高中数学讲义微57 放缩法证明数列不等式

微专题57放缩法证明数列不等式

一、基础知识：

在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等

式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用

放缩法证明不等式的技巧

1、放缩法证明数列不等式的理论依据一一不等式的性质：

(1)传递性：若a>b,b>c,则a>c(此性质为放缩法的基础，即若要证明a>c,但无

法直接证明，则可寻找一个中间量b,使得a>。，从而将问题转化为只需证明匕〉c即可)

(2)若a>b,c>d,则a+c>/?+d,此性质可推广到多项求和：

若4>/。)，。2>42),•••,%>/(〃)，则：4+出+…+%>〃1)+/(2)+…+/(〃)

(3)若需要用到乘法，则对应性质为：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd,此性质也可推

广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数

注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同

2、放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

①等差数列求和公式：S“=幺土殳•〃，+m(关于〃的一次函数或常值函数)

2

a.(qn—1)

②等比数列求和公式：S“=3——^(4声1)，6,=%•/(关于〃的指数类函数)

q-i

③错位相减：通项公式为“等差X等比”的形式

④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，

进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与

所证的不等号同方向)

③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可

裂项相消的数列进行靠拢。

④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：

看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；

第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视

为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

②等比数列：所面对的问题通常为“S“〈常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足

14€(o,i)，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可

视为一生的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，

i-q

1

再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数2=_二，即可猜

31-1

4

11(1Y

想该等比数列的首项为一，公比为一，即通项公式为2•—。

24⑷

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数

列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累

力『'或"累乘”的形式，即4+]-4</(〃)或也</(〃)(累乘时要求不等式两侧均为正

数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为。“，另一侧为求和的结果，进而完成证明

3、常见的放缩变形：

(1)J、J、,其中可称」?为“进可攻，退可守”，可依照

所证不等式不等号的方向进行选择。

注：对于士，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特

n

征的数列，例如：4<-^—=7——3————Y这种放缩的尺度要小于

2

/n-l(«-l)(n+l)2(〃-1n+1)

(1)中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如:

1<1—41_1(1_______

〃2“2」4〃2_1(2"1)(2〃+1)又2〃-12n+lJ

~4

2

⑵T=Tr,从而有:

7nyjn+yjn

2(+1-V/?j-

注：对于。还可放缩为：X<\/n-y/n-2,n>2,nGN*

yjny/n

/c、八〜八Et-i.皿3bb+m/1„c、bb+mf.八八'

(3)分子分母同加第数：一>-----[b>a>0,m>0),—>-----(a>/?>0,m>0)

aa+maa+m

此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构

造出形式再验证不等关系。

TT2n2'i

(4)-------=--------------<--------------=---------------

(2"-1)2(2"-1)(2"-1)(2H-l)(2rt-2)(2n-l)(2n-,-1)

=——；----------(n>2,〃wN")

2〃37

knknkn~x

可推广为：-----b=7-----w-----x<7-----w----7=7-----w-；-V

(kn-1)-(r-i)(r-i)(r-i)(r-z：)(r-i)(r-'-i)

=——J---------(n>1,k>2,k,neN*)

r-1-ir-r7

二、典型例题：

例1：已知数列｛«„｝的前n项和为5„,若45.=（2〃—1）。,m+1,且q=1

（1）求证：数列｛4｝是等差数列，并求出｛4｝的通项公式

।3

⑵设勿=—=,数列也｝的前〃项和为T“，求证：Tn<-

2

解：⑴45„=(2n-l)a„+1+l

4sl=(2〃-3)q+l(n>2)

