高中数学联赛真题分类汇编集合(解析版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题01集合

1.12008高中数学联赛（第01试）】设A=[-2,4）,B={xW一如一4《）},若8UA,则实数。的取值范围为（

）

A.[-1,2）B.[-2,2]C.[0,3]D.[0,3）

【答案】。

【解析】因为/一ax—4=0有两个实根与=]一旧弓,不=]+[4+胃,

故8£4等价于x,>-2且X2<4,

即:一J4+7>一2且三+14+\<4,

解之得0<a<3,故选D.

2.12007高中数学联赛（第01试）]己知A与8是集合{1,2,3,…，100}的两个子集，满足：A与B的元素

个数相同，且ACIB为空集.若“GA时，总有2“+2GB,则集合AUB的元素个数最多为（）

A.62B.66C.68D.74

【答案】B

【解析】先证|4UB|466,只需证M|《33,

为此只需证若4是{1,2,49}的任一个34元子集，

则必存在“CA,使得2。+2€4,证明如下：

将{1,2........49}分成如下33个集合：

{1,4},{3,8）,{5,12）,{23,48}共12个;

{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共4个;

{25},{27},{29}........{49}共13个;

{26},{34},{42},{46}共4个

由于4是{1,2,49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属

于4,即存在“CA,使得2n+2€4,

如取A={1,3,5,…,23,2,10,14,1825,27,29,…,49,26,34,42,46},B=[2n+2\neA},

则A,8满足题设且|ZU8|=66.

故选B.

3.12006高中数学联赛（第01试）】已知集合4={班工一任0},B={x\6x-b>0}ta,0WM且ACWDN=⑵3,

4）,则整数对（a,与的个数为（）

A.20B.25C.30D.42

【答案】C

【解析】由5x-a<0得％<

由6x—b>0得》>

6

14‘V2fA<rA<<17

要使4nBCN=[2,3,4},则2，即

4<_<5（2°<a<25

I、5

所以数对3,A）共有=30个.

故选C.

4.12005高中数学联赛（第01试）】记集合T={0,1,2,3,4,5,6},M={亭+黄+詈+墨R6T,i=1,2,3

,4卜将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）

AS.5.6,3「5,5,62

A.—I--H--H--B.—I—r4—-H--

77273747727374

c1+±+±+±D

【答案】C

【解析】用[即。2—“以%表示/位?进制数，将集合M中的每个数乘以7%

32

得W={a1-7+a2-7+a3•7+a4|«ieT,i=1,2,3,4}

—{[。1。2a3a6T,i—1,2,3,4},

M'中的最大数为【6666]7=[24OO]lo.

在十进制数中，从2400起，从大到小顺序排列的笫2005个数是2400-2004=396,而[396卜0=[11。旬7，

将此数除以7、便得M中的数是2+++v+不.

故选：C.

5.12004高中数学联赛（第01试）]已知M={（x,y）|/+2y2=3},N={（x,y）|y=,nx+/”.若对所有mdR,均有

MDN#,则b的取值范围是（）

A.V，同B.（4^

c（-¥>¥）>卜裕君

【答案】A

【解析】由MnN片0相当于点（0,份在椭圆久2+2y2=3上或它的内部.

所以4所以—当4当

故选A.

6.12002高中数学联赛（第01试）】知两个实数集合4={%,。2,…,%0。}与8={瓦,占2，“小5。}，若从A到B的

映射/使得B中每个元素都有原象，且〃％）《八。2）（”・《〃。100），则这样的映射共有（）

A.C瑞B.C符C.C%D.C符

【答案】D

【解析】不妨设仇<…〈既。，将A中元素电,。2,…,即。。按顺序分为非空的50组.

定义映射/：A—B,使第，组的元素在/之下的象都是仇（i=l,2,...,50）.

易知这样的/满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A

按号码顺序分为50组的分法数相等.

而对A的分割等价于从A中前99个元素选择49个元素依次作为前49组的最后元素得到的分割（这样保证了每

组非空且与前者一一对应），故A的分法数为C符，则这样的映射共有C/

故选D.

