法—结合三角形的翻折]如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝k1x＋b(k1≠0)与x轴交于点A，与反比例函数y2＝eq\f(k2,x)(k2≠0)的图象交于B(2，m)，E(－1，－2eq\r(3))两点．(1)求直线AB和反比例函数的表达式；(2)若点D在y轴上，△ABD是等边三角形，将△ABD沿直线BD翻折，点A落在点C处，判断点C是否在反比例函数y2＝eq\f(k2,x)的图象上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，求sin∠BEC的值．第5题图

班级：____________姓名：____________第5天打卡：____月____日6.[新考法—条件开放](2023烟台)【问题背景】如图①，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于eq\f(1,2)BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q.【问题提出】在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图②.经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图③.经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．图①第6题图

班级：____________姓名：____________第6天打卡：____月____日7.[新考法—结合数据整理](2023临沂)综合与实践问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：第7题图数据整理(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价(元/盆)日销售量(盆)模型建立(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

班级：____________姓名：____________第7天打卡：____月____日8.[新考法—跨学科]某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气、B.电解水、C.木炭还原氧化铜、D.一氧化碳还原氧化铜、E.铁的冶炼，要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图：第8题图请结合统计图回答下列问题：(1)填空：a＝________，E所对应的扇形圆心角是________°；(2)请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”？(3)某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C，D，E三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．

班级：____________姓名：____________第8天打卡：____月____日9.[新考法—结合尺规作图](1)请在图①中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图②，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝eq\f(3,4)，求⊙O的半径．第9题图

班级：____________姓名：____________第9天打卡：____月____日10.[新题型—阅读理解题]【阅读理解】对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N).【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－eq\f(1,2)x＋2与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为(－2，0)，抛物线G：y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点．(1)求抛物线G的函数表达式；(2)点D为第一象限抛物线上的一点，连接CD交AB于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△CBE的面积为S2，若eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,3)，求d(点D，△ABC)的值；(3)已知坐标系中有一直线L：y＝－x＋t，若d(G，L)≥2，求t的取值范围．

班级：____________姓名：____________第10天打卡：____月____日11.[新题型—项目学习探究]校园内有两幢高度不同的教学楼AB，CD，某“综合与实践”小组开展了测量教学楼高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下：课题测量教学楼的高度成员组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图第11题图说明：测角仪的高度GH＝EF＝1.5m，点A，B，C，D，E，F，G，H在同一竖直平面内，D，E，G，B在同一水平线上测量数据∠AFH＝45°∠CHF＝37°BD＝24m，EG＝8m，BE＝13m……任务一：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校这两幢教学楼的高度；(结果保留一位小数．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)任务二：若测量工具不变，你能利用其他方法测量教学楼的高度吗？画出测量示意图，并写出所需测量的数据．

班级：____________姓名：____________第11天打卡：____月____日12.(万唯原创)[新题型—综合与实践]【问题探索】如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的动点(均不与正方形的顶点重合)，且∠EAF＝45°，连接EF.(1)求证：EF＝BE＋DF；(2)如图②，P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E′，作点F关于直线AD的对称点F′，连接E′F′，求证：E′F′＝2AP；【问题应用】(3)如图③，正方形ABCD是李叔叔家菜地示意图，其中AB＝800米，李叔叔计划在菜地中开拓一条小路EM－MN－NF，其中E为AB的中点，F为CD边上一点，且CF＝300米，点M，N在线段BC上(点M在点N的左侧)，且MN＝100米．为了尽可能少的破坏植物，需要以最小长度来修建，请你帮李叔叔计算这条小路长度的最小值．(结果保留整数，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)第12题图

班级：____________姓名：____________第12天打卡：____月____日13.[新考法—分层赋分](2023丽水)如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连接AD交CF于点G，连接AC，过点C的切线交BA的延长线于点H.(1)求证：AD∥HC；(2)若eq\f(OG,GC)＝2，求tan∠FAG的值；(3)连接BC交AD于点N，若⊙O的半径为5.下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝eq\f(5,2)，求BC的长；②若AH＝eq\r(10)，求△ANB的周长；③若HF·AB＝88，求△BHC的面积．第13题图

班级：____________姓名：____________第13天打卡：____月____日14.[新设问—判断谁先到达]如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁CD，A地和B地都有休闲步道与桥梁CD相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁EF和休闲步道AE，BF(点A，E，F，B在同一水平直线上)，桥梁EF与桥梁CD平行，且EF＝1.5CD.经过测量，桥梁CD的一端C在A地的北偏东60°方向，另一端D在B地的北偏西45°方向，B地在A地的正东方向，A，B两地相距870米，A地与桥梁CD的一端C相距600米．(1)求桥梁EF的长度(结果精确到1米，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)；(2)周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．第14题图

班级：____________姓名：____________第14天打卡：____月____日15.[新题型—回归教材]【课本再现】切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．【定理证明】(1)如图①，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，连接OP，证明：PA＝PB，∠APO＝∠BPO；【知识应用】(2)如图②，PA，PB，BC为⊙O的切线，且BC∥PA，连接OB，OP，延长PO交⊙O于点D，交BC于点C，过点D作AD∥OB交PA于点A，求证：AD是⊙O的切线；(3)如图③，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，F是AD上一点，CF切⊙O于点E，连接BE，求△CDF的面积．第15题图

班级：____________姓名：____________第15天打卡：____月____日16．[新考法一跨学科](2023郴州)在实验课上，小明做了一个试验．如图①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到下表：第16题图①托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的y1关于x的函数图象．(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；第16题图②(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而____________(填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，y2的图象可以由y1的图象向________(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到；(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围．

