高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (三)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(3)

1.如图，在四棱锥P-ABCD^,PAL平面ABCD,AD//BC,AD1CD,h.AD=CD=y[2,BC=2vL

PA=1.

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段尸。上，是否存在一点M,使得二面角M—AC-D的大小为45。，如果存在，求与平

面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

2.已知：如图，正方体4BCD-4&GD1中，E为AB的中点，尸为4〃的中点,

求证：(1)E、C、。1、F四点共面;

(2)CE、/F、D4三线共点.

3.已知如图，在直三棱柱中，AAr=AC,且4B14C,M是CQ的中点，N是8c的

中点，P是A/1的中点.

(1)求证：NP〃平面ACC［公；

(2)证明：PN1AM.

4,已知四棱柱力BCD=4B'C'D'中，底面ABC。为菱形，AB=2,AA'=4,^BAD=60°,E为BC

中点，C'在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点.

(1)求证：BDA.A'H；

(2)求二面角。'-BB'-C的正弦值.

5.如图所示，在直三棱柱SBC—4B1G中，底面是等腰直角三角形，44c8=90。，C4=CB=

。6=2.点。，劣分别是棱AC,4G的中点.

(1)求证：。，B,Di四点共面；

(2)求直线BG与平面DBBiA所成角的大小.

a

B

DL

K\r\\

।।

।।

：c"

DZ---

6.如图，在平行六面体4BCD中,441=4山，AB=BC,Z.ABC=120°.

(1)证明：401841；

(2)若平面40。出，平面ABCD,且&。=AB,求直线与平面&B1CD所成角的正弦值.

D\G

A

B

7.如图，在三棱台4BC-DEF中，BC=2EF,G,H分别为AC,BC上的点，平面GHF〃平面ABED,

CFLBC,ABA.BC.

(1)证明：平面BCFE1平面EGA；

(2)若4B1CF.AB=BC=2CF=2,求二面角B-AD-C的大小.

8.如图在三棱锥A-BCD中，点E,F,M,N分别为相应棱的中点,

(1)求证：四边形EFMN为平行四边形；

(2)若4C=BD=2,EM=近,求异面直线4c与8。所成的夹角.

9.如下图，在四棱锥P-4BCC中，平面PAD_L平面A8C£>,ABHCD,CD].AD,国PAD是等腰直

角三角形，PD=PA=1.

p

(I)证明：PD1PB-,

(n)若P8与平面PA。所成角的大小为60。，CD=2AB,求点C到平面P8Q的距离.

10.如图，在棱长为1的正方体4BC0-4B1C1D1中，点E是棱43上的动点.

(1)求证：O41EO1；

(2)若直线与平面CEDi所成角为45。，求器的值；

(3)写出点E到直线距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明).

11.在直角梯形4BC。中，AD//BC,AB=1,AD=V3,AB1BC,CD1BD,如图(1).把4ABD沿

BO翻折，使得平面A'BD1,严廊BCD,如图(2).

(I)求证：CD1A'B；

(n)求三棱锥4'一BDC的体积;

在线段上是否存在点使得若存在，请求出凳的值；若不存在，请说明

(HI)8cN,4NJ.BD?oC

理由.

12.如图，ABCD是平行四边形，已知4B=2BC=4,BD=2痘,BE=

CE,平面BCEJ■平面ABC。.

(I)证明：BD1CE；

(□)若BE=CE=V10，求平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角

的余弦值.

13.已知三棱柱4BC-&B1G的侧棱垂直于底面，ABAC=90°,AB=AAr2,AC=1.M,N分

别是41a,BC的中点.

(I)证明：ABLAC1；

(II)证明：MN〃平面4CC［公；

(HI)求二面角M-AN-B的余弦值.

B

14.如图，在棱长为2的正方体4BCD-48心。1中，E,F,G,P分别是C£>,CC「B】Ci的

中点，Q是线段AB上的一个动点，且AQ=；L4B(0W4W1).

(1)证明：PFu平面GEF;

(2)当二面角Q-EG-F的余弦值为一日时，求人

15.已知等腰梯形4DCE中，AD〃EJ,EC=24D=24E=4,=%B为EC的中点，如图1,

将三角形ABE沿AB折起到ABE'(E'6平面4BC0),如图2.

(1)点尸为线段4E'的中点，判断直线。F与平面BCE'的位置关系，并说明理由；

(2)当团BCE'的面积最大时，求DE'的长.