7.12001高中数学联赛（第01试）】已知〃为给定的实数，那么集合“={工4-3x-/+2=0,xCR}的子集的个

数为（）

A.1B.2C.4D.不确定

【答案】C

【解析】

M表示方程好一3x-a?+2=0在实数范围内的解集.

由于/=1+4a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集.

8.12000高中数学联赛（第01试）】设全集是实数，若4={汨疡*W0},8=卜|10/-2=〔ox},则4。®是

（）

A.{2}B.{-1}C.{x\x<2}D.0

【答案】。

【解析】由疡与40得k2,

注意到4中只有一个元素，于是将产2代入8,方程成立，故4ng=0.

（注：这样思考，即使B更复杂一些，计算起来都很简单）

9.11998高中数学联赛（第01试）】若非空集合4={x|2a+l0W3a—5},B={x|3Wg22},则能使AUAnB成立的

所有。的集合是()

A.{a|l<a<9}B.{a|6<a<9]C.{a|a<9}D.0

【答案】B

【解析】由题意得ASB,

(2a+1》3

所以3a-5422,

(3u-5》2a+1

解得64a49.

10.11993高中数学联赛(第01试)】集合A,8的并集408={&,。2，。3}，当小弟时，(A,B)与(B,A)视为

不同的对，则这样的(A,B)对的个数有

A.8B.9C.26D.27

【答案】D

【解析】已知4u8={%,a2，a3}，则作为其子集的4,B最多只有3个元素.

(1)若4={4,。2，。3}，则满足题意的B可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集

合，这样的B有+C；+C：+0=23个，

这时(4,8)有C〉23对.

(2)若A为二元素的集合，则有废种，其对应的B的23个((：？+©+第=22),这时(A,B)有耨•2?对.

(3)若A为单元素的集合，则有C：种，其对应的B有2个，这时(4,8)有C；-2对.

(4)若A是空集，则有酸种，其对应的B有一个.这时(A,B)有C}1对.

所以这样的(A,8)共有©*23+弓・22+g・2+(?22。=33=27个，因此答案是O..

11.11991高中数学联赛(第01试)】设5={(招y)|N一丫三奇数，x,y^R},T={(x,y)|sin(27rx2)-sin(2zry2)=

COS(2TTX2)-cos(27ry2),x,>6/?}.则()

A.scTB.TuSC.S=TD.SnT=0

【答案】A

[解析】当步二/十奇数时，易见sin(27T%2)_sin(2zry2)=COS(2TTX2)—cos(2;ry2)成立

故当(x,y)WS时，它必属于T,于是SGT,

又满足x=y的点(x,y)GT但不属于S.故SQT

12.11990高中数学联赛(第01试)】点集{(居/画/+"+以=/+3}中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.多于2

【答案】B

【解析】由lg(%3+[y3+J=]g%+]gy得％3+[y3+：=孙(X>Oy>0).

由均值不等式％3+iy34-1>3^%3Qy3),1=%y,

当且仅当上式等号成立，解方程得工=由沙=1.

(3、-9

故点集中有唯一点为(小,1).

13.【1989高中数学联赛(第01试)】若时=核忆=占+甘/6/?上~15片0｝,N=｛z\z=V2[cos(

arcsint)+icos(arccos£)],t6R,|t|<1],则MCN中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.4

【答案】A

x=

【解析】M中的点在曲线M:6R,tH0,-1)上，

N中的点在曲线N：卜=12(1],2)«eR,用《])上，

Iy=V2t

曲线M和N的普通方程是M:xy=1(x*0,1).N:x2+y2=2(0<x<V2).

于是曲线M和N的交点在横坐标满足/+4=2,

X2

即x=±1,显见MnN=0.

14.[1989高中数学联赛(第01试)】集合M=｛u|u=12m+8n+4l,m,n,I6Z｝,N-｛u|u=20p+16q

+12r,p,q,rGZ｝,的关系为()

A.M=NB.MgN,NgMC.MuND.MnN

【答案】A

【解析】对N中任一元素u,有u=20p+16q+12r=12r+8(2q)+4(5p)£M.

从而NcM.

另一方面，对M中任一元素u,有u=12m+8n+4/=20n+16/+12(?n—n—l')S.N.

从而MCN.