班级：____________姓名：____________第16天打卡：____月____日17.[新设问—结合实数的运算]如图，已知一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象与反比例函数y＝eq\f(c,x)的图象交于A(－1，5)，B(eq\f(5,2)，d)两点，与x轴相交于点C，点P(p，q)是直线AB上的一个动点，PD∥x轴交反比例函数y＝eq\f(c,x)的图象于点D，连接PD，CD.(1)求一次函数的表达式及d的值；(2)当－1<p<eq\f(3,2)时，求△PCD面积的最大值及此时点P的坐标；(3)设p＋a＝1，若在两个实数p，q之间(不包括p，q)有且只有一个整数，求a的取值范围．

班级：____________姓名：____________第17天打卡：____月____日18．[新考法—过程性学习]阅读以下材料：解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0①,3（x＋y）＋y＝2②))，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x＋y＝1③，将③代入②，得__________，解得__________，将__________代入①，得__________，解得__________，故原方程组的解是__________；(1)请你替小阳补全完整的解题过程；(2)请你用这种方法解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＋1＝0①,\f(6x－2y＋2,3)＋2y＝4②)).19.[新考法—先设计问题，再建模]【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：①甲、乙两校图书室各藏书18000册；②甲校比乙校人均图书册数多2册；③甲校的学生人数比乙校的人数少10%；④甲校近期计划一次性购进科普类图书和文学类图书一共1000册．【问题解决】(1)请你根据上述信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程；(2)已知文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是20元、24元，且甲校购进的科普类图书不少于文学类图书的eq\f(2,3)，请问甲校如何购买使得购书费用最少？

班级：____________姓名：____________第18天打卡：____月____日20.[新考法—过程性学习](2023长春)【感知】如图①，点A，B，P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为________度；第20题图①【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在上(点P不与点A，C重合)，连接PA，PB，PC.求证：PB＝PA＋PC.小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.∵∠BAP＋∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE.∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC.∴△PBC≌△EBA(SAS).请你补全余下的证明过程；第20题图②【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC.若PB＝2eq\r(2)PA，则eq\f(PB,PC)的值为________．第20题图③

班级：____________姓名：____________第19天打卡：____月____日21.[新考法—过程性学习]小明与小亮两位同学解方程3(2x－5)＝(2x－5)2的过程如下框：小明：两边同除以(2x－5)，得3＝2x－5，则x＝4.小亮：移项，得3(2x－5)－(2x－5)2＝0，提取公因式，得(2x－5)(3－2x－5)＝0，则2x－5＝0或3－2x－5＝0，解得x1＝eq\f(5,2)，x2＝－1.任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“”：小明()小亮()任务二：写出你的解答过程．22.[新考法—真实问题情境]某“综合与实践”活动小组的同学在学习了解直角三角形的知识后，想要自主设计一道试题，他们在公园测量了如图①所示健身器材的数据，并绘制了其底座的简化示意图(如图②)，设计题目如下：该款健身器材的座位MN平行于地面，支架AB＝20cm，BC＝48cm，支架AB与座位MN的夹角∠BAN＝70°，与支架BC的夹角∠ABC为115°，求座位MN距离地面的高度．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75；eq\r(2)≈1.41).第22题图

班级：____________姓名：____________第20天打卡：____月____日23.[新设问—结合加权平均数]为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4∶4∶2的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图(每组含最小值，不含最大值)如下图．选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲第23题图(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；(2)请你计算小涵的总评成绩；(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．

班级：____________姓名：____________第21天打卡：____月____日24.[新考法—结合新定义]定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．(1)如图①，在对角互余四边形ABCD中，∠D＝30°，且AC⊥BC，AC⊥AD.若BC＝1，求四边形ABCD的面积和周长；(2)如图②，在四边形ABCD中，连接AC，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC＝∠ABC，求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；(3)如图③，四边形ABCD是“对角互余四边形”已知AD＝4，DC＝eq\r(10)，AB＝3AC，∠BAC＝90°，连接BD，求线段BD的长．第24题图

班级：____________姓名：____________第22天打卡：____月____日25.[新考法—结合新定义]如图，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与y轴交于点D，顶点为F，与直线l：y＝x＋2交于A，B两点，直线l与y轴交于点G，与抛物线C的对称轴交于点E，若记K(l，C)＝EF·AB，则称K(l，C)是直线l与抛物线C的“截积”．(1)若a＝1，抛物线的对称轴为直线x＝－1，OD＝4，求此时K(l，C)的值；(2)在(1)的基础上，过点F作直线l的平行线l′，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C′的顶点F′落在直线l′上，直线l与抛物线C′交于A′，B′两点，交其对称轴于点E′，试探究E′F′·A′B′是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)设抛物线C的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k，若K(l，C)＝8eq\r(2)，AB＝4eq\r(2)，且点F在点E的下方，求a的值．

班级：____________姓名：____________第23天打卡：____月____日26.[新题型—阅读理解题](2023凉山州)阅读材料：如图①，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α，∠FAD为β，若tanα＝eq\f(1,2)，则tanβ＝eq\f(1,3).第26题图①证明：设BE＝k，∵tanα＝eq\f(1,2)，∴AB＝2k，易证△AEB≌△EFC(AAS)，∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝eq\f(DF,AD)＝eq\f(k,3k)＝eq\f(1,3)，若α＋β＝45°时，当tanα＝eq\f(1,2)，则tanβ＝eq\f(1,3).同理：若α＋β＝45°时，当tanα＝eq\f(1,3)，则tanβ＝eq\f(1,2).根据上述材料，完成下列问题：如图②，直线y＝3x－9与反比例函数y＝eq\f(m,x)(x＞0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5.第26题图②(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM，tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．

班级：____________姓名：____________第24天打卡：____月____日27.[新考法—结论开放](2023广西)4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如下：第27题图学生成绩统计表七年级八年级平均数7.557.55中位数8c众数a7合格率b85%根据以上信息，解答下列问题：(1)写出统计表中a，b，c的值；(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．

