2024年高中数学专题4-11大题专项训练指数函数对数函数的综合应用30道教师版新人教A版必修第一册

专题4.11指数函数、对数函数的综合应用姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2024·全国·高一课时练习）已知函数fx=a(1)求a的值；(2)证明：函数F(x)=【解题思路】（1）依据fx（2）依据定义法证明函数为增函数即可.【解答过程】（1）因为fx=a所以函数fx=ax+1(所以a2+1+a又因为a＞1，所以（2）由（1）知，F(任取x1,xF===2因为x1<x2，所以所以Fx1-所以Fx=f2．（2024·天津市高三阶段练习）设fx=loga(1)求a的值及fx(2)求fx在区间0,【解题思路】（1）由f1=2代入可得a的值，列出不等式组（2）依据复合函数的单调性推断fx在区间0,【解答过程】（1）∵f(1)=2，∴loga2+loga由1+x>03-∴函数f(x)（2）f(∴当x∈(-1,1]时，f(x)函数f(x)在0,3．（2024·安徽省高三阶段练习）已知函数fx(1)若fx<0，求(2)当14≤x【解题思路】（1）设t=（2）设t=log2x，可得【解答过程】（1）设t=log2x，所以fx=log解得-1<所以-1<log2即x∈（2）由（1）得，当14≤x所以函数可转化为y=t2当t=12时，y当t=-2或t=3时，即当x=2时，fx当x=14或x=8时，即函数fx的值域为-4．（2024·辽宁·高三阶段练习）已知函数f((1)求函数fx(2)求不等式fx【解题思路】（1）由对数运算法则化简函数式后，把log3（2）把log3【解答过程】（1）f=-log3x+1所以fx的值域为-∞,（2）依据题意得-log整理得log3即log3解得log3x<-3所以0<x<1故不等式的解集为0,15．（2024·北京·高二）已知定义域为的R奇函数f(x)满足：当x(1)求函数f(x)在[0,+∞)(2)若不等式fm-xx+【解题思路】（1）依据奇函数的性质即可求解；（2）依据奇函数的单调性，将问题转化为m≤xx【解答过程】（1）解：∵f(x)∴f(0)=20设x≥0，则f(∵f(x)在(∴f(x)在（2）∵fm∴fm∵f(x)是(-由于x∈[1,2]，∴由于y=1-1x+1在[1,2]得m≤6．（2024·河南安阳·高一期末）已知函数fx=2ln(1)推断函数fx(2)求函数fx【解题思路】（1）由对数的运算得出fx（2）依据基本不等式结合对数函数的单调性得出函数fx【解答过程】(1)fx是偶函数，f∵fx∴f-x=ln(2)∵1ex+∴f∴fx的值域为27．（2024·河南·高三阶段练习（文））已知f(1)求f((2)求使f(x)>0【解题思路】（1）依据对数函数的定义域可得1+x1-x>0解出范围即可，判别函数奇偶性，先看定义域关于原点对称，然后计算（2）由fx>0得到【解答过程】（1）由题意得1+x1-x>0，即所以定义域为{x因为定义域为{x且f(（2）log21+x1-x>0，∴1+x>1-x综上x的取值范围为0<x8．（2024·广东·高三阶段练习）已知函数fx=log(1)推断fx(2)若函数g(x)=9f(x)+x2+m【解题思路】(1)依据偶函数的定义推断；(2)将gx【解答过程】（1）证明：∵f(x∴=log所以f(（2）g(当x∈0,log令3x=t，则y当-m2≤1时，即m≥所以t=1时，ymin=当1<-m2<2时即-4<解得m=0当-m2≥2时，即m≤所以t=2时，y解得m=故存在满足条件的m=9．（2024·全国·高一课时练习）已知函数fx=bax（其中a，b为常数，且a>0，(1)求a+(2)当x≤-3时，函数y=1【解题思路】（1）将点M、N代入函数fx（2）当x≤-3时，函数y=1ax+1b的图象恒在函数y=2x+【解答过程】（1）∵函数fx=bax（其中a，b为常数，且a>0，∴ba=1ba3=9∴a2=9，∴∴a+（2）由（1）得当x≤-3时，函数y即当x≤-3亦即当x≤-3设gx∵y=13x在-∞∴gx=1∴gx∴t<3610．