2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 第二节 矩形、菱形、正方形的性质与判定 教学课件

一题串讲重难点2成都8年真题子母题31考点精讲第一轮专题复习之第五章第二节矩形、菱形、正方形的性质与判定

课标要求成都8年高频点考情及趋势分析命题点1矩形的性质与判定(8年7考)1.理解矩形的概念；2.探索并证明矩形判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；3.探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等．

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查题型背景图形结合知识点202226解答题12几何图形综合题矩形相似、全等三角形202124B卷填空题4几何动态综合题矩形相似三角形202025B卷填空题4几何动态综合题矩形相似三角形27解答题10几何图形综合题矩形相似、全等三角形20195选择题3平行线性质求角度平行线＋矩形矩形一组对边平行201814填空题4与尺规作图有关的计算矩形作线段的垂直平分线，求线段长201614填空题4矩形的性质相关计算矩形垂直平分线性质，勾股定理【考情总结】考查特点：1.在几何图形综合题、几何动态综合题、与尺规作图有关的计算题均以矩形为背景考查，且只涉及矩形的相关性质不涉及矩形的判定；2.考查知识点常涉及相似三角形、全等三角形、勾股定理.

课标要求命题点2菱形的性质与判定(8年6考)1.理解菱形的概念；2.探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3.探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直．

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查题型背景图形结合知识点202223B卷填空题4几何动态综合题菱形相似三角形，线段差的最大值20216选择题3全等三角形的判定菱形全等三角形判定201924B卷填空题4几何动态综合题菱形线段和的最小值201824B卷填空题4几何动态综合题菱形锐角三角函数201727(2)解答题5几何图形综合题菱形等边三角形判定，锐角三角函数201628(3)解答题4二次函数综合题——探究菱形存在性【考情总结】1.考查频次及题位特点：仅2021年在A卷选择题中考查，其余均在B卷填空题和解答题中考查；2.考查题型：题型不定，主要在几何动态探究题、几何图形综合题、二次函数综合题中作为背景图形涉及考查，且只涉及菱形的相关性质不涉及菱形的判定.

课标要求命题点3正方形的性质与判定(8年2考)1.理解正方形的概念，以及它们之间的关系；2.正方形具有矩形和菱形的一切性质．(2022年版课标细化)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查题型背景图形201725B卷填空题4几何动态综合题正方形28(3)解答题4二次函数综合题探究正方形存在性中点四边形性质矩形、菱形、正方形的性质与判定判定边角对角线对称性周长面积图形定义常见结论考点精讲性质特殊四边形矩形菱形正方形图形

边对边相等且平行四条边________，对边________四条边相等，对边平行角四个角______(都是直角)两组对角分别相等四个角相等(都是直角)相等平行相等性质特殊四边形矩形菱形正方形图形对角线互相平分且相等互相____________，平分________互相平分且垂直、相等，平分一组对角对称性既是中心对称图形，也是轴对称图形，有________条对称轴既是中心对称图形，也是轴对称图形，有________条对称轴既是中心对称图形，也是轴对称图形，有________条对称轴对称中心为对角线交点平分且垂直一组对角224性质特殊四边形矩形菱形正方形图形周长C＝2(a＋b)C＝4aC＝4a面积S＝abS＝ah＝mnS＝a2＝m2判定【拓展知识】中点四边形1.定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形2.常见结论原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形的形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形

知识关联①特殊四边形可类比三角形特殊化的过程进行研究；②特殊平行四边形可在平行四边形的基础上进行探究，需理清平行四边形和特殊平行四边形的关联和区别．一题串讲重难点基础知识巩固例1

已知四边形ABCD为矩形．(1)如图①，连接BD，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BD于点E，交BC于点F，连接AE，EF.若∠BEF＝70°，则∠DAE的度数是________；例1题图①【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°.∵BE＝BF＝BA，∴∠BFE＝∠BEF＝70°，∠BAE＝∠BEA，∴∠EBF＝180°－∠BEF－∠BFE＝40°，∴∠ABE＝90°－∠EBF＝50°，∴∠BAE＝∠BEA＝(180°－∠ABE)÷2＝65°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝25°.例1题图①【答案】25°(2)如图②，设AC，BD交于点O，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为________；例1题图②【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8.∵O是AC的中点，E为AD的中点，∴OE＝