班级：____________姓名：____________第25天打卡：____月____日28.[新题型—阅读理解题](2023通辽)阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，∴m＋n＝1，mn＝－1.则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________；(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m，n，求m2＋n2的值；(3)提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求eq\f(1,s)－eq\f(1,t)的值．

班级：____________姓名：____________第26天打卡：____月____日29.[新设问—选择正确的结论证明]在矩形ABCD中，点E为线段CD上一动点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点C的对应点是F，连接DF.(1)如图①，BC＞eq\f(1,2)AB，若点E为CD的中点时，过点F作PQ⊥BC于点Q，分别交AD，BE于点P，H.给出下列结论：①DF∥EH；②HF＝PF＋HQ；③△EFH为等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明；(2)如图②，若BC＝3，AB＝4.在点E运动过程中，当DF取得最小值时，求DE的长．第29题图

班级：____________姓名：____________第27天打卡：____月____日30.[新题型—回归教材](2023江西)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.求证：▱ABCD是菱形．知识应用(2)如图②，在▱ABCD，对角线AC和BD交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝eq\f(1,2)∠ACD，求eq\f(OF,EF)的值．图①图②第30题图

班级：____________姓名：____________第28天打卡：____月____日31.[新考法—跨学科]【问题情境】某校兴趣小组在老师的指导下对一批花卉种子进行了人工培育，并针对这批种子的发芽率进行实践探究．【实践发现】兴趣小组将不同数量种子的发芽数进行统计，并计算出发芽率(结果保留两位小数)，整理数据如下表所示：种子数m409014022049090012002400发芽数n368412319643980510922154发芽率eq\f(n,m)0.900.930.880.890.900.890.910.90【实践探究】分析数据如下：平均数众数中位数发芽率0.90ab【问题解决】(1)上述表格中：a＝________，b＝________；(2)根据上述信息，试估计3000颗这样的种子中发芽的会有多少颗？(3)为使探究的结果更准确，该兴趣小组又购进了第二批种子．经实验发现，第二批种子的发芽率与第一批相差较远，为探究其原因是否与实验环境有关，该兴趣小组又另外购进1000颗种子，将其分别放在不同实验环境下进行培育，下表是不同实验环境下种子的发芽情况：实验环境一无光照(其余条件与第二批均相同)种子数量(颗)发芽数量发芽率5004100.82实验环境二多次浇水(其余条件与第二批均相同)种子数量(颗)发芽数量发芽率5004250.85请结合数据分析，第二批种子的发芽率与设想相差较大的原因(写出一条原因即可).

班级：____________姓名：____________第29天打卡：____月____日32．[新考法—结合线段旋转]如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝eq\f(5,x)(x＞0)的图象交于点A(1，a)，与x轴交于点B(6，0)，将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C.(1)求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；(2)设点D为反比例函数y＝eq\f(k′,x)(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积；(3)在(2)的条件下，点P为反比例函数y＝eq\f(k′,x)(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y＝eq\f(5,x)(x＞0)的图象于点Q，当tan∠POD＝(eq\f(PO,OQ))2，且点P在点D上方时，求点P的坐标．第32题图

