高中数学概念总结6

高中数学概念总结

1、若集合A中有n(〃eN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

竺,所有非空真子集的个数是的-2。

二次函数y+bx+c的图象的对称轴方程是》=——，顶点坐

标是-4用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的

［la4aJ

设法有二种形式，即f(x)^ax2+bx+c(一般式)，

/(X)=a(x-x)(x-X2)(零点式)和f(x)=a(x-m)2+n

(顶点式)。

2、幕函数y=x；,当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象

是

函数丫=卜2一5x+6］的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+oo),单调递增区间是

［2,2.5］和［3,+8),单调递减区间是(—8,2］和［2.5,3］。

三角函数

1、以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角

a的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点的距离记为

„„.yxyxrr

r，贝I」sincif=—，cosa二一，tga二一，ctga二一，seca=—,esca=一°

rrxyxy

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sin2a+cos2a=l,

1+fg?a=sec*2a,l+ctg2a=esc2a；

倒数关系是：tga-ctga=1,sina-csca=1,coserseeer=1；

口sinacosa

相除关系是：iga=----ct2a=----

cosasina

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如:

.3兀\/15乃、/与V

sin(--a)=-cosa,czg(———a)=tga,tg(37r-a)=-tgao

4、函数y=Asin(@x+e)+8(其中A>0,。>0)的最大值是

A+B,最小值是5-A,周期是T=二，频率是/=乌，相位

CD2%

是cox+cp,初相是0;其图象的对称轴是直线

7T

ax+9=k兀+］(keZ),凡是该图象与直线y=B的交点都是该

图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

y=sinx的递增区间是「2"_£2«乃+口(4cZ),递减区间是

.22.

2^+-,2fc^+—1(kGZ)；y=cosx的递增区间是

22

\2kjr-乃,2左4](攵GZ),递减区间是[2左乃,2k%+4](攵£Z),y=tgx的

递增区间是（收■/,0+工）（攵£Z）,y=ctgx的递减区间是

（4万，k兀+））伏£Z）。

6、sin(a±/?)=sinacosP±cosasinp

cos(a±/7)=cosacos/?+sinasin(3

tg(a±0)=-^^~

1干tgatg/3

7^二倍角公式是：sin2a=2sina-cosa

COS26Z=COS2a-sin2a=2cos2cif-l=l-2sin2a

c2吆a

tg2a2

1Tg

“八"口a-cos6Z1+COS6Z

9、半角公式是：sin—=±----------cos—=±

2V22v-T~

a,/l-cos6r1-cosasina

tg-=±J----------=-----------=-----------

2v1+cosasina1+cosa

“a

10、升嘉公式是：1+cosa=Zcos?—1-cosa=2sin2—。

22

1+cos2a

11、降幕公式是：siMa=I-。12acos2a=------------o

2

-aCa

i2a2tg

_z、2tg3一吆-22

12＞力能公式：sincr=-----------cosa=------tga;--------

[2aa,a

1+次22

g52_次~2

22

13^sin(a+/?)sin(«-/?)=sina-sinJ3f

cos(a+J3)cos(a-J3)=cos2cr-sin2[3=cos2/7-sin2a。

14^4sinasin(60。-a)sin(60°+a)=sin3a；

4coscifcos(60°-df)cos(60°+a)=cos3a；

吆arg（60。一a）氏（60°+。）=吆3。。

15>ctga-tga=2ctg2a。

（）V5-1

16、sin18°=-------o

4

17、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）:

sinAsinBsinC

19、由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-2accosB

2_/2

由余弦定理第二形式，cosB=---------------

2ac

20、4ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表

示，半周长用p表示则：

①S=—a-h=…；②S=-bcsinA=…；

2“n2

@S=27?2sinAsinBsinC；®S=^^--

4R

⑤S二7p(p-a\p-/?)(/?-c)；®S=pr

21、三角学中的射影定理：在4ABC中，b=a・cosC+c・cosA,…

22>在4ABC中，A<8=sinA<sin8,…

23、在AABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BC4+B.CA+BC

sin-------=cos—cos-------=sin—tg—^—=ctg—

2222

tgA+tgB+tgC=tgA•tgB•tgC

24、积化和差公式:

①sina•cos0=；[sin(o+夕)+sin(a-/?)]

