高中数学必修二 第六章 平面向量及其应用 章末测试（提升）(含答案)

第六章平面向量及其应用章末测试（提升）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•陕西•绥德中学高一月考）下列命题正确的是（）

A.若a.B=a.c,则B=cB.若卜+q=,一.，则。.石=（）

C.若〃〃Z?,bile>则W/cD.若〃与坂是单位向量,则〃石=1

【答案】B

【解析】若3=6,则对任意的&入都有7很=73A错；

卜+4=卜-母,则忖+彳=|£-邛，即12+1=3一£力+22,7B=0，B正确;

若弓=6，则对任意的£,2,'allb>石〃"，但£//）不一定成立，C错；

£与5是单位向量，只有它们同向时,才有£是=1，否则£是<1，D错】

故选：B.

2.（2021•全国•高一课时练习）在AABC中，，在线段A8上，且AO=5,BO=3,若CB=2ScosN88=-。,

则下列说法错误的是（）

A.©ABC的面积为8B.AABC的周长为8+4石

3

C.AABC为钝角三角形D.sinNCOS=«

【答案】D

【解析】如图，在△88中，因CB=2C£>,cosNCO8=-半，由余弦定理得

BC2=BD2+CD2-2BDCDcosNCDB,

则有4c=9+CC>2+或C。，即CD。-侦CQ-3=0,而C£>>0,解得CD=石,

BC=275,

55

又由余弦定理得cosB=80+8c=CO=矩在"BC中，由余弦定理得：

2BDBC5

AC=VAB2+BC2-2AB-BCcosB=^82+(2>/5)2—282石.竽=2也，

显然sin8=g,AABC的面积5"阮.=；48・8。目118=8,A正确；

△/IBC的周长为AB+BC+AC=8+4后，B正确；

显然4?是最大边，cosNACB=%±空二竺1=一2<0,角N4cB为钝角，C正确；

2ACBC5

____________2

sinZCDB=V1-cos2ZCDB=,D不正确.

故选：D

—.2—­1—«

3.（2021•河北•张家口市第一中学高一月考）已知点尸是AABC所在平面内一点，^AP=-AB+-AC,

则AABP与AACP的面积之比是（）

A.3:1B.2:1C.1:3D.1:2

【答案】D

【解析】点P是dBC所在平面上一点，过户作PE//AC,Pf7/AB,如下图所示:

__2__1______

山丽=_丽+_/=荏+宿

33

故AE:EB=2:1=PC:PB,

所以“8P与△ACP的面积之比为BP:PC=1:2,

故选：D.

4.（2021•贵州•威宁民族中学高一月考）已知“ABC的三边上高的长度比分别为1：亚：2,若AABC的最短

边与最长边的长度和为6,则AABC面积为（）

A.2夜B.币C.>/6D.2

【答案】B

【解析】不妨设的三功。、b、。上对应的高的长度分别为f、"、2t,

a=2c

由三角形的面积公式可得;W==所以〃=岳=2°，所4

b=6c

所以c为最短边，。为最长边，所以a+c=3c=6,所以。=4,c=2,h=2y/2»

所以cosB="+'——乙=16+4^=3,则8为锐角，故sin5=Jl-cos?B=^-,

2ac2x4x244

所以SAnr=—«csinB=—x4x2x-^-=V7.

/224

故选：B.

5.（2021淅江省兰溪市第三中学高一月考）扇形。的半径为1,圆心角为q，P是AB上的动点，则而屈

的最小值为（）

A.—y2B.0C.—-D.

【答案】C

由题设，AP=OP-OA，BP=OP-OB，

二APBP^（OP-OA）（OP-OB）^OP-OP（OA+OB）+OAOB^

：.OAOB=~,渭=i，

.•.丽•丽=g—丽•（厉+丽），要使衣.丽的最小，即而，e+而同向共线.