班级：____________姓名：____________第30天打卡：____月____日33.[新设问—结合位似]如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点D(4，－3)在抛物线上，且四边形ABDC的面积为18.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若正比例函数y＝kx的图象将四边形ABDC的面积分为1∶2的两部分，求k的值；(3)将△AOC沿x轴翻折得到△AOC′，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△APC′放大为原来的两倍后得到△EPG(即△EPG∽△APC′，且相似比为2)，使得点E，G恰好在抛物线上？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析第1天1.解：(1)第一步：eq\f(x＋1,2)＜3(x－1)；第二步：9－x>3(x－1)；第三步：x＞eq\f(7,5)，x＜3；第四步：eq\f(7,5)＜x＜3；(2)C，A.2．解：如解图，过点B作BC∥OA交球体于点C，过点O作OD⊥BC于点D，则⊙D的周长即为北纬37.5°纬线的长度，BC为⊙D的直径.第2题解图∵BC∥OA，∠AOB＝37.5°，∴∠OBD＝∠AOB＝37.5°.∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，在Rt△OBD中，OB＝OA＝6400km，∴BD＝OB·cos∠OBD＝6400×cos37.5°，∴北纬37.5°的纬线长为2π·BD＝2π×6400×cos37.5°≈6×6400×0.79＝30336km.答：北纬37.5°纬线的长度约为30336(km).第2天3.解：(1)若组距为5，则分为4组，根据题意列出频数分布表如下：成绩分组80＜x≤8585＜x≤9090＜x≤9595<x≤100划记频数4673画出频数分布直方图如解图；第3题解图(2)①90.5；【解法提示】共有20名学生的成绩，将成绩按从小到大排列，数据的中位数为排在第10位和第11位学生成绩的平均数，则中位数是eq\f(90＋91,2)＝90.5.②测试成绩在90＜x≤95的人数最多(答案不唯一)；(3)600×eq\f(6＋7＋3,20)＝480(人).答：该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．第3天4.解：(1)当n<16时，该种花需要进行作废处理，则该种花出现作废处理情形的天数共有：1＋1＋2＝4(天)，故该花店这天的利润为60元；(2)①当n<16时，日利润y关于n的函数表达式为y＝10n－80，当n＝14时，y＝10×14－80＝60，故该花店这天的利润为60元；②当n<16时，日利润y关于n的函数表达式为y＝10n－80；当n≥16时，日利润为80元，80>70，当y＝70时，70＝10n－80，解得n＝15，由表可知n＝15的天数为2天，∴该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).第4天5.解：(1)∵点E在反比例函数的图象上，∴k2＝－1×(－2eq\r(3))＝2eq\r(3)，∴反比例函数的表达式为y2＝eq\f(2\r(3),x).∵点B(2，m)在反比例函数的图象上，∴m＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴B(2，eq\r(3)).∵B(2，eq\r(3))，E(－1，－2eq\r(3))两点在y1＝k1x＋b的图象上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝2k1＋b，,－2\r(3)＝－k1＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝\r(3)，,b＝－\r(3)，))∴直线AB的表达式为y1＝eq\r(3)x－eq\r(3)；(2)如解图，点C在反比例函数y2＝eq\f(k2,x)的图象上，理由如下：∵点A是直线y1与x轴的交点，∴A(1，0).∵B(2，eq\r(3))，∴AB＝eq\r(（2－1）2＋（\r(3)－0）2)＝2.设D(0，n)，∵AB＝AD，∴eq\r(12＋n2)＝2，解得n1＝eq\r(3)，n2＝－eq\r(3)(舍去)，∴D(0，eq\r(3)).∵将△ABD沿直线BD翻折，点A落在点C处，∴C(1，2eq\r(3))，将x＝1代入反比例函数y2＝eq\f(2\r(3),x)中，得y2＝eq\f(2\r(3),1)＝2eq\r(3)，∴点C在反比例函数y2＝eq\f(k2,x)的图象上；第5题解图(3)由(2)可知，DA＝DC＝CB＝BA，∴四边形ABCD是菱形．如解图，过点C作CF⊥AB于点F，连接AC，∵∠BAD＝60°，∴∠CAB＝30°，∴CF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3).连接CE，∵E(－1，－2eq\r(3))，C(1，2eq\r(3))，∴EC＝eq\r(（－2\r(3)－2\r(3)）2＋（－1－1）2)＝2eq\r(13)，∴sin∠BEC＝eq\f(CF,EC)＝eq\f(\r(3),2\r(13))＝eq\f(\r(39),26).第5天6.解：由尺规作图可知，EF垂直平分BC，即O为BC的中点，∴OB＝OC＝eq\f(5,2).方案一：由折叠的性质，得AP＝AB＝3，OP＝OB＝OC＝eq\f(5,2)，∠APO＝∠ABO＝90°.∴∠OPQ＝∠OCQ＝90°.∵OQ＝OQ，∴Rt△POQ≌Rt△COQ(HL)，∴PQ＝CQ，在Rt△ADQ中，AQ＝AP＋PQ＝3＋CQ，DQ＝3－CQ，由勾股定理，得AQ2＝AD2＋DQ2，即(3＋CQ)2＝52＋(3－CQ)2，解得CQ＝eq\f(25,12).方案二：由旋转的性质，得CR＝AB＝3，∠BAO＝∠CRO，由折叠的性质，得∠BAO＝∠PAO，∴∠PAO＝∠CRO，∴AQ＝RQ＝3＋CQ.在Rt△ADQ中，AQ＝3＋CQ，DQ＝3－CQ，由勾股定理，得AQ2＝AD2＋DQ2，即(3＋CQ)2＝52＋(3－CQ)2，解得CQ＝eq\f(25,12).(两种方案任选其一即可)第6天7.解：(1)按照售价从低到高排列列表如下：售价(元/盆)1820222630日销售量(盆)5450463830(2)由(1)可知，售价每涨价2元，日销售量减少4盆；(3)设定价为x元，①由题意，得(x－15)(54－eq\f(x－18,2)×4)＝400，整理，得x2－60x＋875＝0，解得x1＝25，x2＝35，答：要想每天获得400元的利润，应定价为每盆25元或每盆35元；②设每天的利润为w元，由题意，得w＝(x－15)(54－eq\f(x－18,2)×4)＝－2x2＋120x－1350＝－2(x－30)2＋450，∵－2<0，∴当x＝30时，w有最大值．答：售价定为30元时，每天能够获得最大利润．第7天8.解：(1)50，72；【解法提示】抽取的学生人数为60÷30%＝200(人)，选择C的学生人数为200－20－60－30－40＝50(人)，故a＝50；E所对应的扇形圆心角是eq\f(40,200)×360°＝72°.