二4%=(2〃-1)见+1—(2〃一3”“（在2）

即（2〃+1>„=（In-l）a向=也="

an2〃-1

an_2n-\an_x_2n-3%_5

an_x2n-3an_22〃-5，43

.an…%=2”12〃-35即a〃=2〃-1

an-\an-2a22〃-32〃-53出3

2〃一1

/.an----a2,由4S〃=（2〃一l）a〃+1+1令〃=1可得：

4S]=%+1n%=3

.\an=2n—1（/7>2）,验证。1=1符合上式

2

an=2〃-1Sfl-n

（2）由⑴得:4=1

（2〃-1）后«（2n-l）

111If1

--------<---------=---------=------

可知当〃22时，hn

/i（2n—1）«（2H-2）2H（H-1）2\n-1

:.T^b+b+--,+b“<b[+-

nt2"12（2

不等式得证

例2：设数列｛4｝满足：q=lM“+|=3a“,〃eN*,设S“为数列也｝的前〃项和，已知匕尸0,

2b“-b\=S、0,〃GN*

(1)求数列｛凡｝，也｝的通项公式

1113

(2)求证：对任意的〃eN*且〃22,有-------F------+…+------<—

a「比a3aa“-b,2

解:(1)va„+1=3a„.•.｛%｝为公比是3的等比数列

a„=3"T=3"T

在也｝中，令〃=1，2*-*=S、•S]=b、=1

2b,_「1=S,72bn-2b『1=bn(〃22)nbn=纥-

.•.也｝是公比为2的等比数列

.•也=*2"7=2"7

(2)证明:

-------------1-------------+・・・+

a2-b2a3-4a,「b“

1--

3

例3：已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，且4+/-=2S”,〃eN*

(1)求证：数列国｝是等差数列

(2)记数列2=2S；,(=!+」+-+!，证明：1一一=<7；<3—J=

*b2bnVn+127n

解：(i)4+_L=2S“nS“-S,i+^-=2S“(〃N2)

s.—s,

s,,+s,i：SS

sn-s,

・•｛s：｝为等差数列

(2)思路：先利用(1)可求出S的公式进而求出/?=2小万，则—=---产,考虑进行放

""KoI

缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。

解：令〃=1代入a“+-5-=2S“可得：

6Z,+—=2%=%=1即Sl=1

%

由｛s；｝为等差数列可得：s；=s；+(〃—1)=〃

Sn=>[nbn=2n\[n

.1_1

bn2n\/n

31

考虑先证(<——-；=

2yjn

11_—1—yjn—1yfn-JM—11

----------------------------<——/——"一———f=n>2)

b〃n-2\l-n___J〃-1+6)nn(n-l)>/1

J__3__1_

品2y/n

1

再证一

\Jn+l

111Vn+1-yfny/n+1一品11

_____—=.，—____,_____________

bnn-l4n+l+nJ〃(n+l)册J"+l

小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩:

dn+1一\[n——j----广<—产<•-----/——yjn—1

yjn+i+y/n2\Jn+J〃-1

例4：己知数列｛4｝满足q=2,a“+|=211+1an,neN+

（1）求证：数列是等比数列，并求出数列｛为｝的通项公式

n17

(2)设％=--,求证：C1+C,H---FC<---

4-n24

(iV

解：（1）a„i21+-

+In)n

-^T=2-4是公比为2的等比数列

（n+1）2n21川

2

an=n-2"

n1

（2）思路：c“=—=-----,无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号:

%小2"

＜）,若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有〃，

故分子分母通乘以（〃一1）,再进行放缩调整为裂项相消形式。

〃_1_n-1

W

ann,2"n(n—1)2

而一1_______L=2〃-(〃-1)=〃+1

(n-l)2n-'n-2"n(n-l)2wn(n-l)2"

叱八।"I«+l11/

所以c“=—；---；—<—----；——----；---：------(n>2)

f1111111

cl+e2+...+cn<cl+c2+c3+^--—+—-—+J

1111117117

=—|—T---1----------=---------<5>3)

