高中数学 空间几何体同步教学教案 新人教A版必修2

空间几何体的三视图和直观图及其表面积和体积（2010模拟题）

1.（2010届♦北京市朝阳区高三一模（理））一个空间四边形43co的四条边及对角线AC

的长均为血，二面角D-AC-3的余弦值为3,则下列论断正确的是

A）空间四边形A8CO的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3兀

B）空间四边形A8C0的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4兀

C）.空间四边形A8CD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3G兀

D）不存在这样的球使得空间四边形A8CO的四个顶点在此球面上答案：卜

2.（2010届•东北四校高三三模（理））已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，

其三视图如图，若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为正，则该几何体的体积为（）

2万4万A△

A.3B.3

C.24D.4万

答案：BO

3.（2010届•安徽省合肥高三四模（理））3.右图是某几何体的直观图，其三视图正确的

是（A）

□□口

正视同侧祝国正视国

□□

俯视同俯视国

..........

1B

□□□（□

正视国侧祝国正视国侧视国

4△

俯视国俯视图

C■D

4.（2010届•北京八中高三模拟（理））5.圆,+（>+1）2=3绕直线丘一>-1=°旋转

一周所得的几何体的体积为（C）

A.36乃B.12万c.4借口4万

5.（2010届•广东湛江市高三一模（文））•个空间几何体的三视图如F"其中主视图和

侧视图都是上底为2,下底为4,高为2拉的等腰梯形，俯视图是两个半径分别为1和2

的同心圆，那么这个几何体的侧面积是（C）

6.（2010届•成都石室中学高三二诊（理））在三棱锥A-BCO中，侧棱AB、AC、AD两

也也V6

两垂直，A4BC、A4c。、A4O8的面积分别为2、22,则三棱锥A-BCO的

外接球的体积为（A）

卜,瓜兀

BQ3瓜兀D4瓜兀

7.（2010届•大连市高三二模（理））如图1,一个空间几何体的主视图、左视图都是边长

为1且一个内角为60°的菱形，俯视图是圆，那么这个几何体的表面积为

nB.2%c.37D.47

8.（2010届•北京市朝阳区高三二模（理））（3）一个几何体的三视图如图所示，则此几

何体的体积是

侧视图

（第？题图）

（A）112（B）80（O72（D）64

答案：B

9.（2010届•安徽省安庆一中高三三模（理））3.一个几何体的三视图如图所示，则这个

几何体的体积等于（B）

10.（2010•安徽安庆高三二模（文））4.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长

为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（B）

x/3

D.3

11.（2010届•安徽省安庆一中高三三模（理））6.已知正方形A8CD的边长为6,空间

有一点M（不在平面ABCO内）满足明川+明卸=10,则三棱锥A—的体积的最

大值是()

A.48B.36圈30D,24

12.（2010届•安徽省安庆一中高三三模（文））7、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底

边长均为2,且侧棱A4_L面4&G，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为

A.4|.273C.272D.也

13.（2010届•北京市朝阳区高三一模（理））（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如

图所示，则其俯视图不可能为

①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是

（A）①②（B）②③

（C）③④（D）①④

答案：B

14.（2010届•安徽萧县中学高三三模（理））15.已知正四棱柱ABCD—ABCD的底面边

长AB=6,侧棱长A41=2j7,它的外接球的球心为0,点E是AB的中点，点P是球0的球

面上任意一点，有以下判断：

（1）PE长的最大值是9；

（2）P到平面EBC的距离最大值是4+J7:（3）存在过点E的平面截球0的截面面积是3乃：

（4）三棱锥P—AEG体积的最大值是20.

其中正确判断的序号是.

答案:（1）（2）（4）

15.（2010届•广东省佛山市高三--模（理））13.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三

棱锥”，三棱锥.的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜

面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.

己知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直

角三棱锥具有的性质：.

答案：直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一.

16.（2010届•杭州五中高三下5月模拟（理））13.下图所示为一几何体的三视图，那么

371

这个几何体的体积为―.