(2)1100×eq\f(30,200)＝165(人)，答：估计该校九年级1100名学生中有165人最擅长的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；(3)根据题意列表如下：－ABCDEA－(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)B(B，A)－(B，C)(B，D)(B，E)C(C，A)(C，B)－(C，D)(C，E)D(D，A)(D，B)(D，C)－(D，E)E(E，A)(E，B)(E，C)(E，D)－由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，分别为(C，D)，(C，E)，(D，C)，(D，E)，(E，C)，(E，D)，∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).第8天9.(1)解：如解图①，⊙O即为△ABC的外接圆；第9题解图①(2)①证明：如解图②，连接OB.∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD.∵点B是的中点，∴＝，∴∠CAB＝∠EAB.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴BD⊥AD；第9题解图②②解：如解图②，连接CE，由圆周角定理得∠AEC＝∠ABC，∵tan∠ABC＝eq\f(3,4)，∴tan∠AEC＝eq\f(3,4).∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴eq\f(AC,EC)＝eq\f(3,4).∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE＝eq\r(AC2＋EC2)＝10，∴⊙O的半径为5.第9天10.解：(1)∵直线y＝－eq\f(1,2)x＋2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，∴A(0，2)，B(4，0).∵抛物线经过点C(－2，0)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋2)(x－4)，将点A(0，2)代入得，－8a＝2，∴a＝－eq\f(1,4)，∴抛物线G的函数表达式为y＝－eq\f(1,4)(x＋2)(x－4)＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2；(2)如解图①，连接AD，过点E作EF⊥AD于点F，过点E作EG⊥BC于点G，易证△ADE∽△BCE.∵eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(DE,CE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(EF,EG)＝eq\f(1,3)，即eq\f(XD－XE,XE－XD)＝eq\f(1,3)，即eq\f(yD,yE)＝eq\f(4,3).设点E的坐标为(x，－eq\f(1,2)x＋2)，则点D的纵坐标为eq\f(4,3)(－eq\f(1,2)x＋2)＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(8,3)，有eq\f(XD－x,x－（－2）)＝横坐标为eq\f(x＋2,3)＋x＝eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)，∴D的坐标为(eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)，－eq\f(2,3)x＋eq\f(8,3)).将点D的坐标代入抛物线，得－eq\f(1,4)(eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3))2＋eq\f(1,2)(eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3))＋2＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(8,3)，解得x＝1，∴点E(1，eq\f(3,2))，点D(2，2).如解图①，过点D作DH⊥AB于点H，∵AD∥x轴，点A(0，2)，∴点F(1，2)，∴AD＝2，AE＝eq\r(12＋（2－\f(3,2)）2)eq\f(\r(5),2)，EF＝＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AE·DH＝eq\f(1,2)AD·EF，∴DH＝eq\f(AD·EF,AE)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(5),2))＝eq\f(2\r(5),5)，∴d(点D，△ABC)＝eq\f(2\r(5),5)；(3)∵d(G，L)≥2，∴直线L与抛物线G没有交点，且最近的距离为2.如解图②，当直线L与抛物线G只有一个交点时，得到直线m，则方程－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2＝－x＋t只有一个实数根，整理得－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋2－t＝0，∴Δ＝(eq\f(3,2))2＋(2－t)＝0，∴t＝eq\f(17,4).记直线m与抛物线的交点为G，与y轴的交点为点M，则M(0，eq\f(17,4))，将直线m沿垂直于直线m的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线L，记为直线n，则GK⊥直线n，GK＝2，过点G作GL∥y轴，交直线n于点L，则∠LGM＝∠OMG＝45°，∴∠LGK＝45°，∴△LGK是等腰直角三角形，∴LG＝2eq\r(2)，记直线n与y轴的交点为N，则四边形MNLG为平行四边形，∴MN＝LG＝2eq\r(2)，∴点N的坐标为(0，eq\f(17,4)＋2eq\r(2))，∴t的取值范围为t≥eq\f(17,4)＋2eq\r(2).第10天11.解：任务一：如解图①，设线段HF所在直线与AB，CD分别交于点M，N，由题意可知MB＝HG＝FE＝ND＝1.5m，HF＝GE＝8m，MF＝BE＝13m，HN＝GD，MN＝BD＝24m．在Rt△AFM中，∵MF＝BE＝13m，∠AFM＝45°，∠AMF＝90°，∴AM＝MF＝BE＝13m，∴AB＝AM＋MB＝13＋1.5＝14.5m，∵MN＝24m，HF＝8m，∴HN＝24－13＋8＝19m，在Rt△CHN中，∠CNH＝90°，∠CHN＝37°，∴CN＝HN·tan37°≈19×0.75＝14.25m，∴CD＝CN＋ND＝14.25＋1.5≈15.8m；答：教学楼AB的高度为14.5m，教学楼CD的高度约为15.8m；第11题解图任务二：能，画出测量示意图如解图②.需要测量的数据有α，β，BF，DE.第11天12.(1)证明：如解图①，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABK，则△ABK≌△ADF，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∴∠EAK＝∠EAB＋∠BAK＝∠EAB＋∠DAF＝90°－∠EAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAF.