高中数学数列求和之错位相减法、裂项相消法练习题

数列求和之错位相减法、裂项相消法

一、单选题

1.已知等差数列｛册｝的公差为2,前〃项和为Sn,且S2,S4成等比数列.令

%=」—，则数列｛砥｝的前50项和Go=()

unun+l

AsoR竺c100[9

•5150•101101

2.若数歹U｛高｝的前A项和为〃，则满足Tn＞蜷的最小正整数〃是()

A.10B.11C.12D.9

已知数列｛册｝的前〃项和为先,若，则

3.an=*+nSs=()

A.1B.3JC-6D.I

4.已知数列｛斯｝的前n项和与满足S"=n2,记数列｛/七｝的前n项和为

nCM.则Ro的值为()

A12.R%c-n—

39394141

5.定义为〃个正数Pl，P2,P3.・.Pn的“均倒数”，若已知数列｛a"的前〃项的

11

“均倒数”为号？又匕=竽，则‘一+--卜+…+—()

八%也b2b3匕3b4匕2015b2016

A”「2015

B.然L2016D—

*20142015

二、解答题

6.已知等差数列｛即｝中，a3=3,a2+2,a4,一2顺次成等比数歹U.

(1)求数列｛a"的通项公式；

(2)记“=陪空生，｛砥｝的前〃项和上，求$2…

anan+l

7.设数列｛。建｝满足的+3a2+…+(2n—l)an=2n.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛悬｝的前A项和.

8.在等差数列｛a3中，的=3,其前〃项和为Sn,等比数列｛%｝的各项均为正

数，br=1,公比为0,且力2+$2=12,0=含

(1)求册与bn；

1II2

(2)证明：—+—

»23n$

9.已知等差数列｛%｝的公差d70,若。3+。9=22,且a5,a8,%3成等比数

歹U.

(1)求数列｛&J的通项公式；

(2)设“=曲应，求数列｛g｝的前〃项和%.

anan+i

第2页，共21页

2

10.已知数列｛a九｝的前〃项和为S九，且的=2,Sn=an+n-n.

(I)求册；

(II)设匕=±—,求数列｛%｝的前〃项和

un,un+i

11.已知数歹见M｝满足工+-+-+-=v(«eN*).

(I)求数列的通项公式；

(H)设bn=a/n+i，Sn为数列｛3｝的前〃项和，求%.

12.已知｛演｝为等差数列，｛%｝为等比数列，的=瓦=1,a5=5(a4-a3),b5=

4(^4-坛)・

(I)求｛即｝和｛%｝的通项公式;

(对'-2泡.“为奇数

(11)对任意的正整数〃，设。““"即+2，求数列｛%｝的前2n

詈工”为偶数

打计I

项和.

13.已知数列｛%｝为等差数列,其中:a2+a3=8,a5=3a2.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记与=房］，设｛%｝的前八项和为％.求最小的正整数〃，使得为>

2020

2021,

14.等差数列｛%｝中,a3=4,as+a8=15.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设%=77a，数列｛%｝的前〃项和为又，求证：Sn<9；

(n-rz.)an，

an

(3)设％=anx4,求数列｛%｝的前〃项和7n.

15.已知数列｛2厮｝是等比数列，且的=3g=7.

(1)证明：数列｛aj是等差数列，并求出其通项公式:

(2)求数列｛廉品词｝的前〃项和立•

第4页，共21页

16.已知数列｛a九｝满足&i+i=2an-l(n6N*),ar=2.

(I)求证:数列｛a〃-1｝为等比数列，并求数列｛a九｝的通项公式;

(1【)令%=n(an-1),求数列｛cn｝的前〃项和Sn(nEN*).

17.设｛an｝是等差数列，｛%｝是等比数列,公比大于0,已知的=瓦=2,b2=

。2，63=@2+4・

(1)求｛a九｝和｛b九｝的通项公式；

(2)记d=黑,nWN*,求数列｛cn｝的前〃项和Sn.

18.数列｛a"满足：的+a2++…+=:(3n—1).

(1)求｛dn｝的通项公式：

(2)若数歹!]｛bn"前足an=3a油'求9n的前n项和

19.已知公差为正数的等差数列｛a“｝和等比数列｛%｝中，为=瓦=l,a2=b2la3+

1=4，

(1)求数列｛an｝和数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝的前〃项和为荒，求数列｛斯-7n｝的前〃项和。

20.已知公比大于1的等比数列｛册｝的前〃项和为右，的=2,且。6,S4,一。2成

等差数列.

(1)求On；

(2)设勾=手，求数列｛d｝的前n项和

an

21.根据如图程序语句，将输出的a值依次记为。1，。2，。3，。4，.・％1・

(1)与；1，。1，。2，。3，。4；

(2)证明：｛an-l｝是等比数列，并求｛an｝的通项公式；

第6页，共21页

INPUTn

z=1

a=2

DO

PRINTa

i=i+1

a=2a-1

LOOPUNTILi>n

END

(3)求数列｛兀的前〃项和7；•

22.已知等差数列｛即｝的前〃项和为%,若Sm_i=-4,Sm=0,Sm+2=14(m>

2,且mWN*)

(I)求勿的值;

(11)若数列也｝满足等=log2bn(neN+),求数列｛&+6)•%｝的前〃项和.