故M=N.

15.11982高中数学联赛(第01试)】如果凸n边形尸(，仑4)的所有对角线都相等，那么()

A.FG｛四边形｝B.FG｛五边形｝

C.尸W｛四边形｝U｛五边形｝

D.FC｛边相等的多边形｝｛内角相等的多边形｝

【答案】C

【解析】由正五边形所有的对角线都相等，可见选项A不正确.任作两条等长的相交线段AC和8。，这样所得的

四边形A8CQ对角线相等，可见选项8.不正确.其实，选项A与选项B都是选项C的真子集，可不必考虑，因

若选项A或选项3成立，则选项C必成立.显然，联结两条等长且相交的线段端点所得的四边形未必边相等或内

角相等，又得到选项。不正确

16.【1982高中数学联赛(第01试)】设时={(x,y)||xy|=1,无>0},N={Qc,y)|arctanx+arccoty=乃}.那么(

)

A.MUN={(x,y)||xy|=1}

B.MUN=M

C.MUN=N

D.MUN=((x,y)||xy|=1,且x,y不同时为负熟.

【答案】B

【解析】由arctan%+arccoty=兀①

即arctanx—n—arccoty.所以tanarctan%=tan(7r—arccoty),

因此x=②

y

如果式②成立，当x>0,)y0时，有arctan%€(0,彳)，兀一arccoty6(0j)，

可知式①成立；

当x<0,y>0时，有arctanx6(一彳，0),乃一arccoty€(I，"),

可知式①不成立

所以N={(x,y)|xy=-l,x>0}.

而M={(x,y)||xy=-1或1,久>0).

所以NuM,因此MUN=M.

17.12020高中数学联赛B卷(第01试)】设集合X={1,2,…,20}4是X的子集鼻的元素个数至少是2,且A的

所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.

【答案】190

【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素。与最大元素。唯一确定，其中这样的(a,b)的取法

共有废0=190种，所以这样的集合A的个数为190.

18.12019高中数学联赛A卷(第01试)】若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的

所有元素之和，则x的值为.

【答案】-|

【解析】假如定0,则最大、最小元素之差不超过机奴{3,x},而所有元素之和大于机ox{3,x},不符合条件.故

x<0,即x为最小元素.于是3—x=6+x,解得x=-1.

19.【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之

和，则x的值为.

【答案】-3

【解析】条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0,从而l+2+x=0,得"一3.

20.12018高中数学联赛A卷（第01试）】设集合A={1,2,3,99},B={2x\x&A},C={x[2x&A],则

snc的元素个数为.

【答案】24

【解析】由条件知，

BCC={2,4,6,…,198}ng,1,£2,…,）}=[2,4,6,…,48},

故BCC的元素个数为24.

21.【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设集合A={2,0,1,8）,B={2“|aCA}则AUB的所有元素之和是一

【答案】31

【解析】易知B={4,0,2,16},故AUB={0,1,2,4,8,16）.

AUB的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.

22.12014高中数学联赛（第01试）】设集合{；+b[l<a《b42}中的最大元素与最小元素分别为M,m,则

M-m的值为.

【答案】5-2V3

【解析】由14。《/）《2知2+卜42+2=5,

a1

当々=1,〃=2时，得最大元素M=5,又三+b>三+Q>2=28，

当Q=b=8时，得最小元素m=273.

因此M-m=5-28.

23.12013高中数学联赛（第01试）】设集合A={2,0,1,3},集合3={M一不£42一d£人}.则集合8中所有

元素的和为.

【答案】-5

【解析】易知8a{-2,0,—1,—3},

当户一2,—3时，2一r=-2,-7,有2-/把4

而当尸0,—1时，2-f=2,1,有2—rGA.

因此，根据集合B的定义可知8={-2,-3}.

所以，集合8中所有元素的和为一5.

24.12011高中数学联赛(第01试)】设集合4={%,。2，。3，。4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集

合为8={-1,3,5,8},则集合A=.

【答案】{一3,0,2,6)

【解析】显然，在4的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，

=

所以3(即+a2+a3+a4)=(-1)+3+5+8=15,故的+a2+a3+a45-

于是集合A的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3.