—28

17.（2010届•江西省吉安市高三二模（理））13.如图所示的几何体中，底面ABCD是矩

形，AB=9,BC=6,EF〃平面ABCD,EF=3,AADE和△BCF都是正三角形,则几何体EFABCD

的体积为6372o

18.（2010届•大连市高三二模（理））14.已知正四棱锥S—ABCD,底面上的四个顶点A、

B、C、I）在球心为0的半球底面圆周上，顶点S在半球面上，则半球。的体积和正四棱锥S

—ABCD的体积之比为_%:1_o

19.（2010届•北京市朝阳区高三一模（文））（12）如图所示，一个空间几何体的正视图

和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积

为

正视图，侧视图

俯视图

：2题图

3

—71

答案：2

20.（2010•安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文））19（13分）.如图1,在直角梯

形48co中，ZADC=90°,CD//AB,AB=4,A£）=C£）=2.将AAOC沿AC折起，使

平面W，平面,得到几何体。-ABC,如图2所示.

（I）若E为AD的中点，试在线段CD上找一点F,使EF〃平面ABC,并加以证明；

（1J）求证：BCL平面ACO；

（III）求几何体A—8CO的体积.

19.解：（I）在图1中，可得4。=8。=2夜，从而AC2+8C2=AB2,故ACJ.BC

取AC中点O连结。。，则DO_LAC,又面ADC，血ABC,

面ADCn面ABC=AC,DOu面ACD,从而ODJ_平面ABC,

：8Cu面ABC,：.OD1BC

又ACJ_8C,4CnOD=。，/.BC1WACD

另解:在图1中，可得AC=5C=2后，从而+=AB2,故

,/面ADC±面ABC,面ADC0面ABC=AC,8Cu面ABC,

从而平面ACO

（II）由（I）可知BC为三棱锥5—AC。的高.BC=2y/2,SACD=2

所以匕88=%ACD==Sh=、2乂2立=也儿何体A—BCD的体积为逑

21.（2010届•安徽省安庆一中高三三模（文））18、（本题满分12分）如图，一简单组

合体的一个面ABC内接于圆0,AB是圆0的直径，四边形DCBE为平行.四边形，且口（：_1平

面ABC.

(1)证明：平面ACDJ_平面4OE；

(2)若48=2,BC=1,tanZEAB=—,试求该简单组合体的体积V.

2

解析：(1)证明：；DCJ_平面ABC,6Cu平面ABCADC1BC.......1分

；AB是圆0的直径二8CJ.AC且。

BC_L平面ADC...............3分

•••四边形DCBE为平行四边形.\DE//BC

DE_L平面ADC.............5分

又,/OEu平面ADE平面ACD_L平面ADE

(2)所求简单组合体的体积：V^VE_ABC+VE_ADC

•••A8=2,8C=1,tanZ£A5=—=—

AB2

BE=日AC=ylAB2-BC2=G

•••yE-ADC=IS^DCDE=\ACDCDE=\

5o2

V

££A—BADCC=-S3MABZIDCC-EB=-$ACBCEB=-2

•••该简单几何体的体积V=1................•.12分

第2章第2节

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.正棱锥的高缩小为原来的看底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体枳是原来

体积的

)

A.5倍B.羡倍

C.［倍D.'倍

【解析】设原棱锥高为力，底面面积为S,

则V^\sh,

O

新棱锥的高为少b底面面积为9s

“1119

V=-•95«-h=~Sh'~,

oNJ/

.£__9

：~=2'

［答案］B

2.7口面是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为

)

俯视图

A.32nB.16n

C.12nD.8n

【解析】由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底

面圆的面积之和，即S=2Ji〃+n*=3n川=12x.

【答案】C

3.当圆锥的侧面积和底面积的比值是十时;圆锥轴截面的顶角等于

()

A.45°B.60°

【解析】设圆锥的母线长为1,底面半径为r,

设轴截面顶角的一半为明

r、历

则sina=-=-^-,/.a=45°,2a=90°.

【答案】C

4.在三棱锥〜故?中，侧棱48,AC,加两两垂直，/\ABC,/\ACD,△/微的面积分

别为乎，乎，乎，则该三棱锥的体积为

()

A.乖B.幸

Y6

C.6D.2季

【解析】•/0=*■,，〃•〃'=乎，平，

；"8=册,AC^\,44#.