CD＝3，AE＝

AD＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝

，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝

.∵点O是BD的中点，∴BO＝

BD＝5，∴△BOE的周长为5＋3＋2＝8＋2.8＋2(3)如图③，设AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则AE的长为________；例1题图③【解法提示】如图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OB＝OD.∵EF⊥BD，∴DE＝BE，设AE＝x，则DE＝BE＝4－x，在Rt△ABE中，由勾股定理得x2＋32＝(4－x)2，解得x＝

，即AE＝

.(4)如图④，连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则cos∠DEC的值为__________；例1题图④【解法提示】如图，过点C作CF⊥BD于点F，F设CD＝2a，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE与△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝DF.∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，例1题图④F∴∠ABD＝60°，BD＝2AB＝4a.∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝FD＝

AB＝a，AE＝CF＝

a，EF＝4a－2a＝2a，在Rt△CEF中，CE＝

，∴cos∠DEC＝

.【答案】

解题关键点过点C作BD的垂线，通过三角形全等，得到∠DEC所在的直角三角形的边之间关系，求出cos的值；(5)如图⑤，E是BC的中点，F是CD边上任意一点．若AB＝6，BC＝8，则AE＝________，当△AEF的周长最小时，点E到AF的距离为________；例1题图⑤【解法提示】如图，作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，作EH⊥AF于点H.HE′∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，E是BC的中点，∴BE＝CE＝CE′＝

BC＝4.∵CD∥AB，∴△E′FC∽△E′AB，∴，即

，解得CF＝2，∴DF＝CD－CF＝6－2＝4，例1题图⑤HE′∴AE＝

，AF＝

.∵S△AEF＝

AF·EH＝S矩形ABCD－S△ABE－S△ADF－S△EFC，∴×4·EH＝6×8－

×6×4－

×4×2－

×8×4＝16，∴EH＝

.【答案】

；(6)如图⑥，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF.若AB＝6，BC＝8，当△CEF是直角三角形时，则线段BE的长为________；例1题图⑥【解法提示】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如解图④，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，EB＝EF，AB＝AF＝6，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC＝90°，∴A，F，C三点共线，∴CF＝10－6＝4，设BE＝x，则EF＝x，CE＝8－x，例1题解图④在Rt△CEF中，∵EF2＋CF2＝CE2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即BE＝3；②当点F落在AD边上时，如解图⑤，此时四边形ABEF为正方形，∴BE＝AB＝6.综上所述，BE的长为3或6.【答案】3或6例1题解图④例1题解图⑤

解题关键点△CEF为直角三角形需分点F落在矩形内部和边上两种情况讨论.(7)如图⑦，若E，F分别是边BC，AD上的点，FD＝BE，连接AE，DE，BF，CF，BF交AE于点H，CF交DE于点P，若∠BFC＝90°，求证：四边形FPEH是矩形．例1题图⑦(7)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵FD＝BE，∴AF＝EC，∴四边形AECF、四边形DFBE均为平行四边形，∴AE∥CF，BF∥ED，∴四边形FPEH为平行四边形．∵∠BFC＝90°，∴四边形FPEH是矩形．例2

已知四边形ABCD是菱形．(1)若∠BAD＝110°，则∠ABD的度数为________；【解法提示】∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠BAD＝110°，∴∠ABD＝

＝35°.35°(2)设AC与BD交于点O，若BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的周长为________，面积为________；【解法提示】∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，BD⊥AC，由勾股定理得BC＝

＝5，∴菱形ABCD的周长为4×5＝20，菱形ABCD的面积为

×8×6＝24.2024(3)如图①，设AC与BD交于点O，过点A作AP⊥BC于点P，连接OP，若AB＝4，OP＝

，则AP的长为________；例2题图①【解法提示】∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝BC＝4，AO＝CO，AC⊥BD.∵AP⊥BC，∴OP为斜边AC的中线，∴AC＝2OP＝2，AO＝OC＝

，由勾股定理得OD＝

，∴BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为BC·AP＝

AC·BD＝2，∴AP＝

.(4)如图②，过点A作AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接EF，DF.若∠EFD＝90°，AB＝2，则cos∠ABC的值为________；例2题图②【解法提示】如图，延长DF交CB的延长线于点G，连接DE.G∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝2，AD∥CG，∴∠ADF＝∠G.∵F是AB的中点，∴AF＝BF.∵∠AFD＝∠GFB，∴△ADF≌△BGF，例2题图②G∴BG＝AD＝2，GF＝DF.∵∠EFD＝90°，∴EG＝ED，设BE＝x.∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°.∵AE2＝AB2－BE2＝DE2－AD2，即22－x2＝(2＋x)2－22，∴x＝