又|函+函=|函=1,

二（丽•丽濡=，1=一；-

故选：C

4

6.（2021•江西•南昌县莲塘第一中学）已知在△4/C中，角4B,。的对边分别为。，b,。，若b+c=§a,

2

且cosB=§,则（）

A.A=2BB.A=BC.A+B=90。D.2A=B

【答案】A

2222

【解析】由题意得MCRa+c-ba+（c-b）（c+b）^+（c-b）x-a

laclaclac3

44

所以〃=§匕，乂b+c=]Ci,

7

所以c=

,2.2__2Z?2+—fe2~-h2

所以cosA=——5~~—=-----———

2"2b/b9,

9

cos2B=2cos2B-l=2xf--1=-->

UJ9

所以cosA=cos2B,因为AU。,/),A+3VTT,

所以A=23,故A正确，B、D错误;

sinA=^1-cos2A=-^^-,sinB=-71-cos2B=

93

24A/5622

所以cos(A+3)=cosAcosB-sinAsinB=x------------x-----=-------HO,

I39327

所以A+Bw90。，故C错误.

故选：A

7.（2021•黑龙江•哈师大附中高一期中）已知“8C中，A=],45=2,若满足上述条件的三角形有两个,

则8c的范围是（）

A.（73,2]B.（V3,2）C.（2,+oo）D.（6+8）

【答案】B

【解析】如图，点C在射线4G上移动，从点8向射线AG引垂线，垂足为〃，由题意可知石,

若三角形有两个，则点C应在点〃的两侧（如：C,,C2）,而4比2,所以宽1的范围是（6,2）.

故选:B.

8.（2021•江苏•泰州中学高一期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜

爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆加前轮），圆〃（后轮）的直径均为1,4ABE,/XBEC,

△反。均是边长为1的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，丽•丽的最大

值为（）

A.3B.3+gC.3+上D.373

【答案】B

【解析】以D为坐标原点，为》轴，过。做AO的垂线为N轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

uui/11、mm(3

所以AP=15Cosa+2,QsinaJ.BD=—

，股*3n八61.3上.。百/吟,

APBD=—x\—cosa+2----x—sina=—cosa----sina+3=——cosa+—+3.

2(2J224426J

所以福•丽的最大值为3+3

2

故选:B.

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•江苏•滨海县八滩中学高一期中）在AABC,下列说法正确的是（）

A.若acosA=bcos8,则为等腰三角形

B.若a=40/=20,B=25。，则AABC必有两解

C.若A/WC是锐角三角形，则sinA>cos8

1).若cos2A+cos2B-8S2c<1,则AABC为锐角三角形

【答案】BC

【解析】对于A,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,.•.sin2A=sin2B,二人二台或24+28=180°即

4+8=90,为等腰或直角三角形，故A错误；

对于B,asinB=40sin25°<40sin300=4()x1=20,即“sin8cbea,.♦.△ABC必有两解，故B正确；

对于C,QVABC是锐角三角形，.[A+B〉],即W>A>g-8>0,由正弦函数性质结合诱导公式得

222

sin^>sin^y-sj=cosB,故C正确；

对于D,利用二倍角的余弦公式知l-2sin2A+l-2sin2g-l+2sin2c<1，BPsin2A+sin2B-sin2C>0,即

a2+b2-c2>0,.*.cosOO,即C为锐角，不能说明“ABC为锐角三角形，故D错误.

故选：BC

10.(2021•重庆南开中学高一期中)已知AABC面积为12,BC=6,则下列说法正确的是()

A.若cos5=拽，WhinA=fB.sinA的最大值为现

5513

C.5c+9b的值可以为9:D.1c+吆2b的值可以为：9

bc2bc2

【答案】AD

【解析】设4B,C所对的边为。也c,因为AABC面积为12,故gacsin8=12,

故acsinB=24.

对于A,若cosB=空,结合5为三角形内角可得sin8=好，故祀=246.

55

2/s

因为a=6,故c=4石，故/=36+80-2x246x-^=20,故6=26.

62右26.

由正弦定理可得sinAsinB石»故sinA=g,故A正确.

-5~

对于B,由余弦定理可得从+C2—»08SA=36,

所以。2+C2=2)CCOSA+36>2bc即182cosA)，当且仅当b=c时等号成立.

12424A3

而不反sinA=12,故A=—故18N—r(1-cosA),整理得到tan彳工二，

2sinAsinA24

cA

AA2tan不2

「sinA=2sin—cos—=---------J

而22i+ta/A1A

1+tan-

2A

tan—

2

因为。<，吗今故或+叫的故s"的最大值为青

当且仅当匕=c=5时等号成立，故B错误.

3

—besinA-2bccosA

对于C'£+&=*36-2/?ccos/l2

bcbe

.3

—+—=—sinA+2cosA,而一sinA+2cosAW

bc22

cb5

故W+L故c错误.