.’=(4•1MH手

【答案】B

5.把由曲线尸|x|和尸2围成的图形绕x轴旋转360°,所得旋转体的体积为

()

6n32n

c,~D.

【解析】由题意，y=1x1和y=2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去

两个相同的共顶点的圆锥.

・・・力岫t=n•22•4=16n,

1216n

2匕矶钺=2X-nX2"X2=~"~

16n32n

・・・所求儿何体体积为16人

33•

［答案］D

6.二个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为

)

俯视图

A.3nB.2Jt

16n

D.以上都不对

3

【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为1,高为2的圆锥.由于圆锥的轴截面

是边长为2的等边三角形，又注意到它的外接圆半径等于圆锥的外接球半径，得外接球半径

为平

所以球的表面积为S=4n

【答案】C

二、填空题（每小题6分，共18分）

7.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为

1的圆，那么这个几何体的侧面积为

正视图侧视图

俯视图

【解析】山三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积S=n.

【答案】页

8.正三棱台高为12cm,上、下底面面积之比为1：4,它的体积为28cm3,则下底面

面积为.

【解析】设下底面面积为Scm：

则上底面面积为"scm2,

二^S+^S+yjsx^X12=28,

.,.5=4.

【答案】4cm2

9.（2009年全国卷I）直三棱柱ABC-AxB^Q的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA

=2,ZBAC=120°,则此球的表面积等于_______.

【解析】在中，由余弦定理知B（^=A^+ACi-2AB>AC-cos120°=4+4-

2X2X2X「£|=12,

：.BC=2g

由正弦定理知△4比的外接圆半径r满足N=2「,

sinlzO

，r=2,由题意知球心到平面4%的距离为1,设球的半径为此则庐=例不1=乖，

S,*=4n*=20Jt.

【答案】20页

三、解答题（共46分）

10.（15分）如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米

用漆0.2kg,则共需油漆大约多少千克？

（尺寸如图所示，单位：米，n取3）

O俯视图

【解析】5底="-9=27—9=18,

5椎=冗17=3X3X5=45,

S侧=4X3X4=48,

S全=18+45+48=111,

需刷油漆0.2X111=22.2kg.

11.(15分)如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱44=8.若侧面瓦?水

平放置时，液面恰好过力GBC、4G、64的中点，当底面4%、水平放置时，液面高为多少？

【解析】当侧面皿山6水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面/叱为梯形.

3

设△力笈的面积为S,则S梯形飒=js,

3

/水=^S•AA\=GS.

当底面4%水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为人则有”=仍，

，6S=Sh,：.h=6.

故当底面46C水平放置时，液面高为6.

12.(16分)如图所示，以45=4cm,比‘=3cm的长方形4%力为底面的长方体被平面

斜着截断的几何体，所训是它的截面.当/6=5cm,BF=8cm,CG=12cm时，试回答下

列问题：

(1)求加的长；

(2)求这个儿何体的体积；

⑶截面四边形班第是什么图形？证明你的结论.

【解析】⑴过后作必1.跖，垂足为笈，则郎=4£=5(cm),

所以名尸=8—5=3(cm).

因为平面/期2〃平面〃4用，犷'和"是它们分别与截面的交线，所以EF〃HG.

过〃作的_LCG,垂足为G,

则GC\—FBy—,ikcm),

12-3=9(cm).

(2)作曲_LM垂足为〃，B,PLCG,垂足为尸，连结4尸，BC,则几何体被分割成一

个长方体ABCD-EB\P",•个斜三棱柱EFBx-HGG,一个直三棱柱夕以一5GA从而几何体

的体积为

/=3X4X5+-X3X4X3+-X3X4X4=102(cm3).

(3)是菱形.

证明：由⑴知分〃肉，同理的〃/心于是窈阳是平行四边形.

因为EF=«B*=«N+*

=5(cm),

〃〃=4£=5(cm),EDi=AD=3(cm),

3=4(cm),

所以扇=收济不而=收”

=5(cm).

所以EF=EH.

故£7诩是菱形.

巩固

1.如图是一个儿何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.32nB.16n

C.12n8n

解析：选C.由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与

底面圆的面积之和，即S=2"/+其始=3Ji〃=12页.