－1或－

－1(舍去)，即BE＝

－1，∴cos∠ABC＝

.【答案】(5)如图③，菱形ABCD的边长为4，过点A作AP⊥BC于点P，将菱形沿AP翻折，点B的对应点为E，AE交CD于点G，若菱形ABCD的面积为4，则EG的长为________；例2题图③【解法提示】∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，CD∥AB.由折叠的性质可知，PE＝BP，AE＝AB.∵AP⊥BC，∴折叠后点E落在BC的延长线上．∵菱形ABCD的面积为4，∴BC·AP＝4，∴AP＝

，∴在Rt△ABP中，BP＝

＝3，例2题图③∴PE＝3，CP＝BC－BP＝1，∴BE＝6，CE＝2.∵CD∥AB，∴∠GCE＝∠B.又∵∠E＝∠E，∴△GCE∽△ABE，∴，即

，∴EG＝

.【答案】(6)如图④，菱形ABCD的边长为4，过点A作AP⊥BC于点P，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点Q是BD上的一动点，连接CQ，PQ，则CQ＋PQ的最小值为________；例2题图④【解法提示】如图，连接QA，∵四边形ABCD为菱形，∴点C关于BD的对称点为点A，∴QA＝QC，即CQ＋PQ＝AQ＋PQ≥AP，∴当A，Q，P三点共线时，CQ＋PQ取最小值，最小值为PA.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．例2题图④∵AP⊥BC，∴P为CB的中点，∴BP＝

BC＝2，∵AB＝4，∴PA＝

＝2，即CQ＋PQ的最小值为2.【答案】(7)如图⑤，点E，F在对角线BD上(点E在点F左侧)，连接AE，AF，CE，CF，AE∥CF.求证：四边形AECF是菱形．例2题图⑤(7)证明：如图，连接AC交BD于点O，O∵AE∥CF，∴∠AED＝∠CFB.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CB，AD∥CB，BD垂直平分AC，∴∠ADE＝∠CBF，AE＝CE，AF＝CF，∴△ADE≌△CBF(AAS)，∴AE＝CF，∴AE＝CE＝AF＝CF，∴四边形AECF是菱形．例3

已知四边形ABCD为正方形，点E为该正方形内一点．(1)如图①，若点E在BD上，点F在AB上，过点F作FG⊥BD，垂足为点G，若FE＝EC，EF⊥CE，OE＝3，则BF的长为________；例3题图①【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ABD＝45°.∵EF⊥CE，∴∠COE＝∠FEC＝90°，∴∠FEG＝90°－∠CEO＝∠ECO.∵FG⊥BD，∴∠EGF＝∠COE＝90°，在△EFG和△CEO中，

∴△EFG≌△CEO(AAS)，∴FG＝EO＝3.∵∠ABD＝45°，∴△FBG是等腰直角三角形，∴BF＝

FG＝3.例3题图①【答案】(2)如图②，若点E在BD上，延长AE交CD于点P，连接CE，若PE＝PC，则∠DPE＝________；例3题图②【解法提示】∵四边形ABCD为正方形，E为对角线BD上一点，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADE＝∠CDE＝45°.在△AED和△CED中，∴△AED≌△CED(SAS)，∴∠DAE＝∠DCE，设∠PCE＝α，则∠DAE＝α.例3题图②∵PE＝PC，∴∠PEC＝∠PCE＝α，∴∠DPE＝2α.∵∠DAE＋∠DPE＝90°，即3α＝90°，解得α＝30°，∴∠DPE＝60°.【答案】60°

解题关键点证明△AED≌△CED，再结合PE＝PC推导出角度相等，利用三角形内外角关系求解．(3)如图③，若点E在AC上，以DE为边作正方形DEFG，H是CD上一点，且DH＝

CD，连接GH，若AB＝3，则GH的最小值为________；例3题图③【解法提示】如图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，∴DA＝DC＝AB＝3，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴点G的轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．例3题图③∵DH＝