因此，集合4={-3,0,2,6).

25.12003高中数学联赛(第01试)】已知{4=工|郎一4》+3<0,xGR},B={x\2'-x+a<0,/一2(a+7)户540,x^R}.

若4UB,则实数a的取值范围是

【答案】—44a4—1

【解析】易得A=(l,3),设/(x)=+a,g(x)=x2-2(a+7)x+5,

要使AUB,只需|x),g(x)在(1,3)上的图像均在x轴下方其充要条件是：

同时有〃1)<0/(3)<0,5(1)<0,g(3)<0.

由此推出—44a4-1.

26.【1996高中数学联赛(第01试)】集合卜|一14噫10<旧”可的真子集的个数是.

【答案】2%-1

【解析】首先考察该集合元素的个数.对xCN,有一1<logilO<

XN

所以一2<lg：4一1,贝h(lgx<2,因此10100.

于是集合大小是90,于是真子集个数是29°-1.

27.11995高中数学联赛(第01试)】设〃={1,2,3,1995),4是〃的子集且满足条件：当xGA时，15

依A,则A中元素的个数最多是.

【答案】1870

【解析】用n(4)表示集合A所含元素的个数.

由题设，k与1531=9,10,…，133)这两个数中

至少有一个不属于A，所以至少有125(125=133—9+1)个数不属于A,

即n(4)<1995-125=1870.

另一方面,可取A=[1,2…,8}U{134,135…,1995),

A满足题设条件，此时n(A)=1870.

所以n(4)的最大值就是1870.

引申对于这种集合问题，一般的解决办法就是作出若干个数对，每个数对里至多有一个数包含在集合里.比如，

如果题目条件说集合里任两个数之差不为”，则可将两个差为〃的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合

里；如果题目条件说集合里任两个数之和不为。，则可将两个和为。的数分成一组，则此组中至多有一个数在集

合里；如果题目条件说集合里任两个数之积不为a,则可将两个积为。的数分成一组，则此组中至多有一个数在

集合里.总之，掌握这种原则之后，将不难解决这种问题.

28.【1991高中数学联赛(第01试)】将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第〃组有2〃一1个奇数进行分

组：{1}(第一组)，{3,5,7}(笫二组)，{9,11,13,15,17}(第三组)，…则1991位于第组中.

【答案】32

【解析】因为1+3+5+・“+(2«-1)=标，

故第〃组最后一个数即第序个奇数为2序一1,

可见有不等式2(n-1)2+141991<2n2-1.

由前一不等式(n—l)24995,故需n432,

由后一不等式，需满足2层》1992,n》32,

故般=32.

29.11991高中数学联赛(第01试)】设集合M={1,2,....1000),现对M的任一非空子集X,令公表示X

中最大数与最小数之和，那么，所有这样的小的算术平均值为.

【答案】1001

【解析】将M中非空子集进行配对，对每个非空集NuM,令X，={1001-x|x6X},

则当Xi也是M的一非空子集，且X,X时，有X'于X；.

于是所有非空子集分成两类：(1)X半X：(2)X'=X.

对于情形⑵中的X,必有。产1001.

对于情形(1)中的一对X与XI有ax+a#=1001x2=2002.

由此可见，所有处的算术平均值为1001.

1.已知M=｛（居y）|yN/｝,N=｛（x,y）|/+（y—a）241｝.则使MCN=N成立的充要条件是（）.

A.a>-.B.a=-.C.a>1.D.0<a<1.

44

【答案】A

【解析】

由MCN=N得NuM,所以圆/+（y_a）2=1在抛物线内部或上，

所以。21+工=三，选A.

44

2.已知集合”=｛1,2，…,10],A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）

个.

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】

注意到，元素和为8的子集A有

⑻、｛1,7｝、｛2,6｝、｛3,5｝、｛1,2,5｝、｛1,3,4）,共6个.选C.

3.已知a为给定的实数，那么，集合用=｛制/一3¥-£12+2=0,%6/?｝的子集的个数为（）

A.1B.2C.4D.不确定

【答案】C

【解析】

由方程/-3%-a?+2=0的根的判别式A=l+4a2>0,知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素,

得集合M有22=4个子集.选C.