（2024·安徽·高三阶段练习）已知函数f(x)=(1)推断函数f((2)求不等式f(x)+1<0的解集.（结果用m【解题思路】（1）先求出函数的定义域，然后依据函数奇偶性的定义推断即可，（2）原不等式化为log2mx-nxmx+nx【解答过程】（1）fx依题意，函数fx的定义域为(而f(故f(故函数fx（2）依题意，log2mx令t=mn，则t所以12<所以13<t故-logt3<即不等式fx+1<0的解集为11．（2024·江西·高三开学考试（理））已知函数f((1)求k；(2)解不等式f【解题思路】（1）结合偶函数性质f(-x（2）结合对数运算法则，将原函数化成对数形式f(x)=【解答过程】（1）∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=（2）∵f(则不等式等价于3x+3-x由3x+3-x≥7综上，不等式的解为-log12．（2024·全国·高一单元测试）已知指数函数fx=ax（a>0(1)设函数gx=1(2)已知二次函数hx的图像经过点0,0，hx+1=【解题思路】（1）依据条件求出f(x)（2）由待定系数法求得h(【解答过程】（1）由题意知a3=18，解得a=令1-(12)x≥（2）设h(则h(h(x)得{2m+b=b-2m+b+c=c+1，解得又h(0)=c=0所以h(x)=又f(x)=(12)13．（2024·河南·高二开学考试（文））已知函数fx(1)求a的值及fx(2)求不等式fx+2【解题思路】（1）由偶函数的定义列式子可求出a的值，对函数化简后，利用基本不等式可求出其最小值，（2）先推断出f(x)【解答过程】（1）由题意得f(-x)=f(x)，即ln(e-2x+1)-ax=ln(e（2）对于y=ex+1ex，任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则y2-y1=ex2+1ex2-ex14．（2024·全国·高一课时练习）已知函数fx=b⋅ax（a,b为常数，(1)试确定函数fx(2)若关于x的不等式1ax+1b【解题思路】（1）依据题意，得到方程组ab=6b⋅a（2）依据题意转化为函数y=12x+【解答过程】（1）解：因为函数fx=b⋅a可得ab=6b⋅a3=24，结合a所以函数fx的解析式为f（2）解：要使12x+只需保证函数y=12x+因为函数y=12所以当x=1时，y=1所以只需m≤56即可，即实数m15．（2024·甘肃·高一期中）已知函数f(x)=ln((1)求函数f(x)(2)设m>0，若对于随意x∈1m,【解题思路】（1）依据题意结合指对数运算求解；（2）先依据区间的定义求m的取值范围，结合二次函数及作差法求g(x)【解答过程】（1）因为函数f(x)=ln(所以ln(1+a)=0，解得所以f(（2）因为m>0且m>1m，所以因为g(x)=x2所以g(x)的最大值是g因为g=m所以g(若g(x)<-ln(即m2-2m设h(任取m1,m则h=m因为1<m1<0<m1-1<m2所以hm1-所以h(m)在区间(1,+∞)所以m2-2m所以1<m<2，所以m的取值范围是16．（2024·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=logax+2(1)当a=2时，求f(2)是否存在实数a，使得fx在-1,34【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t=-x2-x+2，则由-1≤x≤34【解答过程】（1）由题意可得x+2>0,1-x>0,解得-2<x<1，即当a=2时，f令t=-x2-x对称轴为x=-则函数t=-x2-x因为y=所以fx在-2,-12（2）fx令t=-因为-1≤所以t=-x+1当0<a<1时，fx在-1,则loga1116=2，即当a>1时，fx在-1,3则loga94=2，即综上，a的值为114或317．