流体力学习题及答案-第四章

第四章流体动力学根本定理及其应用4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：〔1〕欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力外表力。〔2〕伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。4-2设进入汽化器的空气体积流量为，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。试确定汽化器的真空度。又假设喷油嘴内径d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度。答：〔1〕求A点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为，压力为，那么根据流管的连续方程可以得到：，因此：。〔2〕求真空度选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点；并且：在F点：，；在A点：，。将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：因此真空度为：假设取空气的密度为，那么计算得到：。〔3〕求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为，并设空气的密度为，重度为，汽油的重度为。选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：在A点：，，；在B点：，，；代入到伯努利方程中，可以得到：；整理得到：；因此汽油喷出速度为：；其中空气重度；，并注意到喷油嘴的直径是6mm，而不是原来的10mm，那么计算得到：因此汽油流量为：。4-3如下图，水流流入形弯管的体积流量Q=0.01m3/s，弯管截面由=50cm2减小到=10cm2，流速和均匀，假设截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。。答：〔1〕求截面和上的流速和：由连续方程可知：，；〔2〕求上的压力：上的压力1个工程大气压；由伯努利方程：得到：。〔3〕求水流对弯管的作用力：由动量定理可以得到：。其中和分别为在和上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：截面上作用力为：，截面上作用力为：。因此：〔4〕求作用力的作用点：设作用点距截面中心线的距离为，两管中心线之间的距离为。由动量矩定理可以得到：；即：。4-4如下图，弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm，偏转角为60°，设粗端表压力p1=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，截面处压力和利用伯努利方程得到的截面的压力的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在和截面上，均应以相对压力值计算。〔1〕利用连续方程求截面和上的流速和：，；〔2〕利用伯努利方程求截面的相对压力：根据伯努利方程：可以得到：；〔3〕求管壁对流体的作用力和：①求方向作用力分量：由动量定理：其中为截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：②求方向作用力分量：由动量定理：，其中为截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：〔4〕求力的作用点：如下图，设流体对弯管的作用力和与轴和轴的距离分别为和，由于和上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知，即合力作用点通过坐标原点。4-5如下图，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m3/s，分流量Q1=118m3/s答：〔1〕由伯努利方程可知；〔2〕设流束宽度分别为，和，那么有，；又由连续方程可知：因此：；〔3〕应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角：①求偏转角度：在方向，平板对流体的作用力，即：；整理得到：将代入，可以得到：，即：。②求方向作用力分量：由动量定理得到：整理得到：4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2，两孔口中心重合，而且直径d1=d2/2。假设射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当h1和水的密度时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。答：〔1〕求水箱1出口处速度：在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点；A点：，，，其中为大气压力；B点：，，。由过A、B两点的伯努利方程：得到：；因此：，；〔2〕求水流对封板的作用力：由动量定理，沿垂直于封板的方向：；〔3〕求水箱2的最大高度：在封板右侧，水箱2形心处的静压力为，因此封板受到水箱2的静水压力：。当封板左右两侧压力相同时，即时：注意到，整理可得：。即水箱2液面最大高度为。4-7工程中常用文丘里〔Venturi〕管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为，且。假设不计水的粘性，试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。答：设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为和，那么由连续方程可知：；又设管路的流量为，那么：，；选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：，整理得到：；〔1〕取形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，那么有：，；由于，那么可得到：；整理可得：；〔2〕将〔2〕代入到〔1〕中，可得：；再经整理得到：，。4-8圆管内不可压缩定常流动如下图。入口处流速U均匀，在某截面处为抛物形速度分布：，其中为离管轴的径向距离，为一未知常数。入口处和处管截面压力均匀分布，分别为和，流体密度为，不计重力。〔1〕试确定常数；〔2〕证明作用在至间，管壁上总的摩擦阻力。答：〔1〕入口处流量为：；由连续方程可知，处截面的流量也是。又由于通过截面半径处环形微元面积上的流量为：对其积分可得到：；即：；因此得到：；那么速度分布为：。〔2〕入口处流体的动量为：；截面上，通过半径为处的环形面积流体的动量为：；将上式积分得到：；由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：；其中为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：。4-9一马蹄形旋涡如下图，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：；〔1〕求涡线对R点的诱导速度：诱导速度由3局部涡线产生，即涡线1、2和3：涡线1：方向垂直纸面向外：；其中，；；因此：。涡线2：方向垂