新课标Ⅰ高考数学试卷押题卷A 含解析

2017年考试大纲修订内容：

1.进一步加强对数学“双基”一一即基本知识，基本一技能的考查，强调数学思想方法的应

用，注重数学能力的考查.

2.全国卷采用12个选择题，4道填空题，5道必选题，另外加后面的2选1（极坐标与参

数方程，和绝对值不等式两道题目中选做其中一道），共150分，用时2个小时.

3.2017年新考纲变化有：（1）注重数学文化的考查；（2）试卷最后的选做题由原来的2

选1变成2选1,删掉了平面几何的选考.

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

第1卷

一、选择题（共7.小题，每小题6分，满分42分）

1.在选择题中常考查的知识点

（1）基础题一一集合与简易逻辑，充分必要条件，复数的引入，三视图，已经各种

视图，数列，程序框图，函数图像及性质等

（2）中档题一一统计概率，三角函数，不等式与线性规划，直线与圆的位置关系，

立体几何中的点，线，面的关系等。

（3）爬坡题一一利用导数研究函数，圆锥曲线，以及函数综合问题.

2.本押题卷严格按照新课标I要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，

体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分

题目为原创试题.

1.已知集合，3={x|x21},贝U“xeA且xeB”成立的充要条件是（）

A.-1<XW1B.x<lC.x>-1D.

—1<x<1

【解析】由已知条件，可以得到“xeA且的等价条件，也就是充要条件.

【解答】若满足xeA,则x>—1,若x任B,则％<—1,所以满足题意的x的范围是

-1<%<1.这也就是“1€4且1e8”的等价条件.故选择D选项.

【说明】本题考查集合和运算与充要条件.

2.已知i为虚数单位，复数z满足z（l-i）=l+i,则z的共甄复数是（）

A.1B.-1C.iD.-i

【解析】由条件Z（l-i）=l+i,根据复数的运算，可以得到复数z,进一步得到其共轨复数.

【解答】由题意得，z（l—i）=l+i=z=±U=i'一则z的共朝复数是T,故选D.

1—i

【说明】本题考查复数的运算.

3.在等差数列｛a.｝中，2（弓+4+%）+3（%+/）=36,则1=（）

A.8B.6C.4D.3

【解析】根据等差数列的基本性质，从而得到6,进一步得，2,于是得到.

【解答】由等差数列的性质可知：

2（4+%+%）+3侬+a10）=2x3a3+3x2佝=6（a3+%）=6*24=12%-36,:.a6=3

本题选择D选项.

【说明】本题考查等差数列的基本性质.

4.假设小明订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到，小

明离家的时间在早上7：00-8：00之间，则他在离开家之前能拿到报纸的概率（）

1127

A.-B.—C.—D.一

3838

。【解析】将送报人到达的时间与小明离家的时间作为点的坐标，该坐标（X,y）充满一个

区域，而满足条件“小明在离开家之前能拿到报纸”的点（x,y）则在另一个区域，根

据几何概型得到概率.

【解答】设送报人到达的时间为x,小明离家的时间为y,记小明离家前能拿到报纸为事件

A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明离家时间，建立平面直角坐标系，小明

离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能

的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明在离开家前能

1,x,11——1X—1X—7

得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=--------222=，故选c.

v71x18

【说明】此题为几何概型，将送报人时间和小明离家时间建立直角坐标系，分析可得试验

的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得时间A所形成的区域和面积，然后由几何

概型的公式即可解得答案

5已知圆,：八八1‘点P为直线下台1上一动点，过点P向圆C引两条切线

为切点，则直线经过定点.（）

【解析】对于点，根据题意得到四点共圆，从而以PC为直径的圆的方程为

[x—（2—m）丁+（丁—修）=（2y+1,将该圆与圆。：必+丁2=1联立，两式相减

得到相交弦所在直线方程.

【解答】设P（4—2加,加），是圆。的切线，；.。1，口4,。3，2&，48是圆。与

以PC为直径的两圆的公共弦，可得以PC为直径的圆的方程为

卜-（2-*+[—j=（2-/+£，①

又x2+y2=1,②①-②得AB:2(2—间x+小y=l,可得满足上式'

即A5过定点故选B.

【说明】本题考查直线与圆的位置关系，如直线与圆相切，以及两个圆相交的相交

弦方程.