（2024·河北邢台·高三阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f-x-fx(1)求k的值；若函数fx的定义域为0,4，求h(2)设hx=x4+xlnx-【解题思路】（1）利用f-x-fx=0可求得k（2）依据单调性的性质可确定gx在R上单调递增，由此可得gx在0,3上的最小值为g0=1，依据能成立的思想，结合hx【解答过程】（1）∵f∴2k-1=0，解得：k若fx定义域为0,4，则由0≤2x≤4得：0≤x≤2∵f2x+∴当x∈0,2时，22x+1∈2,17（2）由（1）得：gx∵y=2x+1在R又y=12x在R上单调递增，当x∈0,3时，∵对随意的x1∈0,3，存在x∴存在x2∈e,e∵y=x3+∴2m≥e3+1，解得：m18．（2024·山东·高一阶段练习）设函数gx=log3x，函数y(1)求y=(2)是否存在实数m>0，使得对∀x∈R，不等式【解题思路】（1）依据反函数的定义及性质可知fx与gx互为反函数，即可求出（2）由（1）可得不等式即为2m-3<m⋅3x恒成立，令t【解答过程】（1）解：因为函数y=fx的图像与y所以fx与g因为gx=log（2）解：不等式2m-3<令t=3xt>0，则关于t的不等式2m令ht=mt因为m>0，所以ht在0,+∞上单调递增，依题意只需h所以0<m19．（2024·安徽·高三阶段练习）已知函数f(x)=(1)若函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=(2)已知函数g(x)=fx2f【解题思路】（1）由题意可知hx=ax，然后将点（2）由（1）得g(x)=logax2-4【解答过程】（1）因为函数f(x)=logax(所以hx=ax（因为点P(2,16)在函数h所以16=a2，解得a=4（2）gx=log①当0<a<1时，由12二次函数φt=t可得最大值为φ-解得a=12②当a>1时，由12≤二次函数φ(t)=可得最大值为φ-loga2=综上，实数a的值为1220．（2024·广东·高二阶段练习）已知函数f(x)=(1)求不等式f((2)若∀x1∈[1,3],∃x2【解题思路】（1）由对数函数的性质可得4x（2）由题可得fx【解答过程】（1）由4x可知f(x)由log34x令t=2x解得2≤t由2≤2x≤16所以不等式f(x)≤4（2）由题意，∀x1∈[1,3]所以gx因为f(x)=所以f(x)又∃x2∈[0,2]，使得g因为函数g(x)=x2①当m≤1时，g(x)所以0≤m②当m>1时，g(x)max所以m>1综上所述，m的取值范围为[0,+∞21．（2024·宁夏·高三阶段练习（理））已知函数fx(1)求k的值；(2)若函数hx=2fx+1【解题思路】（1）依据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；（2）依据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而依据二次函数的单调性即可求解.【解答过程】（1）由f(x)是偶函数可得，则log2即2kx所以(2k故2k（2）由（1）得fx所以hx令t=2x为使h(①m=0②m>0-③m<0-综上：m的范围为-122．（2024·全国·高一单元测试）若函数y=T(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的(1)推断定义在区间[2,3]上的函数f(x)=(2)若函数g(x)=3x-1在定义域[【解题思路】（1）依据函数定义可得f(x)∈[3,4]，再推断对随意x1，x2∈[2,3]对应（2）由题设可得g(x)∈[3m-1,3n-1]，依据“YL【解答过程】（1）不是，理由如下：因为f(x)=x+1对随意x1，x2∈[2,3]所以定义在[2,3]上的f(x)=（2）g(x)=3x-1由于g(x)对随意x1∈[m,n]，则g(所以13n-1≥3m-113所以m+n-因为n>m>0，所以n所以m2+n=m23．