高中数学必修3课后限时练习21　几何概型

高中数学必修3课后限时练习21几何概型

一、选择题

1.如下四个游戏盘（各正方形边长和圆的直径都是单位1）,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小

明希望中奖，则应选择的游戏盘是（）

ABCD

答案：A

3

解析:P（A）=g,

21

尸⑻飞，

4兀

P（O=—=1-不

尸（。）=±

则P（4）最大，故选A.

2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此后荻/刻小鸡正在正

方形的内切圆中的概率是（）匿E鎏割

答案：B

解析：设事件A=｛小鸡正在正方形的内切圆中｝,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=7t/?2（2R为

D2

正方形的边长），全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P（A）=^而=£,

7T

即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为*

3.在正方体ABC。-4SGD1内随机取点则该点落在三棱锥A—ABC内的概率是（）

答案：B

解析：体积型几何概型问题.

VA\-ABC1

P=VABCD-AxB\C\D\=6,

4.如图，在一个边长为〃、伙a＞》＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、a下底边分别

3

为f与宏高为尻向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为（）

11

A.B.

124

57

C.D.

12n

答案：C

解析：S扼形=〃仇

S林产=隰+%}=遍.

故所投的点落在梯形内部的概率为

S梯形12助5

P=--=—

-S矩形ab-12-

5.在区间［0,1］内任取两个数，则这两个数的平方和也在。1］内的概率是（

71

4

71

答案：A

解析：设在［0,1］内取出的数为a,b,若析+贬也在［0,1］内,则有OWH+^Wl.

如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足层乃+b2在［0,1］内

1、那兀

的点在w单位圆内（如阴影部分所示），故所求概率为1=加

6.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过一条宽为xm的河流,他不小心把一

件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率―为考24,

则河宽为（）

A.16mB.20m

C.8mD.10m

答案：B

24

解析：物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件.找到的概率为带，即

掉到河里的概率为生,则河流的宽度占总距离的表，所以河宽为500X==20（m）.

二、填空题

7.利用计算机产生。〜1之间的均匀随机数小则事件“3“一1<0”发生的概率为.

答案：|

解析：由题意，得所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a—1<0”发生的概率为

8.一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的

距离均超过1的概率为.

Bib5

答案：5

解析：如图所示，△A8C中，AB=3,AC=4,BC=5,

则△ABC的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A,则

DE+FG+MN3+2+11

°⑷=BC+CA+4B=-12-=2'

9.在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图.

在球内任取一点P,则点P落在剩余几何体上的概率为.

套案.星-

解析：由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R=5,圆柱底面半径厂=4,高〃=6,

4500TT~

故球体积丫=1兀我3=不一，圆柱体积V|=7tr-/z=967t,

500兀“

3一96兀53

所求概率P=-5007t—=五亍

~3~

三、解答题

10.一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两

灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯.

解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型.

亮红灯的时间302

()0=全部时间=30+40+5=5；

。亮黄灯的时间_5_1

⑵？=全部时间=行=正；

不是红灯亮的时间黄灯或绿灯亮的时间

(3”一全部时间一全部时间

_45_3

=行=亍

11.已知正方体ABC。-A/iG。的棱长为1,在正方体内随机取点求使四棱锥M—A8C。的体

积小于焉的概率.

解析：如图，正方体ABC£>—AJBIGOI,设M—A8CZ)的高为

则]XS旧边戏ABCD义hq,

又S四边形A6C£)=1,

1

]2y正z方体

则忌,即点M在正方体的下半部分.故所求概率P=~-=

12.(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于

长度超过该圆内接正三角形的边长小的概率是多少？

(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长小的概率是

多少？

(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长小的概率是多少？

解析：(1)设事件A="弦长超过小”，弦长只与它跟圆心的距离有关，

•.•弦垂直于直径，当且仅当它与圆心的距离小于;时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)=；.

(2)设事件B=