16.如图1,梯形A8C。中，AB//CD,过A,8分别作ZEICC,BF1CD,垂足分别为E、F.AB=

AE=2,CD=5,已知DE=1,将梯形ABC。沿AE,8F同侧折起，得空间几何体40E-8CF,

如图2.

D

D

(1)若4F18。，证明：DEI5!2®ABFE；

(2)若DE〃CF,CD=遮,线段AB上存在一点P,满足CP与平面AC£＞所成角的正弦值为嗝,

求AP的长.

17.如图所示，在正方体力BCD-aB1C1D1中，E,F分别是A8和441的中点.求证:

(1)E,C,以，F四点共面；

(2)CE,QF,D4三线共点.

18.已知在正方体aBCD-4B'C'D'中，M,N分别为CD,AO的中点.求证：四边形MN4C'是梯形.

19.如图，A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是ZMBC和△4CD的重心，已知BD=6.

A

(1)判断MN与BD的位置关系;

(2)求MN的长.

20.在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形,NABC=120°,

PA=PB,"为A3中点，设/为平面ABP与平面CDP的交线.

(1)判断直线/与平面48co的位置关系，并说明理由；

(2)求证：平面PCD，平面PMD；

(3)若平面2481平面4BCD,且二面角8-AP-。的余弦值为，，求四棱

锥P-ABCD的体积.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：•••四边形A5CD是直角梯形，AD=CD=2&,BC=4位,

•••AC=4,AB={(BC-AD)2+CD2=V8T8=4.

.•.△ABC是等腰直角三角形，即ABIAC,

•••PAJ"平面ABCD,ABu平面ABCD,

PA1AB,

AB_L平面PAC,又PCu平面PAC,

；.ABJ.PC；

(2)解：假设存在符合条件的点M,过点M作于N,则MN〃P4

MN1AC.

过点M作MG_L4C于G,连接NG,则ACJ•平面MNG,

ACING,即NMGN是二面角M-AC-。的平面角.

若4MGN=45。，则NG=MN,又AN=&NG=&MN,

:.MN=1,即M是线段尸。的中点，

••・存在点M使得二面角M-AC-。的大小为45。，

在三棱锥M-ABC中，

^M-ABC=1szi4BC,MN,

设点8到面M4c的距离为〃，

^B-MAC=三S/1MAC，江,

SAABC.MN=SAMAC-h,

Ah.=2^2>

RtABMN中,BM=V27,

.•.设与平面MAC所成的角为氏sind=A

BM=9

解析：本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角的计算，属于中档题.

(1)利用直角梯形的性质求出AB,AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB_L4C,由PA1平面A8C£>

得出力B_LPA,故A8_L平面PAC,于是4B1PC；

(2)假设存在点M,做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD的距离从而确定M的

位置.结合三棱锥体积公式的应用，得到与平面M4C所成的角的sin。=卷=¥.

2.答案:证明:(1)连接EF,AXB,DC

■-E,F分别是AB,44]的中点，

EF//ArB,AXB//DXC,

EF"D\C,

.•.由两条平行线确定一个平面，得到E,C,5，F四点共面；

(2)分别延长。iF,DA,交于点P,如下图所示，

VPeDA,DAu面ABCD,

P6面ABCD.

•••F是明的中点，FA"D[D,

・•・力是OP的中点，

连接CP,

■：AB//DC,

-CPnAB=E,

：・CE,D/,DA三线共点于P.

解析：本题考查四点共面和三点共线的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理和三角

形中位线定理的合理运用.

(1)由三角形中位线定理和平行公式，得到EF〃DiC,再由两条平行线确定一个平面，得到E,C,D],

F四点共面.

(2)分别延长。iF,DA,交于点P,由DAcffiABCD,知P€面4BCD.再由三角形中位线定

理证明CE,DiF,D4三线共点于P.

3.答案：证明：(1)取AC中点为Q,连接为Q,NQ,

在△4BC中，NQ&三AB，又

所以NQ=4P，

即四边形力1PNQ是平行四边形，

故NP〃4Q,

又NPC平面ACCiAi，4iQu平面4CC1A1，

所以NP〃平面4CG4

(2)在正方形4CC1&中，RtAAArQ三RtACAM,

所以4/VMC与乙4iQ4互余，

故AM_L&Q.

由(1)知,PN"A[Q,

所以PNJ.4M.