②cosa•sin/=；[sin(a+4)-sin(a—,

③cosa•cos/?=—[cos(ct:+/)+cos(a-/)],

④sina•sin/=一g[cos(a+/)一cos(a-〃)]。

25、和差化积公式：

①sinx+siny=2sin—^・cos―,

公、〜x+y.x-y

@sinx-siny=2cos—^-sin—/,

-/x+yx-y

③cosx+cosy=2cos—--cos---

©cosx-cosy=-2sin~~~~'

三、反三角函数

1、y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是[―5，1]'奇函数，增函数;

y=arccosx的定义域是[-1,11，值域是[0,TV],非奇非偶，减函数;

y=arcfgx的定义域是R,值域是（-]9，奇函数，增函数;

y=arccfgx的定义域是R,值域是（0,乃），非奇非偶，减函数。

2、当％£[-1,1]时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=71-x2,cos(arcsinx)=71-x2

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=TT-arccosx

.71

arcsinx+arccosx=—

2

对任意的冗ER,有：

tg(arctgx)=xfctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx,arcctg(-x)-TC-arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

当xwO时，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=­o

xx

3、最筒三角方程的解集：

时＞1时,sinx=。的解集为0

时＜1时,sinx=〃的解集为卜卜二"万+(-1)”♦arcsin。，neZ

\a\＞1时,cosx=a的解集为。；

\a\＜1时,cosx=a的解集为｛乂工=2〃乃士arccosa,〃£z)

awR,方程Zgx=。的解集为卜=n7r+arctga,nGZ)；

aGR,方程cfgx=a的解集为卜|x=〃乃+arcctga,〃ez｝。

四、不等式

1、若n为正奇数，由。＜匕可推出a"吗？(能)

若n为正偶数呢？（仅当。、匕均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗（不能）

能相加吗？（能）

能相乘吗？（能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：茄

2

三个正数的均值不等式是：-b+->^ab^

3

n4-n-Li7I---------

n个正数的均值不等式是：-!一-------^>'^ata2--an

n'

4、两个正数”、匕的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之

间的关系是

6、双向不等式是：MLw卜土耳v|4+网

左边在ab<0(>0)时取得等号，右边在ab>0(<0)时取得等号。

五、数列

1、等差数列的通项公式是%=%+(〃-l)d,前n项和公式是:

〃(q+%)1

Sn=-----------=〃/+—n(n-\)a。

2、等比数列的通项公式是%=a."T,

na(q=1)

1n

前n项和公式是：5„=hl(l-^),八

—:------(471)

"q

3、当等比数列｛4｝的公比q满足时<1时,limS“=S=—■一般地,

〃->8]一

如果无穷数列｛%｝的前n项和的极限limS,,存在，就把这个极限称为这

个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limS“。

〃一>8

4、若m、n、p、q《N,且加+〃=p+q,那么：当数列｛%｝是等差数

列时，有am+%=4+4；当数列｛%｝是等比数列时，有

5、等差数列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3n=K；

6、等比数列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3n=四；

六、复数

i"怎样计算？（先求n被4除所得的余数，=〃)

、AIA?