282424n-2n24n-2n24

1617

•.•c“>0q<C]+°?vq+G+。3=v~^2A

小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进

行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。

（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本

题中”>3才会有放缩的情况），对于较少项数要进行脸证。

例：己知数列｛。“｝的前〃项和S”=叫,一3"（八-eN*,且%=17

(1)求《

(2)求数列也｝的前〃项和S“

设数列也｝的前九项和7；，且满足％求证：T<|V3n+2

(3)n

解：(1)在中，令〃=2,〃=3可得:

4+%=2a?-6\a2-a[=6

<=><

4+火+/=3%-181q+%=16

・，,q=5,(1、=11

(2)Sn=nan——1)①

5„_,=(n-l)«„_1-3(n-l)(n-2)②

①一②可得：

%=%--1)%-6(〃-l)=>(n-l)a„=(〃-1)%+6(n-l)(n>2)

+6

.•.｛里｝是公差为6的等差数列

/.an=4+6(〃-1)=6拉一1

:.Sn=/也〃一3〃(〃-1)=〃(6〃-1)一3"(〃-1)=3九2+2〃

(3)由(2)可得：—=J——

"V3n2+2n

b=/1=—/2</2/=2H3n+2-

j3〃+2213n+213〃+2+/3〃-12、)

0r

;1=瓦+Z?2+---+/?„<-^V5-V2)+(A/8-V5)+(V3n+2-V3n-l)

=,3〃+2-&)<§J3"+2

例6：已知数列｛2｝满足%=n>2,nGN)

-2

(1)试判断数列是否为等比数列，并说明理由

(2)设么=a“sin(2"；"),数列也｝的前〃项和为7；,求证：对任意的〃eN*,7；<g

㈠))％-2

解：(1)a=---------------=>—=

(-1)4-2册%=5-六

—+(-1)^2.(-l)n--—+(-l)H=(-2).

aaa

n,,-y„La><-\

.•」［-+(-1)”为公比是一2的等比数列

1，对于sin也H

(2)思路：首先由⑴可求出｛%｝的通项公式a

n3・(-2广-(-1)"2

,,%(2〃-1)乃，(2n-\\TI(、

可发现〃为奇数时，sin---------=1,〃为偶数时，sin---------=-1,结合｛4｝通项公

式可将其写成sin(2"[)"=(―I)2

,从而求出c”=-------：-,---无法直接求和，所以考虑

3・21+1

对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而q,=——<—二，求和后与所证不

3,2"+13,2”

等式右端常数比较后再进行调整(需前两项不动)即可。

解：-+(-1)'=3,由(1)可得:

L_

1

3-(-2r-(-i)n

.(2〃-1)万，一(2〃-1)乃(-1厂1

而sin-——2J=(-1)•他=a“-sin1^

3.(-2)"-'-(-l)n3-2'-'+\

,11

b“=:<r

3.2,,-1+132”

、'1"23时，Tn=4+b2+---+bn<(Z?f+Z?2)+—y+——j+---+2n-

1474

=——I-----1----------------------------<——I——-8-4-7-

471I47

1—

2

因为也}为正项数列：.Tx<T2<T3<-<Tn

4

VeN*<

7-

例7：已知数列满足：=-,且—吧吧一(n>2,neN*

22%+〃-1'

(1)求数列｛可｝的通项公式

(2)证明：对于一切正整数〃，均有…-an<2-n\

3"*

解：⑴an

2a+n-1

12。“_1+〃-1nn2n-\

——-------——----------<=>———I----

a,3吟|3%a”33a

ii2I

设即〃,二十旧1

.,也-1=；(%-1).♦・｛2一1｝为公比是g的等比数列

XH-I

•,也T=(々-呜

而4=—=-

7a}3

nn-3"

,也dg73"—1

3,323"

(2)思路：所证不等式可化简为：----------<2,由于是连乘形式，所以考虑

3,-132-13"-1

放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为(3"-1),所以结合不等号方向，将分子向

3"3"—23”—1

该形式转化:--------<---------<—7_:——r(n>2),再根据右边的值对左边放缩的程度进行

3"-13”-33(3,,-|-1)

调整即可。

olo2

证明：所证不等式为：〃!•一----3一…------<2-〃!