解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审

题.

(1)要证NP〃平面4CCp4i，利用直线与平面平行的判定，只需要在已知平面内找出一条直线与己知

直线平行即可；

(2)要证PNJ.4M,只需证明4MJL41Q,再利用一条直线垂直于两平行线中的一条，一定垂直于另

外一条.

4.答案：(1)证明：四棱柱ABCD—4夕C'。'中，底面48CD为菱形，

连结A'C'、B'D',则4C'_LB'D',BD//B'D',

vC'在平面ABC。上的投影”为直线AE与DC的交点，C'H_L平面ABC。，

•••平面4'B'C'D'〃平面ABCD,.-.C'H1平面A'B'C'D',

•••B'。'u平面AB'C'。'，B'。'JLC'H,

•••4C'nC'H=C',B'D'J"平面A'C'H,80"L平面4'C'H,

•.•47/<=平面4。〃，；.8£>1477.

(2)解：连结CD',则四边形(7"(7'»是平行四边形，：.8'_1_平面43。。,

以C为原点，在平面ABC。中过C作CD的垂线为x轴，CZ)为y轴，CD'为z轴，建立空间直角坐

标系,

则。'(0,0,2遮)，B(V3,-l,0),B'(用,2V3),C(0,0,0),

BB1=(0,2，2遮)，~BC=(-73,1-0),~BD'=(-V3,l>2遮),

设平面BB'D'的法向量元=(x,y,z),

则完.登=2y+25/3z=0,

取y=V3>得元=(―1,百,-1).

(.n-BD=—\/3x+y+2V3z=0,

设平面BCB'的法向量记=(a力，c),

则(记•BC=-y/3a+6=0,

1取a=1,得沆=(1,V5,-1).

'l沆-BB=2b+2V3c=0,

设二面角D'-BB'-C的平面角为0,则cosJ=黯=熹=|・

••・二面角D'-BB'-C的正弦值sin。=Jl-g)2=|

解析：本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和利用空间向量求面面的夹角，是中档题.

(1)先证明B'D'L平面4C'H,则BD1平面4C'”，由线面垂直的性质可得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，得出平面BB'。'的法向量和平面8CB'的法向量，由空间向量求解即可.

5.答案:解：(1)证明：•.•点。,劣分别是棱AC,4Ci的中点,；.DDJ/CC],「一

D,B、八5四点共面.：：7飞、

(2)作691.当名，垂足为F,:j''J

•••BB】1平面AiBC，CZFu平面A/iG，

直线BB1，直线GF,

vQFL直线BiA且BB1与B/i相交于Br

.••直线QF，平面

•••4GBF即为直线BC】与平面DBB15所成的角.

在直角ZiCiBF中，BG=2五,GF=竿，sinzCjBF=

直线BC】与平面。BB1。1所成的角为arcsin噜.

解析：(1)证明DDJ/BBi，即可证明。、B、Bi、Di四点共面.

(2)作GF_LBiDi，垂足为尸，说明NGBF即为直线BG与平面DBBiDi所成的角，再求出直线BQ与

平面所成角的大小.

本题考查直线与平面所成角的求法，平面的基本性质，是中档题.

6.答案：证明：（1）取A。中点0,连接05,0A19BD,

vAAX=ArD,:.AD10Alf

又/ABC=120°,ABAD6（），

又AD=AB=BD,

•••△4BD是等边三角形，。为AD的中点，

AD10B,

■■■0ArCtOB=0,OA|.OBU平面,

•••AD1平面&0B,

vAXBu平面A】OB,

AD1BAr.

解：（2）•••平面，平面ABCD,

平面ADCiAi。平面力BCD=AD,

又Ai。1AD,.410C平面,

4。1平面ABCD,OBC平面

&。10B,

0A,。4、08两两垂直，

以。为坐标原点，分别以OA、0B、。&所在射线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系。-孙z,

Z]2G

设4B=AD=AXD=2,

则4(1,0,0),4(0,0,6),

B(0,V3,0),D(-l,0,0),

则西=(1,0,旧)，DC=AB=(-l,V3,0).

西=(0,-V3,V3)>

设平面为BiCD的法向量记=(x,y,z),

则(元■DC=—x+V3y=0

In-DAt=x+V3z=0'

令x=V5，则y=l,z=-1,

则元=(6,1,一1),

设直线与平面&B1CD所成角为。，

则sin9=|cos(元，西>|=|^j^|

_|一任何_屈

\/5-yf65

・•・直线与平面所成角的正弦值为唱.

