2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题遇到角平分线如何添加辅助线知识精练1.(2023随州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝________．第1题图2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF⊥BC于点F，若DF＝4，DE＝5，则△CDE的面积为________．第2题图3.如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，交边AC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥AB于点F，若EF＝2，则线段BF的长为________．第3题图4.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，且3BD＝2CD，若AC＝3，则AB的长为________．第4题图5.如图，在▱ABCD中，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，BC＝15，则▱ABCD的面积是________．第5题图6.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE.求证：BC＝AB＋CE.第6题图7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E.(1)若AD＝1，求DC的长；(2)求证：BD＝2CE.第7题图参考答案与解析1.5【解析】如解图，过点D作AB的垂线，垂足为P，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠PBD，∵∠C＝∠BPD＝90°，BD＝BD，∴△BDC≌△BDP(AAS)，∴BC＝BP＝6，CD＝PD，设CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，∵PA＝AB－BP＝4，AD＝8－x，∴x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴AD＝5.第1题解图2.10【解析】如解图，过点D作DG⊥AC于点G，∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC，∴∠BCD＝∠ACD，DG＝DF＝4.∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝5，∴S△CDE＝eq\f(1,2)CE·DG＝eq\f(1,2)×5×4＝10.第2题解图3.4＋2eq\r(3)【解析】如解图，过点E作EG∥BC交AB于点G，则∠GEB＝∠EBC，∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝30°，∴∠EBC＝∠FBE＝15°，∴∠FBE＝∠GEB＝15°，∴BG＝GE.∴∠FGE＝30°.∵EF⊥AB，∴GE＝2FE＝4，GF＝GE·cos30°＝2eq\r(3)，∴BF＝BG＋GF＝4＋2eq\r(3).第3题解图4.2【解析】如解图，过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，则∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠BAD，∴△CBE∽△CDA，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(BC,DC).∵3BD＝2CD，∴BC＝eq\f(5,3)CD，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(5,3).∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AB＝AE.∵EC＝AC＋AE，∴eq\f(AC＋AB,AC)＝eq\f(5,3)，即eq\f(3＋AB,3)＝eq\f(5,3)，解得AB＝2.第4题解图5.150【解析】如解图，作GE⊥AD交AD于点E，EG的延长线交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵GE⊥AD，∴EF⊥BC.∵BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，∴GE＝GH＝5，GF＝GH＝5，∴EF＝5＋5＝10，▱ABCD的面积为BC×EF＝15×10＝150.第5题解图6.证明：如解图，在BC上截取BF＝AB，连接DF.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠ABC＝20°.在△ABD与△FBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FB，,∠1＝∠2，,BD＝BD，))∴△ABD≌△FBD(SAS)，∴DF＝DA＝DE，∠BAD＝∠BFD.又∵∠A＝100°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°－∠BFD＝180°－∠A＝80°，∴∠FDC＝180°－∠DFC－∠DCF＝60°.∵∠EDC＝∠ADB＝180°－∠1－∠A＝180°－20°－100°＝60°，∴∠FDC＝∠EDC.在△DCE与△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,∠EDC＝∠FDC，,CD＝CD，))∴△DCE≌△DCF(SAS)，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE，即BC＝AB＋CE.第6题解图7.(1)解：如解图①，过点D作DH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴DH＝CH.∵BD是∠ABC的平分线，∴DH＝AD＝1，∴在Rt△CHD中，DC＝eq\r(CH2＋HD2)＝eq\r(2)；图①图②第7题解图(2)证明：如解图②，延长CE，BA相交于点F，∵∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠EBF＝∠ACF.在△ABD和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠ACF，,AB＝AC，,∠BAD＝∠CAF，))∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF.∵BD平分∠ABC，∴∠EB