3,-132-13"-1

3'323"

等价于证明:

3—32—13"-1

C=V-------<-7：C（〃22）

3"—1--------"3"—13"-33（3,,-|-1）'

33-134-13"-1

Cn<C'C?3（32-1）3（33-1）3（3,,-|-1）

393"-1393"243々

------7<->-*----v=-----<2（〃2

288・3”22883-2128--'

27°

C.=—3<2c,C.-C-,=-3---9——<2

12122816

即不等式得证

小炼有话说：(1)对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化

简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。

(2)本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注

意不等号的方向(建议验证)，常用的放缩公式为：。>。>0,。>0=>2<2土£(分子小与

aa+c

分母)，a>b>0.c>0=>—>a^C(分子大于分母)

bb+c

例8：已知函数=-----21nx,/(l)=0

(1、

2

(1)若函数f(x)在x=l处切线斜率为0,an+i=f'\-———-n+l,己知q=4,

求证：。”22〃+2

111?

（2）在（1）的条件下，求证：-----4----------+・・・+---------<-

1+41+%1+4?5

1。

解：（1）f（X）=Cl-\----r-----

X~X

/（l）=0\a-h=0[a=\

=><=><

/（l）=0a+b—2=0h=\

a〃+]=1+_〃+1）__2（a〃_zt+1）_*+1

整理后可得：4漳=(勺一〃)2-〃2+1

%+i=公-2%+1

下面用数学归纳法证明：/22〃+2

当〃=1时，4=422〃+2成立

假设“=Z（keN*）成立，则〃=k+1时

W+1=%3-24）+1•.•&.>2k+2

:.aM2（2左+2>2+1=4%+5>2（左+1）+2

，〃=攵+1时，不等式成立

/.VnGN\an>2H+2

（2）

4+i=a；t-2na”+1=«„（q,-2〃）+1

由（1）可知。〃之2〃+2an+}>2an+1

—

a,+i+122（a“+l）n-

aw+i+12a“+1

1111111

------«—•---------«—•---------W•••W-------

a“-1-2--I"an_2-l~~2"-'4+1

L+J…1+MO

2

例9：已知数列｛叫的各项均为正值，对V〃GN*,嗨-1=4%(a„+1)也=log2(an+1),

且弓=1

（1）求数列，的通项公式

（2）当左>7且ZeN.时，证明对V〃eN*,都有'+」一+'-+…+—1—>3成立

b“%bn+2b“i2

解：⑴=

*2

•••4a：+4a„+1na；+I=（2a„+1）由可>。可得：

,J=2/+1

，4+1+1=2（4+1）

二｛。"+1｝为公比是2的等比数列

aa+1=（4+1）•2"一|=2"

.・・。〃=2〃-1bn=n

（2）思路：所证不等式为：+」—>3左边含有两个变量，考虑通过

nn+1〃+2nk—\2

iii3

消元简化所证不等式。设《=一+——+..・+-----,则只需证明：（1）.>一，易知7；为

n〃+1nk-1m,n2

11133

递增数列。所以只需证明攵=8,即一+——+・・・+----->-,左边共7〃项，结合一的特

nH+18/?-122

点可考虑将7〃项分为3组：-H-----1---1---——>」—H---F」—=——

〃〃+12〃-12〃2n2n2

K________________________v-,V_____________>

111111

---1------1-••------>---F…H---=一

2〃2〃+14〃-14〃4n2

2〃个2〃个

—+—i—+再求和即证不等式

4n4n+18n—1Sn8n2

X_________v_________/V____vJ

4〃个4〃个

解：所证不等式1----1----11---->一由（1）可得：

22+1%+2%-12

11113Li（111113

--1-----1----F,,•H>一只需证：1-----1-----1-…4>一

nn+1〃+2----nk-\2\n〃+1〃+2-----nk-1Jmin2

设（」+」-+・・•+]

nn+1nk-l

11]、

••1+i-丫卜=■-d-----1-…+--1-----b…+

n〃+ln〃+lnk-\）

11]