6.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

*

L-1-'।

■-6-***"6^

1L视四例祝刘

A.16B.32C.48D.

144

【解析】根据三视图恢复几何体的原貌，即可得到几何体的体积.

【解答】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：

其中BC=2,AD=6,AB=6,SA±平面ABCD,SA=6，：.几何体的体积

1OiA

V=-x------x6x6=4.故选：C.

32

【说明】本题考查三视图以及几何体的体积.

7.函数的图象大致是（）

【解析】本题可以充分利用选项的渐近线以及函数在一定的区域上的符号即可以判断，如:

当当时，恒有，故排除选项D等等.

【解答】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当时，恒有，故排除D；

时，，故可排除B；故选A.

【说明】本题考查函数的图像.

8.设。>Z?>l,c<0,给出下列四个结论:

①相>1；②a。<b。；③10gb(a-c)>log〃(/2-c)；@ab~c>aa~c.

其中所有的正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.①②③D.

②③④

【解析】根据不同的比较，构造相关的函数，如需判断“优<"”的真假，可以构造函数

y=x,，需判断"logb(a-0)>陶色-c)”的真假,可以构造函数y=log/.

【解答】因为。>人>1,。<0,所以①丁=/为增函数，故a'<a°=l,故错误

②函数y=为减函数，故屋<8’,所以正确

③函数y=log/为增函数，^La-c>b-c,故k)g"(a-c)>k>g"(Z?-c),故正确

④函数>=优为增函数，a-c>b-c,故(废y,故错误

【说明】本题考查鼎函数，指数函数，对数函数的单调性以及相关图像性质

9.当“=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()

【解析】逐步执行框图中的循环体，直到跳出循环体，可以得到.

【解答】第一次循环，s=2,左=2,第二次循环，s=6,左=3,第三次循环，s=14,左=4,

第四次循环，s=30,左=5,5>4结束循环，输出s=30,故选D.

【说明】本题考查程序框图.

22

10.已知双曲线二-与=1(。〉0］〉0)的左、右两个焦点分别为小居，以线段耳工

ab

为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为若片H"K|=2"该双

曲线的离心率为e,则e?=()

cV2+1-3+2V2

A.2B.--------C.----------D.

22

A/5+1

2

【解析】由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标，由两点间

距离公式,求出离心率的平方.涉及的公式有双曲线中。2=02—/,e=£，两点间距离公

a

式，求根公式等.

【解答】以线段44为直径的圆方程为V+y=02,双曲线经过第一象限的渐近线方程

bx1+y2=c1

为丁=—X，联立方程｛b，求得“（a,4，因为|肛卜|班|=2匕，所以有

。y=1x

a

J(a+c『+/_{("(:)2+Z?2=2b

又。2=c2_q2,e=£，平方化简得e_e2_i=o，由求根公式有=@±1(负值舍

a2

去）.选D

【说明】本题主要以双曲线的离心率为载体设问，考查双曲线的定义以及双曲线与直线的

位置关系.

11.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形M在这

个平面上的射影，如图，在长方体ABCD-EFGH中，AB=5,AD=4,AE=3,

则AEBD在平面EBC上的射影的面积是（)

C.10D.30

【解析】解决本题的关键找到点D在平面EBC上的射影在面EBC与面CDHG的交线上,

进而利用三角形“等底同高”即等面积法可解决问题.

【解答】在长方体ABCD—EFGH中，AB=5,AD=4,AE=3,DE=^31+42=5,

EB=』¥+宁=用,DB=752+42=741,由题意可知点。在平面£BC上的射影在

面EBC与面CDHG的交线上，则AEBD在平面E6C上的射影与AE5C等底同高，故其

面积为S='xBCxEB=,故选A.

2~

【说明】本题主要考查了图形"'在图形"在这个平面上的射影的概念，本质为线面垂直

判定的延伸，考查了学生理解转化问题和空间想象的能力.

lnx(x>0)i,

12.函数/(x)={G(X<0)与g(x)=［Zl|x+a|+l)的图象上存在关于y轴对称的

点，则实数。的取值范围是()

A.,3-21n2]B.[3-21n2,+oo)+ooD.