∵∠ABK＝∠D＝∠ABC＝90°，∴点K在EB的延长线上．∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF，∴EF＝EK＝BE＋BK＝BE＋DF；第12题解图①(2)证明：如解图②，延长AP至点T，使得PT＝AP，连接AE′，AF′，ET，由题可得，点E关于直线AB的对称点为E′，点F关于直线AD的对称点为F′，∴B为EE′的中点，D为FF′的中点．又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠ADF＝90°，∴AB为EE′的中垂线，AD为FF′的中垂线，∴AE＝AE′，AF＝AF′.∵点P是EF的中点，∴PE＝PF.又∵∠EPT＝∠FPA，TP＝AP，∴△PET≌△PFA，∴ET＝AF，∠PET＝∠PFA，∴ET＝AF′，∠AET＝∠AEP＋∠PET＝∠AEP＋∠PFA＝180°－∠EAF，由对称可得∠BAE′＝∠BAE，∠FAD＝∠F′AD，∴∠E′AF′＝∠BAE′＋∠DAF′＋∠BAD＝∠BAE＋∠DAF＋∠BAD＝(∠BAD－∠EAF)＋∠BAD＝180°－∠EAF，∴∠E′AF′＝∠AET.又∵AE′＝AE，AF′＝ET，∴△E′AF′≌△AET，∴E′F′＝AT＝2AP；第12题解图②(3)解：要求这条小路长度的最小值，即求EM＋MN＋FN的最小值．∵MN为定值，∴只需求EM＋FN的最小值，如解图③，过点E作EE′∥BC(点E′在点E右侧)，且EE′＝MN＝100米，作点E′关于直线BC的对称点E″，连接FE″交BC于点N，连接E′N，此时EM＋FN取得最小值，最小值为FE″的长．∵EE′∥MN，EE′＝MN，∴四边形EMNE′为平行四边形，∴E′N＝EM.∵E′E″关于直线BC对称，∴BC是E′E″的垂直平分线，∴E′N＝E″N，∴EM＝E″N，∴EM＋FN＝E″N＋FN＝E″F.过点E″作E″G⊥DC交DC的延长线于点G，∵点E为AB的中点，∴BE＝eq\f(1,2)AB＝400米，∴E″G＝BC－EE′＝BC－MN＝700米，FG＝CF＋CG＝CF＋BE＝700米，∴E″F＝700eq\r(2)米，∴EM＋MN＋FN的最小值为700eq\r(2)＋100≈1087(米).答：这条小路长度的最小值约为1087米．第12题解图③第12天13.(1)证明：∵点C，D是的三等分点，∴＝＝.∵CE是⊙O的直径，∴CE⊥AD.∵HC是⊙O的切线，∴HC⊥CE，∴AD∥HC；(2)解：如解图①，连接AO，∵＝，∴∠BAD＝∠CAD.由CE⊥AD易证△CAG≌△FAG，∴CG＝FG.设CG＝a(a>0)，则FG＝a，∵eq\f(OG,CG)＝2，∴OG＝2a，AO＝CO＝3a.在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2＝AG2＋OG2，∴(3a)2＝AG2＋(2a)2，∴AG＝eq\r(5)a(负值已舍去).∴tan∠FAG＝eq\f(FG,AG)＝eq\f(a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5)；第13题解图①(3)解：选①，如解图②，连接OA，∵OF＝eq\f(5,2)，第13题解图②OC＝OA＝5，∴CF＝eq\f(5,2)，∴CG＝FG＝eq\f(5,4)，∴OG＝eq\f(15,4)，∴AG＝eq\r(OA2－OG2)＝eq\f(5\r(7),4).∵CE⊥AD，∴AD＝2AG＝eq\f(5\r(7),2).∵＝＝，∴＝，∴BC＝AD＝eq\f(5\r(7),2)； 选②，如解图③，连接AO，CD，∵AD∥HC，FG＝GC，∴AH＝AF.第13题解图③∵∠HCF＝90°，∴AC＝AH＝AF＝eq\r(10).设CG＝x，则FG＝x，OG＝5－x，由勾股定理得AG2＝AO2－OG2＝AC2－CG2，即25－(5－x)2＝10－x2，解得x＝1.∴AG＝3，AD＝6.∵＝，∴CD＝AC＝eq\r(10).∵＝，∴∠DAC＝∠BCD.∵∠CDN＝∠ADC，∴△CND∽△ACD，∴eq\f(ND,CD)＝eq\f(CD,AD)，∴ND＝eq\f(CD2,AD)＝eq\f(5,3)，AN＝eq\f(13,3).∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，∴△ANB∽△ACD.∴C△ANB＝C△ACD×eq\f(AN,AC)＝(6＋2eq\r(10))×eq\f(13,3\r(10))＝eq\f(13\r(10),5)＋eq\f(26,3)；选③，如解图④，连接AO，过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝MB＝eq\f(1,2)AB.第13题解图④设CG＝x，则FG＝x，OG＝5－x，OF＝5－2x，由勾股定理得AG2＝AO2－OG2＝25－(5－x)2＝10x－x2，AF2＝AG2＋FG2＝10x－x2＋x2＝10x.∵AD∥HC，FG＝GC，∴AH＝AF＝eq\f(1,2)HF，∴AG＝eq\f(1,2)HC，∴AF·AM＝eq\f(1,2)HF·eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,4)HF·AB＝eq\f(1,4)×88＝22.∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，∴△AFG∽△OFM，∴eq\f(AF,OF)＝eq\f(GF,MF)，∴AF·FM＝OF·GF，∴AF·AM＝AF·(AF＋FM)＝AF2＋AF·FM＝AF2＋OF·GF＝22.可得方程10x＋x(5－2x)＝22，解得x1＝2，x2＝5.5(舍去).∴CG＝FG＝2，OG＝3，AG＝4，HC＝8，AH＝AF＝2eq\r(5).∴S△CHA＝eq\f(1,2)HC·CG＝8.∵AD∥HC，∴∠CAD＝∠ACH.∵＝，∴∠B＝∠CAD，∴∠B＝∠ACH.∵∠H＝∠H，∴△BHC∽△CHA，∴S△BHC＝8×(eq\f(HC,HA))2＝eq\f(128,5).第13天14.解：(1)如解图，过点C分别作CG∥DB交BF于点G，作CH⊥AE于点H，则四边形CGBD为平行四边形，GB＝CD，CG＝DB.由题意得∠CGF＝45°，∠CAE＝30°，在Rt△ACH中，AC＝600，∴CH＝AC·sin30°＝300，AH＝AC·cos30°＝300eq\r(3)≈519.6；在Rt△GCH中，CH＝300，∴GH＝CH＝300，CG＝DB＝300eq\r(2)≈424.2，∴AG＝AH＋GH＝819.6，∴GB＝870－819.6＝50.4，∴CD＝50.4∴EF＝1.5CD＝75.6≈76(米).答：桥梁EF的长度约为76米；第14题解图(2)小明先到达B地，理由如下：∵路径A→C→D→B的总长度约为600＋50.4＋424.2＝1074.6米，∴小明从A地到B地大约需要1074.6÷100≈10.75分钟；爷爷从A地到B地大约需要870÷70≈12.43分钟．∵12.43＞10.75，∴小明先到达B地．第14天15.(1)证明：如解图，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.