CD＝2，∴CH＝

CD＝

，∴GH最小＝CH·sin45°＝

×＝1.【答案】1

解题关键点连接CG，通过证明全等三角形判断出点G的运动轨迹是关键．(4)如图④，若点E在AC上，点F在AD上，且DF＝2，G为BC的中点，AB＝6，则EF－EG的最大值是________；例3题图④【解法提示】如解图②，取CD的中点G′，连接FG′，EG′.G′∵四边形ABCD是正方形，BG＝GC，CG′＝CG，∴点G与点G′关于AC对称，∴EG＝EG′，在Rt△DFG′中，FG′＝

.∵EF－EG＝EF－EG′≤FG′，即当F，G′，E三点共线时，EF－EG取最大值，最大值为FG′，∴EF－GE的最大值为

.(5)如图⑤，对角线AC，BD相交于点E，∠F＝90°，FD＝FC.求证：四边形DECF是正方形．例3题图⑤(5)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDC＝∠DCE＝45°.∵∠F＝90°，FD＝FC，∴∠FDC＝∠FCD＝45°，∴∠ECF＝∠EDF＝∠F＝90°，∴四边形DECF是矩形．∵DF＝CF，∴四边形DECF是正方形．

解题有策略四边形的相关计算中，与三角形有关的知识：1.勾股定理：当题干中给出线段长和线段垂直(90°)或隐含的直角时，考虑利用勾股定理求解．注：隐含的垂直有：(1)矩形、正方形中的四个角均为90°；(2)菱形、正方形的对角线互相垂直；(3)直径对直角．2.锐角三角函数：(1)已知特殊角(30，45°，60)或三角函数值，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解；(2)隐含特殊角，特殊四边形的对角线平分两组对角，如正方形的对角线将两组对角分别平分成两个45°角．3.全等三角形：(1)由特殊四边形的对边平行，可得角相等；(2)特殊四边形的对边相等；(3)根据题干中的已知条件再找一组等边(或一对等角)可得三角形全等，如对顶角、中点、角平分线、垂直平分线等，可得两个三角形全等．重难考法突破1.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别为CE，BH的中点，若线段GF的长为2，则AB的长为_______．第1题图【解析】如图，连接BF并延长交CD于点M，连接MH.M∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB∥CD，∴∠D＝120°，∠MCF＝∠BEF.∵点F为CE的中点，∴CF＝EF.∵∠CFM＝∠EFB，∴△CFM≌△EFB(ASA)，∴MF＝BF，CM＝EB＝

CD＝

AB，第1题图M∴点M为CD的中点，F为BM的中点．∵G为BH的中点，∴FG是△BMH的中位线，∴FG＝

MH，∴MH＝2FG＝4.∵H，M分别为AD，CD的中点，∴DH＝DM.∵∠D＝120°，∴MH＝

DH＝4，∴DH＝4，∴AD＝2DH＝8，∴AB＝8.【答案】82.如图，在正方形ABCD中，O为AC，BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，OE＝3，若CE·DE＝6，则正方形ABCD的面积为________．第2题图【解析】如图，过点O作OM⊥CE交EC的延长线于点M，作ON⊥DE于点N，MN∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵四边形ABCD是正方形，O为AC，BD的交点，∴∠COD＝90°.第2题图MN∵∠COM＋∠CON＝∠DON＋∠CON，∴∠COM＝∠DON.∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，

∴△COM≌△DON(AAS)，∴OM＝ON，CM＝DN，∴四边形OMEN是正方形．∵OE＝3，∴NE＝ON＝

OE＝

×3＝3.第2题图MN∵DE＋CE＝DN＋NE＋CE＝CM＋NE＋CE＝EN＋EM＝2EN＝6，设DE＝a，CE＝b，∴a＋b＝6.∵CE·DE＝6，CD2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝62－2×6＝24，∴S正方形ABCD＝24.【答案】24

解题关键点由题干可得到∠DOC＝∠DEC＝90°，OD＝OC，属于典型的“对角互补”模型.3.如图，已知四边形ABCD，点Q为AB左侧平面内一点，连接BQ，DQ，AQ，且∠BQD＝∠BAD.(1)如图①，当四边形ABCD是菱形，且∠C＝60°时，求∠AQD的度数；第3题图①

解：(1)如图，在DQ上截取DE＝BQ，连接AE，设AB，DQ相交于点F.EF∵∠BQD＝∠BAD＝∠C＝60°，∠QFB＝∠AFD，∴∠QBA＝∠ADE.∵四边形ABCD