对于D,若Jc+刍2b=：9,则可得cq=4或c：=1

bc2bb2

c=4h

b2sinA=6

若：=4,则AsinA=24，消元后得到:

bi,17Z?2-8Z?2cosA=36

h~+c~-2〃ccosA=36

sinA

所以—7=>整理得到6sinA+88sA=17,

17—8cosA6

但6sinA+8cosA<10,故矛盾即，=4不成立.

b

h=2c

c2sinA=12

若昌，则<feesinA=24，消元后得到：

5c2-4c2cosA=36

h2+c2-2/?ccosA=36

win/Ai

所以u*W，整理得到3sinA+4cosA=5，

5-4cosA3

34L

结合sin?A+cos2A=1可得sinA=g,cosA=g,此时c=2j5,8=4j5,

故D正确.

故选：AD.

11.（2021•山东日照•高一期末）下列结论正确的是（）

A.在“LBC中,若A>5,则sinA>sinB

B.在锐角三角形ABC中，不等式一/>0恒成立

C.在AABC中，若acos3-6cosA=c,则AABC是直角三角形

D.在中，若6=3,A=60。，三角形面积S=3百，则三角形的外接圆半径为巫

3

【答案】ABC

【解析】对于A,在中，由A>B=a>6,利用正弦定理得2RsinA>2Rsin8nsinA>sin8,故A

正确.

■rr人2Ir2_2

对于B,由锐角三角形知0<A<7，则COSA=一。>0,..b2+c2-a2>0，故B正确.

22bc

对于C,由acos8-AcosA=c,利用正弦定理得sinAcos3-sinBcosA=sinC,即sin（A+8）=sin（A-B）,

故A+B+A-B=^,即A=],则AA8C是直角三角形，故C正确.

对于D,S=-bcsinA=-x3xcx—=3y/3,解得c=4,利用余弦定理知

222

a2=b2+c2-2bccosA=9+\6-2x3x4x-=13,所以”=内，又因为3^-=万、2=3回=2H，

2sin60733

R='鱼,故D错误.

3

故选：ABC

12.（2021•浙江杭州•高一期中）任意两个非零向量和正，九定义：比③后=”,若平面向量1五满

n-n

足|年2向>0,M与5的夹角M，且万丽和B⑥万都在集合，〃“}中，则1③5的值可能为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】CD

【解析】首先观察集合Cl“eZ}={…,7厂321'一1『，1'153彳『“1卜从而分析万皿和居”的范围如下：

jJ*-[cos。，且|为之2访|>0,

因为ee（o,q）,：.-<cos^<l,而5(8)日=匕g

2aa

b1

可得o<一cose<——,

a2

_flVh111B"h[

又5③M£{~7I九wZ}中，:.—cos8=—,从而一=

4a一4a4cos。

一b万

2丽=B=T-C。"又"。"<1,所以“丽=4cV且述也在集合中〃Z}

中，

故有a®b=2或3.

故选：CD.

三、填空题（每题5分，共20分）

13.（2021•内蒙古包头•高一期末）在锐角三角形A8C中，内角A8,C的对边分别为a,6,c.若第sinA=6,

则cosA+cos3+cosC的取值范围是

(6+13

【答案】El

【解析】：2/?sinA=>/3a,

由正弦定理可得2sinBsinA=>/5sinA,

又“IBC为锐角三角形，・•・sinAwO

sinB=正~,又6为锐角，

2

・・.8=工

3

/.cosA+cosB+cosC=cosA+COSy+cos(夸-A)

cosA+cosB+cosC=cos/A+--—cosA+sinA

222

j]

•*.cosA+cosB+cosC=—cosA+sin；4+—

222

7T1

/.cosA+cosB+cosC=sin(A+—)+一,

62

TTTTTT7T

又为锐角三角形，B=0<A<,且A+g>],

71.71..717124

・・-<A<—,故一<A4+一<—,

62363

—<sin(A+—)<1

26

.6+1

.・--------<cosAA+cosBD+cosC<—,

22

A/3+13

/.cosA+cosB+cosC的取值范围是

2,2

故答案为:

14.（2021•河北•石家庄市华西高级中学高一月考）如图，在平面四边形A5CO中,

AB±BC,AD±CD,ABAD=120°,AB=A。=1.若点E为边CD上的动点，则丽.丽的最小值为

A

【答案】221

1O

【解析】延长。,区4交于点“，因为A3_L3cAO，C2/ZMO=120。，所以288=60°,NDHA=3（f,

在RtAAD"中，NDH4=30",AD=\,所以AH=2,DH=6,

在RtZ\8C，中，NC〃B=30°,BH=3,所以CH=2区BC=5

所以QC=BC=5不妨设丽=4反（04241）,则麻卜四,且丽与丽的夹角为弓，刀与通的

夹角为9，

贝IJ丽.丽=（方-码•（而+丽+碉

=DAED+DADA+DAAB-DEED-DEDA-DEAB

=0+W1+|网网cos生+3万_0-|网网cos看

=1+-+322-0->/32X—=322--2+-.

2222

所以J时，丽.丽取最小值3、工|二，』+2=马

4⑷24216

Et

H

21

故答案为：—.

Io

15.（2021•安徽•合肥艺术中学高一月考）aABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知

6tsinBcosC+csinBcosA=——b,b=6，a>b,则2a+。的最大值为.

2

【答案】2万

/o

【解析1由题得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=——sinB,

2

因为sinBwO,

6

所以sinAcosC+sinCcosA=2一

立

所以sin(A+C)=sinB=2

7T

因为a>b,所以=

由正弦定理得求！=£=U?=2,，"=2sinA,c=2sinC

T

所以24+c=4sinA+2sinC=4sin4+2sin(4+巴)=5sinA+>]3cosA

3

=2A/7sin(A+0),

所以2o+c的最大值为2万，此时sin（A+e）=l.

故答案为：2不

16.（2021•广东•深圳市龙岗区布吉中学高一期中）已知的内角4B,。的对边分别为a,b,c.角

6为钝角.设△/18C的面积为S,若4bs=a伊则sin/+sinC的最大值是.

【答案】J9

O

222

【解析】由题设，S=；〃csin8,l/llj2abcsinB=a(b+c-a)f

方2।(.2_/n

・・・sin8=勺上——=cosA=sin(--A),又3为钝角即A为锐角，

2bc2

TTTT

：.B+--A^7T,即8=2+A,又C=/r-(4+8),

22

冗汽

cosB=cos(—+A)=-sinA且sin8=sin(—+A)=cosA,

22

而sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA(1+cosB)4-cosAsinB=sin2B-cos2B-cosB

19

=l-cosB-2cos72B=-2(cosB+-)72+-,

1,9

当cos8=-：时，sinA+sinC的最大值为三.

48

9

故答案为：—

O

四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)

17.(2021逢国商一课时练习)如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知乙4BC=45,NBC£>=60,

⑴试用：工表示向量

⑵若卜卜1,求AAC、

【答案】⑴筋=>石。CD=a+^-l)b-,(2)6+1.

【解析】(1)因为6工,启1,所以&=矗-/工分，

由题意可知，AC//BD,BD=^BC=y/3AC,

所以8力=6。则A3==，

cb=AD-AC=a+(43-\)b

⑵因为卜1=1,所以"=&,a-^=|a|■|/>|cos=\/2x1x=1

所以低.cb=：a+(V3-l)^j=p|+(括-1)17=2+6-1=1+6

18.(2021•湖北•大冶市第一中学高一月考)在锐角AMC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已

知a=且cosC+(cosB-#sin8)cosA=0.

(1)求角［的大小；

(2)若方=26，求AABC的面积；

(3)求处+c的取值范围.

【答案】(1)出3+6；闭(8,4万］

【解析】(1)VcosC+(cosb-VSsinfijcosA=0,

/.-cos(A+8)+cosBcosA-V3sinBcosA=0,

-cosAcosB+sirvAsinB+cosBcosA—V3sinBcosA=0,

sinAsinB-V3sinBcosA=0,

VsinB>0,

sinA=6cosA，

又cosAw0,

tanA=5/3,

71

Q0</4<p

万

AA=一；

3

(2)\*a2=b2+c2-2Z?ccosA,

12=8+/-2x2缶xL

2

C=5/2+y/6，

•・•0q^ABC-——2hcsinA=3+>j3

a_2A/3_

(3)由正弦定理可得：而二—T=

sin—

3

2b+c=8sinB+4sinC=8sinB+4sin=1OsinB+2V3cosB

=4日sin（B+6）,

其中tan。=sin6=^^,cosO=»。为锐角，

51414

TVTT

因为AABC为锐角三角形，则

62

从而e+^<8+e<e+],得而仁+^卜M如。）"

sinf—4-^^=sin—cos^+cos—sin^=-^—

<6J667

所以乎<sin（B+J）41,8<4x/7sin（B+^）<4>/7,

所以8<26+c44"，从而4+c的取值范围为（8,4近]

