人教版八年级数学下册基础知识第16章 二次根式（单元测试·培优卷）

第16章二次根式（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，最简二次根式是（

）A． B． C． D．3．实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（

）A． B． C．b D．4．李老师设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数，乘以后再减去，输出结果．若小刚按程序输入2，则输出的结果应为（）A．2 B． C．﹣ D．35．若，则化简（

）A．m B．-m C．n D．-n6．若，则a的值所在的范围为（

）A． B． C． D．7．如图，点P，Q对应的数分别为p，q，则下列说法正确的是（

）A．点P向右平移3个单位长度与点Q重合 B．C．的相反数的整数部分为2 D．8．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．9．已知x是实数，且，则的值是（

）A． B． C． D．或或10．下列说法中，正确的是（

）A．与互为倒数B．若则C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等D．若，则二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若与都是二次根式，那么．12．比较大小，①；②．13．已知，则．14．从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）15．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．16．根式的值是．17．[输入x]→[平方]→[减去]→[输出A]（1）把多项式A分解因式为；（2）当时，多项式A的值为．18．人们把叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若，则．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）计算(1)(2)；20．（8分）数学的学习要讲究“灵活”，灵活表现在活用公式，表现在洞察数学内部结构及特征，表现在思维的简捷与优美．以下两题，特别是第（2）题，很少见，请挑战以下自己，相信你会秒杀本题．（1）计算：．（2）计算：．21．（10分）已知三个实数：，，．（1）计算：+－．（2）在算式“+□”中，□表示“×”、“÷”中的某个运算符号，请通过计算说明当□表示哪种运算符号时，算式的结果较大．22．（10分）嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．解：．（1）在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．A．等式的基本性质

B．二次根式的化简C．二次根式的乘法法则

D．通分（2）算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．23．（10分）如图1，从一个大正方形纸板中截去面积分别为8，32的两个小正方形．（1）求留下的部分（阴影部分）的面积；（2）如图2，用余下部分的长方形纸板A，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，高为a，求盒子的底面积；（3）用余下部分的长方形纸板B，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而且长与宽的比是，求这个盒子的容积．24．（12分）综合与探究如图，在数轴上，点，，所表示的数分别为0，1，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点在数轴上表示的数为（点在点的左边）．

（1）求的值．（2）在数轴上有两点，表示的数为，，且，求的平方根．（3）现将点向左移动5个单位长度得到点，设点表示的数为，在数轴上是否存在一点所表示的数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．【详解】解：A.中，的取值范围是，故此项不符合题意；B.中，的取值范围是，故此项符合题意；C.中，的取值范围是，且，故此项不符合题意；D.中，的取值范围是，故此项不符合题意；故选B．【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．2．A【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握最简二次根式的被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断作答即可．【详解】解：是最简二次根式，故A符合要求；，不是最简二次根式，故B不符合要求；，不是最简二次根式，故C不符合要求；，不是最简二次根式，故D不符合要求；故选：A．3．B【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，实数的性质等，首先由数轴可得，然后利用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案．【详解】解：根据题意得：，∴，∴．故选：B．4．B【分析】首先用小刚按程序输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积减去，求出输出的结果应为多少即可．【详解】解：．故选：B．【点拨】此题主要考查了二次根式的加减法，解答此题的关键是要弄清楚先求什么，再求什么．5．B【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式====|m|=-m，故选：B．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．6．D【分析】由题意知，，由，然后利用不等式的性质求解作答即可．【详解】解：，∵，∴，∴，即，故选：D．【点拨】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化简．7．C【分析】由图可知，进而根据平移、绝对值以及化简二次根式即可得解．【详解】解：由图可知，∴，即点P向右平移3个单位长度不与点Q重合，故A错误；，∴，故B错误；∵，∴，∴，即的相反数的整数部分为2，故C正确；∵，∴，故D错误．故选C．【点拨】本题考查了数轴、平移、绝对值以及化简二次根式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．8．C【分析】根据绝对值、二次根式的性质化简、负指数幂、去括号合并同类项计算即可．【详解】当时，不成立；当时，，，故该选项错误；B、，故该选项错误；C、，故该选项正确；D、，故该选项错误；故选：C．【点拨】本题考查绝对值、二次根式的性质化简、负指数幂、去括号合并同类项，熟记运算法则是关键．9．B【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴且，解得：，∴．故选B．【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键．10．C【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．【详解】A.，不是互为倒数，选项错误；B.若，由于，则，选项错误；C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；D.由可得，结合可得，，则，选项错误；故选：C【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．11．0【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解．【详解】解：∵与都是二次根式，∴∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12．<<【分析】①对于根式的大小比较，可以两边同时平方，比较平方后的大小即可解决问题；②两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．【详解】解：①左边，平方后得到数为：12，右边，平方后得到数为：13，，；②左边求倒数为，右边求倒数为，，．故答案为：①<；②<．【点拨】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．13．【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对分母有理化得到，再把即可求解，正确求出，再把所求式子变成是解题的关键．【详解】解：∵，∴．故答案为：．14．（或或，写出一种结果即可）【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．【详解】解：①选择和，则．②选择和，则．③选择和，则．故答案为：（或或，写出一种结果即可）．【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．15．/【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．【详解】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，故答案为：．【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．16．16【分析】本题考查了二次根式的化简，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，将原式的分子变形为，即为，变形为，即为，同理将原式的分母中的两项也变形，变形后分子分母分别提取公因式后约分，最后开方即可得到结果．【详解】解：．故答案为：16．17．4【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）把代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意得；故答案为：；（2）当时，，故答案为：4．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值．18．/【分析】根据，依次求出即可解答．【详解】解：根据，可得，，，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．19．(1)17(2)【分析】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：最后结果必须化成最简二次根式．【详解】（1）（2）20．(1)(2)1【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；（2）将被开方数变形为完全平方数，求出算术平方根，再算乘法．【详解】（1）解：原式＝；（2）解：原式＝．【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式性质与二次根式的运算法则．21．(1)(2)当□表示“÷”时，算式的结果要大，理由见解析【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）把乘与除分别代入计算后，再比较大小可得答案．【详解】（1）解：+－==；（2）当□表示“×”时，+=当□表示“÷”时，+=∴当□表示“÷”时，算式的结果要大．【点拨】本题考查二次根式的加减及二次根式的混合运算，解题关键是掌握二次根式的相关运算法则．22．(1)BD(2)【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；（2）直接利用乘法分配律把变形为，据此求解即可．【详解】（1）解：观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，故答案为：BD；（2）解：．【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．23．(1)32(2)(3)【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式是解答关键．（1）先求得两个小正方形的边长，进而利用长方形的面积公式求解即可；（2）利用长方形纸板的面积减去四个小正方形的面积即可求得底面积；（3）设底面长方形的宽为x，长为3x，利用长方体的容积等于长×宽×高求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴留下的部分的面积为；（2）解：由题意，盒子的底面积为；（3）解：设底面长方形的宽为x，长为3x，由题意，得，∴，∴无盖的长方体盒子的高为，∴无盖的长方体盒子的容积为．24．(1)(2)(3)存在点，的值为或【分析】（1）先求解，，结合条件可得，再化简绝对值即可；（2）根据非负数的性质先求解，，再计算，最后求解平方根即可；（3）先表示点表示的数，求解，分两种情况：①当点在点的左边时，，②当点在点的右