2.已知/、8为球面上的两点，。为球心，且AB=B,乙4仍=120°,则球的体积为（）

9nr-

A.-B.4^/3n

C.36nD.32#Jt

解析：选B.△/如为等腰三角形，乙4加=120°,［片3,通过解三角形解出物和以

即以=仍=7?=*,从而求出球的体积n,故选B.

3.（原创题）设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高

度方随时间£变化的图象是（）

正视图侧视图

俯视图

向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意.故选

B.

4.（2009年高考全国卷I）已知》为球。的半径，过总的中点M且垂直于力的平面

截球面得到圆粉若圆"的面积为3n,则球。的表面积等于一

解析：由题意得圆"的半径?=木,设球的半径为R,又球心到圆"的距离为次由勾

D

股定理得#=行+（5）2,:.R=2,则球的表面积为431X22=16%故填16兀.

答案：16”

解析：/恻推=；兀/方=；兀X22X2

OO

8

=1n.

//台/i（r+/？+fir）

17

=-nXIX（22+J+2X1）=-Jt,

Jo

V=VIIW+Vaff=5Jt.

答案：5n

6.已知正方体/G的棱长为a,E、尸分别为棱与8的中点，求四棱锥4一班放

的体积._______

解：因为EB=BF=FX=BE：］£+所以四棱锥4一期力的底面是菱形,

连结用,则△切恒△切以，由于三棱锥4一9与三棱锥4一板等底同高，所以k-二

2%-阴9=2%-网1=2•T•S»£BA\•3=~d.

36

练习

1.圆台上、下底面面积分别是其、4冗，侧面积是6n,这个圆台的体积是（）

A.jiB.2小n

C.泻D.明

63

解析：选D.S=n,S=4n,r=1,7?=2,

S=6n=JI（r+例7,：,1=2,・,.7?=/.

.」=为（1+4+2）X小=#n.

2.如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三

角形组成，则该多面体的体积是（）

A®B亚

66

12

C.~D-

乙O

解析：选B.由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1,

侧棱长为1，斜高为平，连结顶点和底面中心即为高，可得高

为半，所以体积为•1•1,平=坐.

2326

3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧

视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积

为（）

B.2n

C.3nD.4n

解析：选B.由三视图可知几何体为一圆锥，其中圆

锥底面半径为1,母线长为2,故其侧面积

俯视图

（2nX1）X2=2”（其侧面展开图为一扇形，扇形半径为2,弧长为圆锥底面圆周长），故选

B.

4.三棱锥人4比的四个顶点都在体积为吟上的球的表面上，底面4%1所在的小圆面

M

积为16元，则该三棱锥的高的最大值为（)

A.7B.7.5

C.8D.9

4500

解析：选C.设球的半径为尼n,45.设小圆

OO

半径为八兀产=16n,・・.r=4.当三棱锥的高过球心。时，取

得最大值，^=^/52—42=3,〃。=5+3=8.故选C.

5.（2009年高考陕西卷）若正方体的棱长为也,则以该正方

体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

A亚B必

63

八#2

C.D.~

OO

解析：选B.所求八面体体积是两个底面边长为1,高为半

的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积匕=<X1X^=修，故八面体体积g2匕=坐故选

B.

6.把由曲线p=㈤和尸2围成的图形绕x轴旋转360。，所得旋转体的体积为（）

A8兀10Ji

A.-T-.B.~r-

o

6n32Ji

c・丁D.~3~

解析：选D.由题意，y=|x|和y=2围成图中阴影部

分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的

圆锥.

</圆柱=n•22-4=16n,

1216n

2VnX2"X2=""一，

Jo

所求几何体体积为16n—粤=迎:.

oo

7.正三棱台高为12cm,上、下底面面积之比为1：4,

它的体积为28cm3,则下底面面积为.

解析：设下底面面积为Scm：

则上底面面积为:Scm2,

・・.；（S+）S+、/sx）5）X12=28,

J4\j4

.•.S=4.

答案：4cm2

8.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心

角为120°,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积

为.

解析：因为扇形弧长为2n,所以圆锥母线长为3,高

为26,所求体积平XnXFX2^/2=2"”.

J