「00,一五]

【解析】首先转化题意，要使函数与g(x)=g(|x+H+l)的图象上存在关于y轴对称的点,

只需g(x)关于y轴的对称的函数/<x)=g(|x—4+1)图象与y=/(x)的图象有交点，从

而利用数形结合即可得到本题的答案.

X

要使函数与g(x)=g(|x+a|+l)的图象上存在关于y轴对称的点，只需g(x)关于y轴的

对称的函数/?(x)=g(|x—a|+1)图象与y=4}的图象有交点即可，即设

丁=工(％-。+1)与丁=111%相切时，切点为(/，山与)，则^-=，,％=2,又点(2,ln2)与

2Xn2

ln2—11

a,g］两点连线斜率

————=a=3-21n2,由图知a的取值范围是[3-21n2,+8)

时，函数/z(x)=g(|x—4+1)图象与y=/(x)的图象有交点，即a范围是［3—2山2,+8)

lnx（x>0）与g(x)=g(|x+a|+l)的图象上存在关于y轴对称的点,

时,函数〃x）={

_J_犬（九«0）

故选B.

【说明】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想.导数以及直线斜率的灵

活应用，属于难题

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).

1.在填空题中常考查的知识点

(1)基础题一一二项式定理，平面向量.

(2)中档题一一不等式，线性规划.

(3)爬坡题一一立体几何，推理与论证.

2.本押题卷严格按照新课标I要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，

体现考纲遍变化，注重双,基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部

分题目为原创试题.

13.在数列中，，，，则.

【解析】由等比数列定义可得数列的首项和公比,进一步得到

【解答】由题意得数列为公比为3的等比数列，因此从而正确答案为54.

14.已知向量。是单位向量，向量b=倒,2⑹若心(2。+》)，则。，匕的夹角为

【解析】由向量的垂直以及向量的数量积，体现条件,

解答

aJ_（2a+/?卜.a+Z?）=0,2a2+a-/?=02xl2+lxJ22cos（a力）=0

IO-rrO•rr

00$（〃,少=一5「・（〃力）=5，贝UQ,b的夹角为T.

15.二项式2人-多的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项

(yxJ

为—160,贝

【解析】由题设得2"=64,则九=6,进一步得到常数项的表达式，即

(-«)326-3Cg=-160,也即4=1=4=1.

【解答】由题设。可得2"=64,则〃=6；由于展开式中的通项公式是

1_.(二丫

(6r6r3r

(+1=禺26fm〃_ax2=(_t7)2-q%-,令3—r=0可得r=3,由题意

I)

36

(-fl)2-t6=-16,即/之=20,也即a3=ioa=i,应填答案1。

x>0

16.已知实数无,y满足｛y>Q,则叶生把的取值范围是（）

X+1

x

+2<i

34

23

A.-,UB=.[3,11]C.1,11D.[1,11]

【解析】根据线性约束条件得到可行域，而％+2-+3=]+2（1+1）.其中1±1表示两点

x+lx+lX+1

（羽y）与（-1,-1）所确定直线的斜率.

【解答】"+2丁=1+2/+1）.其中Z±L表示两点（%,日与（-1,-1）所确定直线的斜

X+1X+1X+1

-1-01-1-42+1

率，由图知，kmin=kPB-?max=5,所以的取值范围是

-1-34-1-0X+1

-,5,x+2y+3的取值范围是±11.选C.

4x+12

【说明】本题考查线性规划，以及直线的斜率的几何意义.

三、解答题(本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

1.在填空题中常考查的知识点

(1)基础题一一三角函数，二选一的选做题.

(2)中档题一一统计概率，立体几何

(3)爬坡题一一圆锥曲线，导数综合.

2.本押题卷严格按照新课标I要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，

体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分

题目为原创试题.

17.已知a=(2cosx,2sinx),b=函数/(x)=cos(a,b

(I)求函数/(x)零点;

(II)若ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且〃A)=1,求——的

取值范围.