在Rt△APO与Rt△BPO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB,OP＝OP))，∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO；第15题解图(2)证明：∵PA，PB，BC为⊙O的切线，∴BO，PO分别平分∠PBC，∠APB，∴∠PBO＝eq\f(1,2)∠PBC，∠OPB＝eq\f(1,2)∠APB.∵BC∥PA，∴∠PBC＋∠APB＝180°，∴∠PBO＋∠OPB＝90°，∴∠POB＝90°.∵AD∥OB，∴OD⊥AD.∴∠ADO＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(3)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB.∵AB是⊙O的直径，∴AD，BC是⊙O的切线．∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF，CB＝CE，设AF＝x，则EF＝AF＝x，DF＝1－x，CF＝CE＋EF＝CB＋EF＝1＋x.∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2＝CD2＋DF2，即(1＋x)2＝12＋(1－x)2，解得x＝eq\f(1,4)，∴DF＝1－x＝eq\f(3,4)，∴S△CDF＝eq\f(1,2)×1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).第15天16.解：(1)作图如解图；第16题解图(2)①y1与x成反比例函数关系，函数表达式为y1＝eq\f(300,x)；②∵y1＝y2＋5，∴y2＋5＝eq\f(300,x)，∴y2＝eq\f(300,x)－5；③减小，减小，下；(3)∵y2随x的增大而减小，当y2＝19时，x＝12.5，当y2＝45时，x＝6.∴6≤x≤12.5.第16天17.解：(1)∵点A(－1，5)在反比例函数y＝eq\f(c,x)的图象上，∴c＝－1×5＝－5，∴y＝－eq\f(5,x)，将B(eq\f(5,2)，d)代入y＝－eq\f(5,x)，解得d＝－2，则B(eq\f(5,2)，－2).将A(－1，5)，B(eq\f(5,2)，－2)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝－k＋b,－2＝\f(5,2)k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝3))，∴一次函数的表达式为y＝－2x＋3；(2)一次函数y＝－2x＋3中，令y＝0，则x＝eq\f(3,2)，则C(eq\f(3,2)，0)；由题意可知，点P(p，q)在直线AB上，且－1<p<eq\f(3,2)，∴点P在线段AC上运动(不含A，C).设点P(eq\f(3－q,2)，q)，∵DP∥x轴，∴D，P两点的纵坐标都是q，∴D(－eq\f(5,q)，q)，∴S△PCD＝eq\f(1,2)PD·q＝eq\f(1,2)×(eq\f(3－q,2)＋eq\f(5,q))×q＝－eq\f(q2,4)＋eq\f(3,4)q＋eq\f(5,2)＝－eq\f(1,4)(q－eq\f(3,2))2＋eq\f(49,16).∵－eq\f(1,4)<0，0<q<5，∴当q＝eq\f(3,2)时，△PCD的面积最大，最大值为eq\f(49,16).将q＝eq\f(3,2)代入y＝－2x＋3中，解得x＝eq\f(3,4)，即P(eq\f(3,4)，eq\f(3,2))；(3)将点P(p，q)代入一次函数y＝－2x＋3中，可得q＝－2p＋3，当p＋a＝1时，p＝1－a，则q＝－2(1－a)＋3＝2a＋1，则P(1－a，2a＋1)，易知p≠q，∴1－a≠2a＋1，a≠0；若a＞0，p＜1＜q，由题设0≤p＜1，1＜q≤2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＜1,2a＋1≤2))，解得0＜a≤eq\f(1,2).若a＜0，q＜1＜p，由题设0≤q＜1，1＜p≤2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＞1,2a＋1≥0))，解得－eq\f(1,2)≤a＜0，综上可得，a的取值范围是－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，且a≠0.第17天18.解：(1)3×1＋y＝2，y＝－1，y＝－1，x－1－1＝0，x＝2，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－1))；(2)整理方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝－1③,2（3x－y）＋2＋6y＝12④))，把③代入④，得2×(－1)＋2＋6y＝12，解得y＝2，将y＝2代入③，得3x－2＝－1，解得x＝eq\f(1,3)，∴原方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝2)).19.解：(1)方法一：问题：甲、乙两校的人数分别是多少？设乙校的人数为x人，则甲校的人数为(1－10%)x人，根据题意可列方程：eq\f(18000,（1－10%）x)＝eq\f(18000,x)＋2，解得x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，则(1－10%)x＝900人，答：甲、乙两校的人数分别是900人、1000人．方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数分别是多少？设乙校的人均图书册数为x册，则甲校的人均图书册数为x＋2册，根据题意可列方程：eq\f(18000,x＋2)＝eq\f(18000,x)×(1－10%)，解得x＝18，经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意，则x＋2＝20，答：甲、乙两校的人均图书册数分别是20册、18册．(两种方法任选一种即可)(2)设购进文学类图书x册，则购进科普类图书(1000－x)册，总费用为y元，依题意，得y＝20x＋24(1000－x)，整理得y＝－4x＋24000，∵购进的科普类图书不少于文学类图书的eq\f(2,3)，∴1000－x≥eq\f(2,3)x，解得x≤600，对于y＝－4x＋24000，y随x的增大而减小，∴当x＝600时，y最小，此时y＝－4×600＋24000＝21600(元)，1000－x＝1000－600＝400(册).答：购买文学类图书600册，科普类图书400册花费最少，最少花费为21600元．第18天20.解：【感知】45；【探究】补全证明：∴PB＝EB，∠BPC＝∠BEA.∵△ABC是等边三角形，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠BEA＝∠BAC＝60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE.∵AE＝PC，∴PB＝PE＝PA＋AE＝PA＋PC，即PB＝PA＋PC；【应用】eq\f(2\r(2),3).