2、助=一一+—z\%=——是1的两个虚立方根，并且：

2222

3312211

例=g=1/=g①2=?—=0—=他

①1g

①I=处物=外例+0）2=—1

3、复数集内的三角形不等式是：闻一%||＜总±%2|4总|+忆|，其中

左边在复数Z1、Z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号,右边在

复数z「Z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

4、若忆|=2,Z2=3（cosq+isin|＞Z］，复数％、z?对应的点分别是

A、B,则△AOB（0为坐标原点）的面积是,x2x6xsin工=。

23

6、复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①|z-Zo|=r（r是正的常数）＜-＞轨迹是一个圆。

②|z-&|=|z-z2|（zPZ2是复常数）＜-＞轨迹是一条直线。

③|z-Z||+|z-Z2|=2a（Z］、Z2是复常数，a是正的常数）3轨

迹有三种可能情形：a）当2a＞,-Z21时，轨迹为椭圆；b）当

2〃=匕一时，轨迹为一条线段；c）当2a＜L一马|时，轨迹不存在。

④%-zj-卜-Z21|=2a（a是正的常数）c轨迹有三种可能情形：

a）当2a＜匕时，轨迹为双曲线；b）当2a=忆一Z2I时，轨迹为两

条射线；c)当2a＞出一句时，轨迹不存在。

七、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

V]I

2、排列数公式是：片"=〃(〃—1)…机+1)=---------

(n-m)\

排列数与组合数的关系是：P：=my

组合数公式是：C：==——小——.

1x2x•••xmm!-(n-m)!

组合数性质：C：=C；5C：+C：I=C'

EC,：=2"rC；=nC-\

r=0

c;+C[+c；+2+-+c；=C；：：

3、二项式定理：

(a+by=C^a"+C',a"-'b+C^an-2h2+…++…+C：b"

二项展开式的通项公式：=C；a"-'7/(r=0,1,2…，n)

八、解析几何

1、沙尔公式：|A5|=XB-XA

2、数轴上两点间距离公式：[4却=|4-4|

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：

山刃=J®-/A+(必一为尸

-----pP

4、若点P分有向线段8乙成定比入，则入=」一

PP?

5、若点耳(西，%),P2(x2,y2),P(x,y),点P分有向线段Kg成定比

入，则…==ZZ2L；XJ+3),J+仅

x2~xy2~y1+X1+A

若4匹，必)，B(x2,y2),C(x3,y3),则z\ABC的重心G的坐标是

f「+£+尤3X+为+丫3)

I3'3)

6、求直线斜率的定义式为k=tga，两点式为k=@二&。

7、直线方程的儿种形式：

点斜式：y~y0=k(x-x0'),斜截式：y=kx+b

两点式：七”=上工，截距式：±+'=1

y2-x2-x1ab

一般式：Ax+By+C^O

经过两条直线片Ax+gy+G=。和修&》+当＞+。2=。的

交点的直线系方程是：A/+8]y+G+^{A2X+B、y+C2)=0

8、直线/1：y=k/+b[,l2ty=k2x+b2,则从直线人到直线4的角

0满足：tg0=-_■—

1+kxk2

I—k

直线。与右的夹角。满足：火。二上」^

2

|1+圾2

直线《A.x+B.y+C,=0,/2：42%+62>+。2=0,则从直线L

到直线I,的角e满足：次，=4氏

A,A2+S,B2

A|By—A,2By

直线/I与4的夹角。满足:次。=

A[A)+B]B-f

9、点尸(%,y。)到直线/：Ax+8y+C=0的距离:

d_|Ax()+By。+C|

'ylA2+B2

10、两条平行直线4：Ax+By+C,=0,Z2：Ax++g=。距离是

11、圆的标准方程是：(x—a)2+(y—与2=/

圆的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+E2-4F>0)

22

其中，半径是，二J.n+E—-—4F,圆心坐标是(-上D，-E二

2122

思考：方程/+;/+0x+Ey+尸=0在。2+后2-4尸=o和

D2+E2—4/<0时各表示怎样的图形?