【解析】(I)利用向量夹角公式，代入已知，化简后可得"x)=sin(2x-.令

JTbjTT

2x——=ku,由此解得％=---F、■(左eZ).(II)由(1)可得〃A)=sin2A—弓=1,

62

由此求得A=-7T.利用正弦定理，将—hC转化为

3a

(2n

sBD+n—飞_5nxx

-—1n13——2=2s|I，根据0<8<@可求得取值范围为

sAnAsinI)3

(1,21

【解答】(I)由条件可知：=2cosx.sin卜一看+2sinx-cosx--

I6

71兀..兀

=c2cosx-(si•nxcos----cosxsm—+2sinx•cosxcos—+sinxsm—

I66J66

=V3sinxcosx-cos2x+J^sinxcos%+sin2x

kn7i7

所以函数/⑺零点满足sin2X—7=0,得％=--------1-------,KGZ.

212

,「、,nb+csiaB+sinC

(II)由正弦定理得----=-----；------

asinA

由(I)〃x)=sin2x—看，而/⑷=2,得sinf2A-1^U1

A2A--=2k;i+-,keZ,又Ae(O,〃)，得A=乂

623

2万

•：A+B+C=7r：.C=——3代入上式化简得:

3

sinB+sin----B—sinB+—cos5V3sinB+—(

工--------口__LI----------2—=_I6j=2sing

asinAsinAsinA16

又在AABC中，有0<B<—，:.—<B-\—<—，则有一(sin^Bd—|<1

36662I6J

,b+c-

即:1<-----<2.

a

【说明】本题考查向量的运算，以及利用正弦定理解三角形.

18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面上底面ABCD,且AR4D

是边长为2的等边三角形，PC=g,M在PC上，且PA面

（1）求证：M是PC的中点；

AF

（2）在PA上是否存在点F，使二面角尸-皿-M为直角？若存在，求出一的

AP

值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）连AC交5D于E可得E是AC中点，再根据PA面AffiD可得R4M区进

而根据中位线定理可得结果；（2）取AD中点。，由（1）知。4,OE,OP两两垂直.以。为

原点，04,OE,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出面VBD的

一个法向量〃，用4表示面EBZ）的一个法向量加，由〃〃〃=。可得结果.

【解答】（1）证明：连AC交3。于E,连ME.ABCD是矩形，,七是AC中点.又

PA面AffiD,且"E是面PAC与面VDB的交线，PA是尸。的中点.

（2）取AD中点。，由（1）知QA,OE,OP两两垂直.以。为原点，QA,OE,OP所在

直线分别为x轴，

y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为

A（1,O,O）,B（1,3,O）,D（-1,O,O）,C（-1,3,O）,P（O,O,^）,M-j_g叵

设存在歹满足要求，且笠=丸，则由AF=2AP得：F（l-2,0,732）,面"BD的

一个法向量为〃=11,二,立］,面Eg。的一个法向量为m=（1,二,4二］,由

I33JI3V31J

42-23

n-m=0,得1H------1----------=0,解得2=—,。故存在尸，使二面角尸—_B£）—以为直

9328

,AF3

角,止匕n时---=—

AP8

【说明】本题考查立体几何中线面的综合关系，以及二面角的求法.

19.某品牌汽车的4s店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下

表.所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付

款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润

为3万元.

付款方式分3期分6期分9期分12期

频数2020ab

（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量

较大）中随机抽取3为顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；

（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3

人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量〃，求〃的分布列和数学期望

E⑺.

【解析】（1）依据题设运用二项分布公式求解；（2）借助题设求出随机变量的分布列，再依

据数学期望公式【解答】（1）由题意，a=100x0.4=40,Z?=100-20-20-40=20,

则表中分6期付款购车的顾客频率p=；,

所以P（㈤=（1_03+G"l_p）2==.

（2）按分层抽样的方式抽取的5人中，有1位分3期付款，有3位分6期或9期付

款，有1位分12期付款.

随机变量〃可能取的值是5,6,7,

则。（〃=5）=与工2p（n=巾心3

''c5310io

4

P（77=6）=1-P（77=5）-P（7-7）=-,

所以随机变量〃的分布列为

7567

P0.30.40.3

...E（〃）=5xQ3+6xO.4+7xQ3=6（万元）即为所求.

【说明】本题考查事件的独立性，抽样方法以及随机变量的分布列与期望.

20.已知耳，鸟是椭圆，+（=1的左、右焦点，。为坐标原点，点pj-在

椭圆上，线段P鸟与y轴的交点M满足PM+6M=0.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）圆。是以耳鸟为直径的圆，一直线/:y=^+机与圆。相切，并与椭圆

交于不同的两点A、B,当0A-03=4,且满足一2＜2＜二3时，求Q4B的面积S的

34

取值范围.