（2024·陕西·高三阶段练习（理））已知函数fx(1)求实数k的值;(2)解关于m的不等式f2m+1(3)设gx=log2a⋅2x+aa≠0【解题思路】（1）依据偶函数的定义及性质干脆化简求值；（2）推断x≥0（3）由函数fx与gx图象有2个公共点，可得【解答过程】（1）函数的定义或为R，∵函数fx∴f-x=∴2kx∴k（2）∵f当x≥0时，2x≥1∴fx在又函数fx为偶函数，所以函数fx在0,+∞∵f∴2m+1解得m<-2或m所以所求不等式的解集为-∞（3）∵函数fx与gx图象有∴g即a⋅2x设t=2x>0，则又t=2x所以方程a-1t∴a-1≠0解得22-2<a<124．（2024·湖南·高一阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f-x-fx(1)求fx(2)若不等式g4x-a⋅(3)设hx=x2-2mx+1，若对随意的【解题思路】（1）依据f-x（2）依据gx单调性得4（3）因为对随意的x1∈0,3，存在x2∈1,3，使得gx1≥hx2【解答过程】（1）由题意知，log2即2kx=log故fx（2）由（1）知，gx所以gx在R所以不等式g4x-a⋅即a<设t=2x，则t>0，4x所以a<4故实数a的取值范围是-∞（3）因为对随意的x1∈0,3，存在x所以gx在0,3上的最小值不小于hx在因为gx=log所以当x∈0,3时，又hx=x2-当m≤1时，hx在1,3上单调递增，hx所以12当1<m<3时，hx在1,mhxmin=hm=1-当m≥3时，hx在1,3上单调递减，hx所以m≥3综上可知，实数m的取值范围是1225．（2024·福建南平·高二期末）已知函数fx=a(1)求a的值，并证明函数fx(2)解不等式f【解题思路】（1）利用奇函数的定义式求解a的值或者特殊函数值对称求解a，再利用单调性定义法证明函数fx（2）由（1）中fx【解答过程】(1)解：解法一：由fx=即a-2求得a解法二：由fx=a即a-求得a=1经检验：fx证明：∀x1,f=由x1>x2得所以，函数y=fx(2)解：由（1）得函数y=fx由flog32x解得x∈26．（2024·全国·高一单元测试）已知函数fx(1)当m=-1时，求f(2)若fx≤2对随意的x∈【解题思路】（1）依据对数函数、指数函数的性质计算可得；（2）依题意可得0<6x+m⋅5x【解答过程】（1）解：当m=-1时fx=即6x>5x，即65x>1（2）解：由fx≤2对随意的所以0<6x+即-65x因为y=165所以gx=165x所以hx=-65x所以-1<m⩽2，即27．（2024·河北保定·高二期末）已知函数f(x)=(1)求f((2)若不等式f(x)⩽1【解题思路】（1）依据已知条件，以及偶函数的性质f(-（2）利用分别参数法处理恒成立问题，再利用对数的运算性质对式子化简变形，求函数的最值.【解答过程】(1)因为f(0)=1，所以f(0)=log因为f(x)是偶函数，所以f所以2bx=log故f((2)因为不等式f(x)⩽12x+m对x设g(因为x⩾0，所以2x⩾1故m⩾1，即m的取值范围为28．（2024·上海市高一期中）已知常数k∈R，函数y=(1)若图像F经过点(1,1)，求k的值.(2)对于（1）中求得的k，解方程log2(3)是否存在整数k，使得y有最大值且该最大值也是整数?假如存在，求出k的值;假如不存在，请说明理由.【解题思路】（1）依据题意得到log2（2）依据题意得到log2（3）首先令t=2x得y=log2-t2【解答过程】（1）由题知：log2-4+2k+4=1（2）当k=1log即-4整理得：2x2-9⋅2当x=0时，-40当x=3时，-故x=0（3）y=log2-2x2令-t2+因为t>0，所以0<设gt=-t2+gt=-t-当k2≤0时，即k≤0时，g此时gt当0<kgt在区间0,k2所以gt即ymax因为k>0，所以log令log24+k24=n，且n解得k=22n此时gtmax=8所以存在k=4使得y有最大值329．（2024·河南商丘·高二期末（文））已知定义在R上的函数f