解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

(1)取AO中点。，连接。8,OA1,BD,推导出40J.04,△ABD是等边三角形，从而4D10B,

进而4。，平面&OB,由此能证明401ArB；

(2)推导出。4、。&、08两两垂直，以。为坐标原点，分别以。4、OB、。41所在射线为x、y、z

轴建立空间直角坐标系。-xyz,利用向量法能求出直线与平面4aCD所成角的正弦值.

7.答案：(1)证明：因为平面GHF〃平面4BEZ),平面BCFEn平面ABED=BE,

平面BCFEC平面GH尸=HF,所以BE〃HF.

因为BC〃EF,所以四边形尸E为平行四边形，所以BH=EF,

因为8c=2EF,所以BC=2BH,，为BC的中点.

同理G为AC的中点，所以因为ABLBC，所以

又HC//EF旦HC=EF,所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF〃HE,

又。F_LBC'，所以HE1BC.

又HE,GHu平面EGH,HECGH=H,所以BCJ.平面EG”，

又BCu平面BCFE,所以平面BC'FE±平面EGH

(2)解：；〃E，〃3，HG±HB，AB±CF，CF//HE,GH//AB,

•••HE1HG.

分别以”G,HB,所在的直线为无轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H-tyz,

则4(2,1,0),B(0,l,0),£>(1,0,1).C(0,-l,0).

设平面AB。的一个法向量为沅=(Xi，yi，z。，因为荏=(一2,0,0)，丽=(1,一1,1)

则(记-AB=-2%1=0

(布.BD=%1-%+Z]=0取为=1，得沅=(0,1,1)•

设平面ADC的一个法向量为元=(%2，%*2)，因为而=(一1,一1,1)，AC=(-2,-2,0)

则，诂•亚=一&-+名2=0

取%2=1，得元=(1,-1,0).

(n•AC=-2X2—2y2=0

所以|cos你，五)|=I品I=；,则二面角B—AD—C的大小为或

1刑1川23

解析：本题考查了两直线之间的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定，

平面向量的法向量，二面角等有关知识.

(1)根据平面GHF〃平面ABED,平面BCFED平面力BED=BE,

平面BCFEn平面GHF=HF,得到BE//”F.然后判断出四边形B”/芭为平行四边形，四边形EFCH

是平行四边形，进而得到CF〃HE,再根据得到HE1BC,最后求证出平面EGH,

再结合BCu平面BCFE进行求解即可；

(2)分别以4G,HB,"E所在的直线为x轴，)，轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系//一孙z,

设平面A8。的一个法向量为访=Qi，yi，Zi),设平面ADC的一个法向量为元=。2，丫2以2)，分别求

出沆=(0,1,1).n=(1,-1,0),再求解二面角即可.

8.答案：(1)证明：•；E,F为棱AB,BC的中点，.•.EF4：AC，

又TM,N为棱AD,CD的中点，:MN

2

•••由平行公理得EF△MN，

四边形EFMN为平行四边形；

(2)解：由题意知，FM//BD,EF//AC,

二/EFM为异面直线AC与BD所成的角，

AC=BD=2,EM=V2,

又由尸M=：BD=1,EF=^AC=1,

•••在AEFM中，EF2+FM2=EM2,

.­•EFLFM,即NEF,U—90'，

••・异面直线AC与BO所成的夹角为sxr.

解析：本题考查平行公理与等角定理，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，考查逻辑

推理能力，属于基础题.

(1)由三角形中位线定理和平行公理可得；

(2)通过平移得ZEFM为异面直线AC与8。所成的角，利用解三角形可得.

9.答案：(1)因为。。14。，AB//CD,所以4B_LAD,

因为平面PAD_L平面ABC。，交线为A£),所以/BJL平面PAD,于是481PD.

在等腰直角三角形PA。中，PD=P4,所以PDJ.P4,

又因为所以PO_L平面PA8,所以POJ.PB.

(口)由(I)知481平面PAD,所以PB与平面R4O所成的角即乙4PB=60°,

结合已知可得4。=应，AB=V3，PB=2,CO=26，BD=后

可得团PBD是以BD为斜边的直角三角形.

设点C到平面PBD的距离为d,则％_PBO=|dxSBPBD=|dx1x1x2=^.