19.（2021•山东邹城•高一期中）如图所示，在四边形ABCD中，Z.BAC=^,BC=\,AB+AC=2+^,

6

AB<AC,A8//CD,点E为四边形A5CD的外接圆劣弧CO（不含端点C,。）上一动点.

（I）判断“ABC的形状，并证明；

（II）若恁=工砺+），屈（x,yeR）,设ND4E=〃，y=/（«）,求函数的最小值.

2

【答案】（I）AABC为直角三角形，证明见解析；（ll）y.

【解析】（I）证明：在AABC中，

由余弦定理知：CB?=48?+AC?-24C-cosNC4B,

二1=（AB+AC『-（2+@AC.A8,

又因为A8+AC=2+G，所以AC-A8=26

所以A3,AC分别为方程丁-（2+6卜+26=0的两根，

因为AB<AC,所以=AC=2,

所以AC2=A32+8C2,所以ABJ_8C,即AA8C为直角三角形;

(H)解：如图,

因为A3_LBC,

所以AC是四边形A8CO的外接圆的直径，AD1DC,

TT

所以四边形ABCD为矩形，连接OE,ZAED=ZACD=4,

6

设4E交。。于尸，作CG平行于A厂且交A8于G,

则四边形AGC尸为平行四边形，所以衣=而+标,

又因为AC=xA8+yAE(x,yeR),

Ap

由平面向量基本定理知：荏=)，殖所以，=元

在AWE中，因为乙4ED=f,ZDAE=a,

6

乃

所以44。《=式5-。,

6

AEAD

由正弦定理知:

sin/ADEsinZAED

5711

所以AE=2sin~6~ar

AHi

在中，AF=-------=--------

cosacosa

________]

f(a)=y=—

所以I)AE

2cosa-sin|--a

I6

2

12

l+2sin(2a+奈ae

cos2a+>/3sinacosa14-cos2a+\f3sin2a

因为所以2a+*7te7157T

666

(l+2sin(2a+?

/.sin2a+?e2J,

所以，当a=g时.，f(a)取最小值，最小值为!■.

o3

20.（2021•吉林•延边二中高一月考）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受

到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一

处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中

国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，

如图所示，其中/APB=12O。，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界3、%的距离分

别为^S=4m,RT=6m,（m为长度单位）.陈某准备过点R修建一条长椅MN（点加，N分别落在R4,PB

（1）求点S到点T的距离：

（2）求点尸到点R的距离;

（3）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形尸区域面积最小？并求出面积的最小值.

【答案】⑴2五；⑵生巨；⑶PM=8b，32石.

3

【解析】（1）连接ST、PR，

在ARST中，ZSRT=6O°,

由余弦定理可得：ST2=42+62-2X4X6XCOS60°=28):.ST=2币.

⑵在ARS7中，由余弦定理可得，cosNSTR=5尸+炉—S-=迈

2STRT7

在APST中，sinZPTS=cosZSTR=,

7

SPSTSTsinZPTS8百

由正弦定理可得:,解得:SP=

sinZPTS-sinl200sin120°

45/21

在直角△SPR41,

1/o

⑶义“产•PN.sin120。=号PM.PN,

S&PMN=S^PRM+S-2x4+2x6-2PA.

—PMPN=2PM+3PN>2j6PM•PN.

4

:.PMPNN3,当且仅当时，等号成立，

因此，S^PMN=^-PM-PN>32^/3.

21.(2021•江苏江宁•高一期中)已知函数〃x)=2cosxsin卜+看).

JTJT

⑴求“X)的最小正周期及“X)在区间-7］上的最大值

A3

(2)在锐角AMC中，Xy)=p且乎G，求出。取值范围.

【答案】(1)最小正周期为兀，最大值|;(2)(3,26工

+COSA

【解析】⑴