=—十------+…+>0

nk■+1nk-\-n-\

.•.｛1｝为递增数列"k>s

111「…1113

・•♦(q)min=4=—+----+…+只需证--1-----HH----->一

n〃+18〃一1nn+l8〃-12

1111113

/.—+----+・・・+----->—+—+—=—

n«+18n-l2222

例10：数列｛4｝是公差不为零的等差数列，%=6,数列帆｝满足：4=3也+1=姑2…4+1

b-1

(1)当“22时，求证：H—=bn

b”T

(2)当4>1且%eN*时，/，%，%,气，…，气，…为等比数列

①求小

/\

②当％取最小值时，求证：++----F->4-----1-------1---1-----

仇人b3hn(理一1ak2-1akn-1J

解：⑴由%+]=/?也…〃,+1可得：bll+l-l=bxb2---bn

b”-1=响…b"_i(nN2,葭eN*)

h-I

两式相除可得：—=bn

(2)①思路：本题的突破口在于4,,既在等差数列｛《,｝中，又在等比数列

。3，%，%，4,1・，%,,，,一中，从而在两个不同风格的数列中气，均能够用％进行表示，然后便

得到女“与%的关系式，抓住A”,%eN*的特点即可求出％的值

•・•{6,}为等差数列."=四二％=空包

、6—a

4“=43+-3）,〃=%+（%”一3）•—

另一方面，：“3，。5,4，%.，…，4，…为等比数列—

'12a3a3

-------J可视为以1为首项，—为公比的等比数列前（〃+1）项和

.•"“=3+21+—+-：+(—

=5+29+

“3I”3J

•;除wN":NneN*,2—+・・・+—GN,:%wN*

a3能够被6整除,・,%>1且。3。%=6

。3=2或。3=3

经检脸：叼=2或。3=3均符合题意

②思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，

b-1

从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，---=bn,a.=2x3"”，所以对于右

b「T"

侧，一!—=———显然无法直接找到求和方法。而对于虽然没有通项公式，但可

1

气-12-3--1bn

对'+!=”向可求和的方式进行变形,得到」-=」--------1一从而可想到利

V

b,「lbnbn-\bn+x-\'

用裂项相消的方式进行求和得至I11F•••H-----------------o对"于右侧

瓦仇4乳3她…么

—5----1------------1--••+---只能考虑进行放缩，针对一--=----L——的特点可向等比

,,+1

a.-1a,-1a,K-1a.K-12-3-l

K2nn

数列靠拢，结合不等号方向可得：-1—=——!一<-!-»所以

,,+|,,+,

akn-12-3-13

于是所证的不等式就变为只需证明

2122121

>--------,即证明---------<--,考虑对---------进行放缩，抓住4=3

3b®…b.33,,+1b我…b“3,,+,他2••也

271

这个特点，由已知可得也｝为递增数列，则。“23,但右侧为不订=3/，无法直接放缩

11?

证明，所以要对--------的放缩进行调整，计算出片也也可得------<—,进而

她…223她434

]11212

------------------<———r=­r,但此时只能证明“24时，不等式成立。对于

他2…々仇仇仇为…2343一3,,+|

”=1,2,3有限的项，逐次验证即可。

b-1

由（1）可得：2—=b„

bn-\

1

b”(dT)=2+1-1==7-：

么电T)b“+「l

._J____1___1

.•”一友=晨「1

111c

—=--------------------

b.bn-\btl+l-1

1111

/.—+—+—+・・・+—

hb2h3hn

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仄3—1仄-1）3T^4-1J3,T仇+1—"

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