又因为Up-BCD=gX¥XS®BCD=1X¥X之X2V3XV2=^>

所以&=更，d=V3.

33

解析：本题考查空间线面关系证明，线面角的概念，距离计算.考查运算求解能力，考查函数与方

程思想，是中档题.

(1)先证4814。，然后可得A8J.PD.由等腰三角形的性质可得PO_LP4可得P。_LPB.

(U)由(I)知力Bl平面PA。，所以P8与平面PAO所成的角即乙4PB=60。，设点C到平面PBO的

距离为d，根据%_PBD=%_BCD，代入对数的数值，解方程可得答案.

10.答案：解：以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

0(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),^(0,0,1),&(1,0,1),设E(l,/w,0)(0<m<1).

(1)证明：西=(1,0，1),砒=(一1,一犯1)，

DAi•ED[=1x(-1)+0x(-TH)+1x1=0-

所以£Mi1ED「

(2)设平面CEA的法向量为u=(x»,z),则

(v,CDi=0,-T----»——>

―1而CD1=CE=(1,M—1,0)，

\V-CE=0,

所以蓝;3y=0,取z=L得丫=1，"If,

得u=(1—m,\,1),

因为直线与平面CEA所成角为45。,

所以sin45。=|cos(DA^v)

而DII。：1•训—史

f4西W-2，

所以后事=多

解得m=j所以E点为(1」,0),所以喂的值为"

2\2/AB2

(3)点E到直线AC距离的最大值为半，此时点E在4点处.

解析：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系以及直线与平面所成角以及点到直线的距离关系,

属于一般题.

(1)根据题中所给条件，结合线面垂直的判定，即可推出结果.

(2)根据题中所给条件，结合二面角的相关推论，即可推出结果.

(3)根据题中所给条件，结合点到直线的距离关系，即可推出结果.

11.答案：解：(I)•.•平面ABD_L平面BCD,平面A'BDn平面BCO=BD,CD1BD

：.CD1平面ABD.

XvABu平面4B0,CD1A'B.

(正如图⑴在也会⑷^中,BD=

y/AB2+AD2=2.

"ADIIBC,/.ADB=DBC=30°.

在Rt△BCC中，DC=BDtan300=早

二SABDC=邰。•DC=第

如图(2),在RtAA'B。中，过点4做AE18C于E,二4'E_L平面BCD.

AfBArD_V3

VA'E=BD~~2

1

A^Af-BDC=1•S&BDC,A，E=3•竽•当

3

(HI)在线段BC上存在点M使得AN18D,理由如下:

如图(2)在/?£△AE8中，BE=y/ArB2-A'E2=

BE1

BD4

过点E做EN〃DC交BC于点N,则器=器=；，

•••CD1BD,•••EN1BD,

乂A'E1BD,A'ECEN=E,A'E,EN均在平面4EN内

BD_L平面AEN,

又A'Nu平面4EN,A'N1BD.

•••在线段BC上存在点N,使得ANJ.BO,此时装=：.

BC4

解析：(I)通过已知条件证明CDJ■平面ABD,然后证明CDJ.4B.

(U)^Rt^ABD^,推出NADB=DBC=30°.求出SABDC，在中，过点&做A'E1BD于E,

说明A'E_L平面BCD.说明是几何体的高，即可求解.

(HI)在线段8c上存在点N,使得AN18D,过点E做EN〃DC交BC于点N,推出EN1BD,说明8D1

平面A'EN,4'N_LBD.即可证明在线段BC上存在点N,使得4'NJ.BD.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能

力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.

12.答案：证明：vAB=2BC=4,BD=2V3,

•••AB=4,BC=2,

则BD?+=AB2t

则△力DB是直角三角形，则贝

•••BE=CE,

•••取BC的中点0,

则E。1BC,

•••平面BCE1平面ABCD.

EO1平面ABCD,

BDu平面ABCD,

EO±BD,

vBCnE=。，

:.BD，平面BCE,

则8D1CE；

(n)若BE=CE=V10,

则E。=7BE2-BO2=V10-1=炳=3,

建立以。为坐标原点，OP,OB,OE分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

则E(0,0,3),D(2V3,1，0),A(2V3,3,0),

则方=(0,2,0),DE=(一26,-1,3)，

设平面ADE的法向量为记=(x,y,z),

则布•方=2y=0，m-DE=-2A/3X-y4-3z=0.