【解析】（I）先利用平面向量共线得到M是线段尸工的中点，再利用三角形的中位线和

待定系数法进行求解；（II）先利用直线与圆相切得到机2=太+1,再联立直线和椭圆的方

程，得到关于X的一元二次方程，再利用平面向量的数量积和判别式为正、三角形的面积公

式得到有关表达式，再利用函数的单调性进行求解.

【解答】（I）因为+所以M是线段尸工的中点，所以是「耳心的

中位线，又耳耳，所以工片8，所以c=l,又因为

C=1

111

——+----=111

"2b2OM±F遥,，PF1±PF2.:.{—+—1,

2人2I2a2b

a=bc

a2=b2+c2

无2

解得Y=2万=1,。2=1,所以椭圆的标准方程为一+/=1.

2'

I租I

（」1）因为直线/:y=H+相与。相切，所以J।=1,BPm-,2=左？+1

区2=1

联立{5+>一得（1+2/+4初a+27，—2=0.

y=kx+m

因为直线/与椭圆交于不同的两点A、B,

4km2m2-2

所以△>€）,再+w=—

1+242'X1%2-l+2k-

2-2k2

%,为=（储+加）•（也+加）=m

1十乙K

1+“22321+/<3

OAOB=xx+y-y=-----?=几，又因为一<X<一,所以一

i1212

1+2423431+2/—Z

解得一1〈左92Kl.

2

一卜一

S=--|AB|-I=—,J1+/X21—

2114+1

32u|二单调递增,

设"=左4十左2,则—VK42,S1

44u+

U

3<S<S（2）,即逅<S<2

所以S

J43

【说明】本题考查直线与椭圆的位置关系.

21.已知函数/(力=0飞加.

(1)求函数/(力的单调区间；

(2)如果对于任意的xe0,1,/(%)»履恒成立，求实数上的取值范围；

(3)设函数尸(x)=/(x)+e*cosx,xe-2°；乃,2°；7万,过点“［生作函

数-％)的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列｛%｝,求数列

｛七｝的所有项之和的值.

【解析】(1)求出导数，然后根据导数大于零和小于零求出对应的单调区间，(2)

构造辅助函数g(x)=/(x)-近，将问题转化为求此函数的最小值问题，然后根据k的取

值进行讨论，(3)把/(%)解析式代入尸(幻，求出其导数，设出切点，求出切点的坐标，写

出切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图像分析得到切点的横坐标的对称

性，最后结合给出的范围得到S的值.

【解析】⑴f'^x)-ex(sinx+cosx)=+

.-./(x)的增区间为24万一(,24万+,(左eZ)；减区间为

2^+—,2^+-^(keZ).

_44Jv7

⑵令g(x)=/(x)-Ax=exsiwc-kx

要使/(x)NAx恒成立，只需当工£0,^时，＞0

g'(x)二,(sinx+cosx)-k

令/z(x)=e”(sinx+cosx),贝！］//(%)=26&)8^20对］£0,^恒成立

在xe0,-y上是增函数，则〃(x)el,e2

①当y时，g[x)»O恒成立，g(x)在xe0,|上为增函数

「.g(x)min=1?(。)=0，「""1满足题意；

②当1＜左＜＞时，g'(x)=O在xe0,|上有实根》,/i(x)在xe0,|上是增函

数

则当无£[0,%)时,gr(x)＜0,z.g(%)vg⑼=0不符合题意；

③当左*5时，g'(X)＜0恒成立，g("在0,y上为减函数，

/.g(x)<g(0)=0不符合题意

,\k<l9艮1女£(-00,1].

(3)F(x)=/(%)+excosxex(sinx+cos%)

尸'(x)2/cosx

设切点坐标为(sin/+COSX。))，则切线斜率为9(%0)=2"8酱

从而切线方程为y-*(sinx0+cosx0)=2^cosx0(x-x0)

7T-1

,Xqx

—e(si叫+cos%)2e℃osx0F一一/otanx0=2x0

☆%=tan%,%=2，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点

的横坐标也关于x=/对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列上｝的

项也关于x=f成对出现’又在〕