【解法提示】如解图，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，由【探究】同理可知△PBC≌△EBA(SAS)，∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA，∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝90°，∴△PBE是等腰直角三角形，∴PE＝eq\r(2)PB，∵PE＝PA＋AE＝PA＋PC，∴PA＋PC＝eq\r(2)PB，∵PB＝2eq\r(2)PA，∴PA＋PC＝eq\r(2)×2eq\r(2)PA＝4PA，∴PC＝3PA，∴eq\f(PB,PC)＝eq\f(2\r(2)PA,3PA)＝eq\f(2\r(2),3).第20题解图第19天21.任务一：解：×，×；任务二：解：移项，得3(2x－5)－(2x－5)2＝0，提公因式，得(2x－5)(3－2x＋5)＝0，则2x－5＝0或3－2x＋5＝0，解得x1＝eq\f(5,2)，x2＝4.22.解：(1)如解图，过点B作BE⊥MN于点E，延长EB，交CD于点F.∵MN∥CD，BE⊥MN，∴BF⊥CD.∵∠BAN＝70°，∴∠ABE＝90°－70°＝20°.∵∠ABC＝115°，∴∠CBF＝180°－115°－20°＝45°.在Rt△ABE中，sin∠BAE＝eq\f(BE,AB)，即sin70°＝eq\f(BE,20)≈0.94，∴BE≈20×0.94＝18.8cm，在Rt△BCF中，cos∠CBF＝eq\f(BF,BC)，即cos45°＝eq\f(BF,48)＝eq\f(\r(2),2)，∴BF＝48×eq\f(\r(2),2)≈33.84cm，∴EF＝BE＋BF≈52.6cm.答：座位MN距离地面的高度约为52.6cm.第22题解图第20天23.解：(1)69，69，70；【解法提示】将给出的7个数据按照从小到大的顺序排列，处于最中间的数为69，即这组数据的中位数是69分，数据69出现了2次，次数最多，即众数是69分，平均数为eq\f(1,7)×(67＋72＋68＋69＋74＋69＋71)＝70分．＝eq\f(86×4＋84×4＋70×2,4＋4＋2)＝82分．答：小涵的总评成绩为82分；(3)小涵能入选，小悦不一定能入选．理由如下：由频数直方图可得，总评成绩≥80分的学生有10名，70≤总评成绩<80的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分和78分，所以小涵成绩在前10名，小悦成绩在后10名，学校要选拔12名小记者，因此小涵一定能入选，小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．第21天24.(1)解：∵四边形ABCD是对角互余四边形，∠D＝30°，∴∠B＝90°－∠D＝60°.∵AC⊥BC，AC⊥AD，∴∠ACB＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＝90°－∠B＝30°，∠ACD＝90°－∠D＝60°.∵BC＝1，∴AC＝BC·tan60°＝1×eq\r(3)＝eq\r(3)，AD＝AC·tan60°＝eq\r(3)×eq\r(3)＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×3×eq\r(3)＝2eq\r(3).∵AB＝2BC＝2×1＝2，CD＝2AC＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴AB＋BC＋CD＋AD＝2＋1＋2eq\r(3)＋3＝6＋2eq\r(3)，∴四边形ABCD的面积为2eq\r(3)，周长为6＋2eq\r(3)；(2)证明：如解图①，延长AO交⊙O于点E，连接CE.∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∵∠OAC＝∠ABC，∠E＝∠D，∴∠ABC＋∠D＝∠OAC＋∠E＝90°，∴四边形ABCD是“对角互余四边形”；第24题解图①(3)解：如解图②，作∠FCD＝∠ACB，DF⊥CF于点F，使点F与点A在直线CD的异侧，连接AF.∵∠BAC＝90°，AB＝3AC，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(（3AC）2＋AC2)＝eq\r(10)AC.∵∠ACB＝∠FCD，∠BAC＝∠DFC＝90°，∴△ABC∽△FDC，∴eq\f(BC,DC)＝eq\f(AC,FC)，∠ABC＝∠FDC，∴eq\f(DC,FC)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(10)AC,AC)＝eq\r(10).∵AD＝4，DC＝eq\r(10)，∴FC＝eq\f(1,\r(10))DC＝eq\f(1,\r(10))×eq\r(10)＝1.∵eq\f(DF,FC)＝tan∠FCD＝tan∠ACB＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(3AC,AC)＝3，∴DF＝3FC＝3×1＝3.∵∠ADF＝∠FDC＋∠ADC＝∠ABC＋∠ADC＝90°，∴AF＝eq\r(AD2＋DF2)＝eq\r(42＋32)＝5，∵∠ACB＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD，∴∠BCD＝∠ACF.∵eq\f(BC,CD)＝eq\f(AC,CF)，∴△BCD∽△ACF，∴eq\f(BD,AF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\r(10)，∴BD＝eq\r(10)AF＝eq\r(10)×5＝5eq\r(10)，∴线段BD的长是5eq\r(10).第24题解图②第22天25.解：(1)直线l的函数表达式为y＝x＋2①，∵a＝1，OD＝4，抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴c＝－4，－eq\f(b,2a)＝－1，∴b＝2，∴抛物线C的函数表达式为y＝x2＋2x－4②，∴抛物线的顶点F(－1，－5)，联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4，))∴A(－3，－1)，B(2，4).将x＝－1代入y＝x＋2，得y＝1，∴E(－1，1).∴EF＝6.∴K(l，C)＝EF·AB＝6eq\r([2－（－3）]2＋[4－（－1）]2)＝30eq\r(2)；(2)E′F′·A′B′是定值，其值为30eq\r(2).理由如下：由(1)知，F(－1，－5)，∵l∥l′，∴直线l′的解析式为y＝x－4，设平移后的抛物线C′的顶点坐标为F′(m，m－4)，∴平移后的抛物线C′的解析式为y＝(x－m)2＋m－4③，E′(m，m＋2)，∴E′F′＝6.联立①③，得(x－m)2＋m－4＝x＋2，∴x＝m＋3或x＝m－2，∴A′(m＋3，m＋5)，B′(m－2，m).∵A′B′＝eq\r([m＋3－（－m－2）]2＋[（m＋5）－（m）]2)＝5eq\r(2).∴E′F′·A′B′＝30eq\r(2).即E′F′·A′B′是定值，其值为30eq\r(2)；(3)∵抛物线C的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k④，∴顶