则y=0,-2V3x+3z=0,

令x=l,则2=也，即沅=(1,0,2)，

337

平面3CE的法向量五=(1,0,0),

__mn_1_3_\/33

则cos<m,n>==IXI吗2=序=京，

即平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值叵.

11

解析：（/）根据面面垂直的性质定理即可证明BD1CE-,

（U）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的余弦值.

本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综

合性较强，运算量较大.

13.答案：解法一：

（I）证明：因为CG1平面ABC,

所以AC是4cl在平面ABC内的射影，（2分）

由条件可知AB_LAC,

所以AB1力的.（4分）

（H）证明：设AC的中点为。，

连接ON,AXD.

因为D,N分别是AC,BC的中点，

所以QN平行等于g4B.

又41^=^4181，A]B、平行等于AB,

所以平行等于ON.

所以四边形&DNM是平行四边形.

所以4D〃MN.（7分）

因为&Du平面4CG4,MNu平面4CC1公,

所以MN〃平面4CG41.（9分）

（HI）如图，设AB的中点为H,连接

所以

因为BBi，底面ABC,

所以MH_L底面ABC.

在平面ABC内，过点，做HGLAN,垂足为G.

连接例G,则MG14V.

所以NMGH是二面角M-AN-B的平面角.（12分）

因为=BB]=2,

由△4GH-ABAC,得HG=总

所以MG=y/MH2+HG2=隼.

V5

所以coszMG”=世=—.

MG21

二面角M-AN-B的余弦值是耳.（14分）

解法二：

依条件可知AB,AC,A4i两两垂直.

如图，以点A为原点建立空间直角坐标系4-xyz.

根据条件容易求出如下各点坐标：

4(0,0,0),B(0,2,0),C(-l,0,0),4(0,0,2),B1(0,2,2),G(-l,0,2),M(0,l,2),/V(-|,l,0).

证明：(I)：因为四=(0,2,0)，AC^=(-1,0,2).

所以荏•宿=0x(-1)+2x0+0x2=0.(2分)

所以四_L宿.

即AB14G.(4分)

(H)证明：因为标=(一表0,—2),荏=(0,2,0)是平面4CG4的一个法向量，

且而•丽=一之x0+0x2-2x0=0,所以而1荏.(7分)

又MNC平面4CC1&,

所以MN〃平面4CC1七.(9分)

(IE)设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量，

因为前=(0,1,2)，丽=(一1,1,0),

由｛罪;得｛I；：；；：、°解得平面AMN的一个法向量兀=(4,2,-1).

由已知，平面ABC的一个法向量为m=(0,0,—1).(12分)

设二面角M-AN-B的大小为。，贝"cos。=铝=若；=券.

|n||m|V21X121

二面角M-AN-B的余弦值是等.(14分)

解析：要证明：只要证明垂直平面内的两条相交直线和即可证

(I)AB1ACltAB4CG/114c

明4B1平面4CC14,从而证明4814cl.

设的中点为。，连接。只要证明&即可证明〃平面。的

(H)4cN,ArD,D〃MN,MN44；

(IE)法一：作出二面角M-AN—B的平面角，通过解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值.

法二：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，求解二面角的余弦值.

本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的平行，二面角的知识，考查学生的空间想象能力，逻辑

思维能力，是中档题.

14.答案：答案：

(1)证明：如图，连接BiC,

在AGCB]中，P,F分别是aCi，QC的中点，所以尸尸是ACiCBi的中位线，则PF〃B]C.

在正方体ABC。一月$16。1中，DC"A、B\,G,E分别是0c的中点，

则EC〃Ga,EC=GBi，所以四边形GBiCE是平行四边形，则B]C〃GE,

所以PF〃GE,斫以PFu平面GEF.

(2)解：以Di为原点，建立如图所示空间直角坐标系，£(0,1,2),

F(0,2,1),G(2,l,0),GE=(-2,0,2).EF=(0,1,-1)-

因为4Q=448(01),所以Q(2,2；l,2),QE=(-2,1-2A,0).

设平面EFG的一个法向量为访=(%i，yi，Zi),

则(记三=0,即j-2xi+2zi=0,

'Im-EF=0,'—Zi=0,

令=1,则Z]=1,y=1,所以而=(1,1,1).

