高中数学上学期知识点总结

第一章集合与函数概念

课时一:集合有关概念

1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东

西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

3.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、

中国古代四大美女、教室里面所有的人...

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合｛H,A,P,Y)

(3)元素的无序性：集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

例：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一个集合

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的篮球队员｝,｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

(1)用大写字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

1)列举法：将集合中的元素--列举出来｛a,b,c……｝

2)描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

｛XGR|x-3>2),｛x|x-3>2)

①语言描述法：例：｛不是直甭三甭形的三角形)

②Venn图：画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合

(2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝

5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aeA

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA

♦注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

课时二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

(1)定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集

合B的子集。记作：Ac5(或BqA)

注意：A=8有两种可能(1)A是B的一部分，；

(2)A与B是同•一集合.

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A笠B或B卫A

2.“相等”关系：A=B(5>5,且5V5,则5=5)

实例：设A=｛x|x2-l=O｝B=｛-1,1｝“元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。AGA

CZ)

②真子集:如果A=B,且AHB那就说集合A是集合B的真子集，记作A#B(或BHA)

或若集合AqB,存在xeB且xA,则称集合A是集合B的真子集。

③如果A£B,BCC，那么AGC

④如果A^B同时BcA那么A=B

3.不含任何元索的集合叫履空集，记为①

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

♦有n个元素的集合，含有2"个子集，2n-1个真子集，2"-1个非空子集，2"-2个非空真子集

课时三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元由所有属于集合A或属于集全集：一般，若一个集合汉语我们所研究

问题中这几道的所有元素，我们就称这个

素所组成的集合，叫做A,B合B的元素所组成的集合，

集合为全集，记作：u

的交集.记作Ap|B(读作嗔叫做A,B的并集.记作:AUB

设S是一个集合，A是S的一个子集，由

交B'),AQB=(X|XGA,(读作'A并方)，即AUBS中所有不属于A的元素组成的集合，叫

且X£B}.={x|xeA,或XEB}).做S中子集A的补集(或余集)记作

CsACsA={xlxeS,史A}

韦恩图示

BC®)

图1图2

性质AnA=AAUA=AAUO=A(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)

An中=中AUB=BUA

(C„A)U(CuB)=Cu(AnB)

AnB=BpAAUB3A

AU(CuA)=U

AABcAAABcBAUBoB

Afi(CUA)=O.

课时四:函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作：

y=f(x),x€A.(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(f(x)|x£A}叫做函数的值域.

函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3、区间的概念：

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示

4函数的表示方法：(1)解析法：明确函数的定义域

(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

5、函数图象知识归纳

⑴定义：在平面直角坐标系中，以函数片々€八)中的1为横坐标，函数值y为纵坐标的点Py)

的集合C,叫做函数y=f(x),(x£A)的图象.C上每一点的坐标①力均满足函数关系y=f(x),反

过来，以满足6d的每一组有序实数对了，y为坐标的点々，y)■,均在C上.

⑵画法

A.描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。

(3)函数图像变换的特点:

1)函数y=f(x)关于X轴对称y=-f(x)

2)函数y=r(x)关于丫轴对称y=f(-x)

3)函数y=f(x)关于原点对称y=-f(~x)

2.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在

集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A—B为从集合A到集合B的一个映射。

记作uf(对应关系):A(原象)TB(象)"

对于映射f：A-B来说,则应满足;

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法

1、函数解析式子的求法

(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应

法则，二是要求出函数的定义域.

(2)、求函数的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系数法：

3)换元法：

4)拼凑法：

2.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成

的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；②定义域一致(两点、必须同时具

备)

课时六：

1.值域：先考虑其定义域

(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

(2)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围.

(3)代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

(4)分离常数法

课时七

1.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u€M),u=g(x)(xCA),则y=f[g(x)]=F(x)(x€A)称为f、g的复合函数。

(4)常用的分段函数

1)取整函数：

2)符号函数：

3)含绝对值的函数：

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的.所以函数是映射，而映射不一

定的函数

课时八函数的单调性(局部性质)及最值

1、增减函数

(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量Xi,x2,当xKxz

时，都有f(xj〈f(xj,那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间R称为y=f(x)的单调增区间.

(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值X”x2,当Xi5时,都看f(xi)〉f(xz),那么就说,包在这

个区间上是减函数.区间上称为y=f(x)的单调减区间.一

注意：函数的单调性是函数的篇部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

2、图象的特点

如果函数•4在某个区间是增函数或减函数，那么说函数片广包在这一区间上具有(严格的)单调性，在单

调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3、函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

①任取Xi,X?£D,且Xi<Xz；

②作差f(Xi)-f(x2);

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(X,)-f(X。的正负)；

⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(0复合函数的单调性

复合函数/Ig®］的单调性与构成它的函数〃=gW,的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

课时九：函数的奇偶性(整体性质)

(1),偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=f(X),那么f(x)就叫做偶函数.

(2)、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则

进行下面判断；

②确定f(-X)与f(X)的关系；

③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；

若f(-X)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(X)是奇函数.

(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

1)在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；