4.集合A=｛2,0,1,3｝,集合B=｛x|-xeA,2-*S｝,则集合8中所有元素的和为（）

A.-4B.—5C.—6D.-7

【答案】B

【解析】

由题意可得B=｛-2,-3｝,则集合8中所有元素的和为-5.

故选：B.

5.已知集合集=｛1,234,5｝,8=｛2,3,4,5,6｝则集合。=｛9淮）佃€4668,且关于x的方程/+2ax+炉=。

有实根｝的元素个数为（）.

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

由题意得4=4a2-4b2>0：.a>b：.元素个数为0+14-2+3+4=10,选D.

6.集合Z={xCZ|log2x<2}的真子集个数为()

A.7B.8C.15D.16

【答案】C

【解析】

log2x<2,所以0<xW4,因为xCZ,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为2复1=15.

故答案为：C

7.如果集合4={1,2,3,…,10},B={1,2,3,4},C是A的子集，且CClB片0,则这样的子集C有()个.

A.256B.959C.960D.961

【答案】C

【解析】

满足CCB=0的子集C有26个，所以满足CnBH0的子集C有21°一26=960个.

故答案为：C

8.设A=[—2,4),8={x|M-ax-4WO},若BUA,则实数a的取值范围为().

A.[-3,0)B.[-2,0)C.[0,2)D.[0,3)

【答案】D

【解析】

因为/'(x)=x2-ax-4开口向上，且—ax—4<0}£[—1,4),

故解得a[0.3).

故答案为D

9.设集合P={x|%€R,|x+3|+|x+6|=3},则集合CRQ^().

A.{x|x〈6,或r〉3}B.{x|x(6,S^x)—3}

C.{x|x(一6,跌)3}D.{x|x(-6,-3}

【答案】D

【解析】

因为|x+3|+|x+6|=3,所以由绝对值的几何意义得-6WxW-3.

则「={刈-6与尢0—3}.

故CRP={x|x（-6,或x）一3}•选D.

10.已知集合M={x|x=sin做声,meZ},N={y|y=cos9,neZ},则M,N的关系是（）

63

A.M&NB.M=NC.N筝MD.MCl/V=0

【答案】B

【解析】

易由周期性知M=N={±1,±|）.

11.在复平面上，任取方程z】。。-1=0的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为一

【答案】39200

【解析】

易知zi0°-1=0的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为即将单位圆均匀分成100段小弧.

首先选取任意一点4为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B和顶点C,设4B弧有x段

小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，贝IUABC为锐角三角形的等价条件为：

x+y+z=100%+y+z=97可

114y,z449=104y,z448

计算方程组①的整数解个数，记

Pi—[x\x+y+z=97,%>49},P2-{y\x+y+z=97,y>49},

P3={z|x+y+z=97,z>49},S={(x,y,z)|x+y+z=97,x,y,z>0},

则|RcEnp3|=|S|-|PiUP2UP3|

=099-(1^1+闯+\P3\-2y£n号I+|P1CP2cP3I)=C99-3音0=1176.

由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为*3=39200.

故答案为：39200.

12.已知集合A={g1,k+2,…，k+〃},鼠”为正整数，若集合A中所有元素之和为2019,则当〃取最大值

时，集合A=.

【答案】{334,335,336,337,338,339)

【解析】

由已知生要Ixn=3x673.

当n=2m时，得到(2k+2m+l)m=3x673m—3,n—6,k—333；

当n=2m+l时，得到(k+m+l)(2m+1)=3x673=>m=l,n=3.

所以”的最大值为6,此时集合A={334,335,336,337,338,339}.

故答案为：{334,335,336,337,338,339}.

13.已知)，存0,且集合{2r,3z,孙}也可以表示为{y,2/，3xz},则a.

【答案】1

【解析】

易知孙z#),由两集合各元素之积得6/彩=6x3yz,x=1.

经验证，X=1符合题意.

故答案为：1.

14.已知实数a>—2,且4={x|-2<x<a},B={y\y=2x+3,xeA),C={z\z=x2,xe4}.若CUB,

则a的取值范围是o

【答案】53]

【解析】

由题意知B=[