12、若A(x"),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-X|)(x-—2)+()一月)(=一为)=o

经过两个圆

2222

x+y+Dtx+E1y+F,=0,x+y+D2x+E2y+F2=0

的交点的圆系方程是：

2222

x+y+Dxx+E}y+F}+Z(x+y+D2x+E2y+F2)=0

经过直线/：48+8），+。=0与圆X2+卜2+。％+4+/=0的

交点的圆系方程是：x~+y~+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C）=0

13、圆/+y2=厂2的以p（x0,打）为切点的切线方程是

xQx+yoy=r

一般地，曲线4/+©2一以+劭+尸=0的以点尸（X。，打）为切点

的切线方程是：Ax.x+Cy.y-D-^—^+E-^^+F^0.例如，抛

物线y2=4x的以点口1,2）为切点的切线方程是：2y=4xt］一,即：

y=x+1。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按

照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：△>（）,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于

半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：F=2px,y2=-2px,

2

x~-2py9x=-2pyo

16、抛物线/=2px的焦点坐标是：-1,0,准线方程是:x=

2

若点尸（%,打）是抛物线y2=2Px上一点，则该点到抛物线的焦点

的距离（称为焦半径）是:与+“，过该抛物线的焦点且垂直于抛

o2

物线对称轴的弦（称为通径）的长是：2p。

17、椭圆标准方程的两种形式是：片+21=1和£+二_]（。〉匕＞0）。

晨b2~a2b2~

20、双曲线标准方程的两种形式是：与一=1和4一0=1

a2h2a2h2

(a>0,/?>0)o

22、与双曲线二=1共渐近线的双曲线系方程是

a2b2

2222

j一七=/I（4w0）。与双曲线j一2=1共焦点的双曲线系方

a2b2a2b2

程是

a2+k

23、若直线y=履+b与圆锥曲线交于两点A（x”y0,B（x2,y2），则弦

长为|A6|=八1+/）区—尤2产；

若直线x=my+，与圆锥曲线交于两点A（X],yO，B（X2，y2）,贝U弦

长为,却二/1+/）（%乃）2。

25（理）、平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是（h,

k）,若点P在原坐标系下的坐标是（x,y）,在新坐标系下的坐标是

（x',y'）,贝ijx'=x-/z,y'=y-k»

九、极坐标、参数方程

1、经过点外（工（）,汽）的直线参数方程的一般形式是：

x=x+at

n（f是参数）。

y=y0+bt

2、若直线/经过点外（Xo，y。），倾斜角为a，则直线参数方程的标准形

x=尤+,cosa

式是：1°.。是参数）。其中点P对应的参数t的儿何

丁=M）+，sina

意义是：有向线段”的数量。

若点Pl、P2、P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数

分别是小G和，，则：|"2=国-"|；当点P分有向线段

朋成定比；I时，，=叱幺；当点p是线段PF2的中点时.，

1+A

3、圆心在点C（6Z,b）,半径为〃的圆的参数方程是：

fx=a+rcosa口.、皿

,.（a是参数）。

[y=/?+rsin«

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点

P的极坐标为（夕超），直角坐标为（x,y）,则x=pcosO,

y=psinO,p=y]x2+y2,tg0=—<.

x

4、经过极点，倾斜角为a的直线的极坐标方程是：6=a或夕=万+&,

经过点5,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：pcosO^a,

经过点（a,工）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：Psin。=a,

2---------------

经过点仙,仇）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：

psin（e-a）-pasin（^0-a）。

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是p=r；

圆心在点3,0）,半径为。的圆的极坐标方程是夕=2acose；

圆心在点（。,5）,半径为a的圆的极坐标方程是夕=2asin。；

圆心在点（夕0，/），半径为厂的圆的极坐标方程是

P2+Po-?PPocos@-%）=产。

6、若点M（0,可）、N（0，2），则

\MN\=JP；+-2/?|42cos（4一%）»

十、立体几何

1、求二面角的射影公式是cos。='，其中各个符号的含义是：S是二

S

面角的一个面内图形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的

射影，。是二面角的大小。

2、若直线/在平面a