设平面QEG的一个法向量为元=(x2,y2,z2),

元•遗=0,即—2X+2Z=0,

则22

n•QE=0,-2%2+(1—2A)y2=

令%2=1—2九则句二1一2九y2=2,所以运=(1-2九2,1—2；1).

因为二面角Q—EG-尸的余弦值为一日,

所以的保，孙=篇=两黠身=早解得“=戏(舍去)，

所以，当二面角Q-EG—F的余弦值为一g时，2=1.

解析：解析：

本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量求面面的夹角，考查空间想象能力、

运算能力和推理论证能力，属于中档题.

(1)先证得四边形GB]CE是平行四边形，故得当C〃GE,PF//GE,故得证

(2)以劣为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得4的值

15.答案:

(1)解：直线。尸与平面BCE'相交，理由如下：

因为E',平面ABCD,

所以。C平面BCE'.

若DF〃平面BCE',设平面DCE'n平面BCE'=CM,则DF〃CM.

显然CM与CB不重合.

又因为AD〃BC,

所以平面ADE'平面BCE',矛盾.

所以直线。尸与平面BCE'相交.

(2)证明：取AB的中点0,连接E'O,BD,

由等腰梯形ADCE中，AD//EC,EC=2AD=2AE=4,NE；,

«)

知△力BE是等边三角形，四边形AOC8是菱形，且NC=60。，即△4BD和△BCD都是等边三角形.

可得：E'OIAB,DO1AB,E'。与。。相交于平面E'OD内，所以4B1平面E'OD,所以E'DIAB.又

AB//DC,所以OD1DC,

因为△BCE'的面积为-BC•sin/E'BC=2sin"'BC,

所以当△BCE'的面积最大时，/.E'BC=90°.

所以E'C=>JE'B2+BC2=2V2.

所以E'C=y/E'C2-DC2=2.

解析：解析：

本题考查直线与平面位置关系的判定，考查线面垂直的判定定理，考查三角形的面积公式及其应用，

属于基础题.

(1)直线力尸与平面BCE'相交，假设DF〃平面BCE',通过推出矛盾得到DF〃平面BCE'不成立，从而

证明得结论；

(2)取4B的中点0,连接E'O,B。，由等腰梯形AOCE中,AD〃EC,EC=2AD=2AE=4,NE；,

可得E'。14B,DOLAB,AB//DC,可得401平面E'。。，结合三角形的面积公式可得所以当△BCE'

的面积最大时，NE'BC=90。，由勾股定理得结果.

16.答案：(1)证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2,在图2中，AFA.BE,

由已知得AF1BD,BECBD=B,：.AF，平面BDE,

乂DEu平面BOE,.-.AF1.DE,

又4E1DE,AEQAF=A,

DE_L平面ABFE.

(2)解：在图2中，AE1DE,AE1EF,DE^EF=E,^AE1®DEFC,

在梯形DEFC中，过点。作DM〃EF交C尸于点连接CE,

由题意得DM=2,CM=1,由勾股定理可得。C1CF,

则NCDM=gCE=2,

o

过E作EG_LEF交。C于点G,可知GE,EA,EF两两垂直，

以E为坐标原点，以丽，EF，芯分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,l,V3),AC=(-2,1,73).AD=(-2,

设平面ACD的一个法向量为记=(%,y,z),

—2x+y+V3z=0

由｛。得

n-AC=1近八，取％=1得五=(L—1,8),

n-AD=0'—LX

——27vH—2z=0

设4P=m,则P(2,〃?，0),(0<m<2),得浮=(2,m-1,-V3)

>m

设CP与平面ACD所成的角为0,sin。=|coS(CP,n)|=有聂方=^==l-

2

・・・AP

3

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识.

(1)推导出4F1BE,AF1BD,从而4F_1_平面8DE,进而AFJL0E,再由4E_i.DE,能证明CE_1平

面ABFE.

(2)过点。作DM〃EF交C尸于点M,连接CE,过E作EG_LEF交力C于点G,以E为坐标原点，以

EA，EF，宙分别为无轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.

17.答案：证明：(1)如图，连结ERCD1，&B.

•••E,尸分别是AB,A①的中点，

EF“BA[.

又A\B"D\C,

EF//CD、,

：,E,C,Di，尸四点共面.

(2)vEFZ/CD1,EF<CDr,

二CE与AF必相交，

设交点为尸，如图所示.

则由PeCE,CEu平面ABCD,

得P6平面ABCD.

同理P€平面

又平面4BC0Cl平面