23.已知数列｛册｝的前〃项和Sn=-1n2+kn(其中是kGN*),且%的最大值为

8.

(1)确定常数A,并求与；

(2)设数列｛簧｝的前〃项和为〃，求证：Tn<4.

答案和解析

1.【答案】D

本题考查等差数列的通项与求和公式，等比数列的性质，考查裂项相消求和，考

查计算能力，属于基础题.

依题意，求得an=2n—1,则加=37鼠+】)="亳一焉)，根据裂项相消

求和即可.

【解答】

解：因为S1=&，$2=2%+等X2=2%+2,54=4%+等X2=4al+

12,

由题意得(244-2)2=aK4ai4-12),解得%=1,所以％=2n-1,

则=---------=-(----------),

人」71(2n-l)(2n+l)2k2n-l2n+l7

EHT1"1.11,11,,11、50

bU2k33557991017101

故选。

2.【答案】c

本题考查裂项相消法求和，属于基础题.由

高=(2”+1；2吁1)=《高-鼻，利用裂项相消法求出加得到足

T>黑的最小正整数n.

nZU7

【解答】

1_1_111

解：由4712T=(2n+l)(2n-1)=2^2n-1-2n+V

得至—-[(1+(-------)]=-(1-----)=---，

n21A3，、35，v2n-l2n+l/J2'2n+l，2n+l

..._100n100hn/.a100

所以〃〉荻，n即n罚〉荻，解得”丁，

所以满足〃>黑的最小正整数n是12,

故选C.

3.【答案】c

【解析】脩a小念=:言

所以$5=(1_}+G_1)+…+号_2)=1_:=1•

第8页，共21页

故选：c.

利用裂项消项法求解数列的和即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，是基本知识的考查.

4.【答案】c

本题考查数列&与2的关系式，以及裂项相消法求数列的和，同时考查运算求解

能力.根据题意得当n22时即=S"-Sn_i化简，再验证ai=S「求出时代入

11

化简，利用裂项相消法求出数列｛丁一｝的前项和为

TanVan—+lanan+l20Bo-

【解答】

解：・.・Sn=n2,

二当71=1时，Q]=Si=1,

22

当九>2时，an=Sn-Sn_i=n-(n—l)=2n-1,

an=2n—1,(nEN*)

ii1i7ll、

...------------------------------------------------------------------—(-------------------j

vy

anan+1(2n-l)[2(n+l)-l](2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

1111111111

•1,?20=2(1-3+3_5+5_7+-+37-39+39-41)

11

214/

140

=2X41

20

二K

故选C.

5.【答案】C

【解析】解：由己知定义，得到二工上床1

----rfln2n+l

••at+a24-----1-an=n(2n+1)=Sn,

即S九=2n2+n.

当?i=1时，%=Si=3.

22

当n>2时，an=Sn-Sn_i=(2n+n)-[2(n-l)4-(n-1)]=4n-1.

当九=1时也成立，

：•an=4n—1；

bn=竽=九

,1111

bn=n'则nll前二=诉后=7

：•----H--------1--------F•••H------------=(1—)+(-------)+…+(-------------)

匕1匕2b2b3匕3匕4匕2015b201622320152016

11I11_LI11

=——-4-----十•••十------------------

22320152016

=1--

2016

_2015

―2016)

故选C.

由“均倒数”的定义，求得无,即可求得。小求得勾，利用裂项法即可求得答

案.

本题考查数列的求和，数列的新定义，考查“裂项法”求数列的前〃项和，考查

计算能力，属于中档题.

6.【答案】解：(1)设等差数列｛a九｝的公差为〃,

因为g=302+2,a4,2顺次成等比数列,

所以欣=(Q，2+2)(%—2),

所以(3+d)2=(5-d)(l+3d),

化简得c/2—2d+1=0,解得d=1.

所以%=%—2d=1,

所以an=%+(ri—l)d=1+(n—1)x1=n.

(-1尸。23+1_(_])九271+1(T)飞+)，

(2)由(1)得与QnQn+1-)n(n+l)W

所以S2n=瓦+>2+力3+…+b2n

1111111

=-(l+2)+(2+3)-(3+4)+-+(2^+2^Ti)

=T+*=-2n

2n+l

7.【答案】解：(1)数列｛%｝满足的+3a2+…+(2n-1)0n=2n(i)

当九>2时，4-3a2H-----F(2n-3)%1T=2(n—

(i)一(ii)得：(2n-l)an=2.・・.an=(n>2)

当？1=1时，QI=2,上式也成立・・,・斯=

1"2n-l

(2)v=------------=----------.

172n+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

・,・设数歹的前n项和为Sn,则S=(1—：)+(：—：)+…+(―^――

，九十，5n351

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_L_)=i__2_=上

2n+l，2n+l2n+l

（解析】本题考查数列通项求法及利用裂项相消求和问题

(1)因为+3a2+…+(2九-l)cin=2.n(T),

当九>2时，a1+3a2H---F(2n-3)an_i=2(n-l)(ii)

⑷―（ii）即可求得结果.

⑵因为赢21盛1，利用裂项相消法求和即可.

(2n-l)(2n+l)2n-l

b2+$2=12

8.【答案】解：（1）设｛每｝的公差为&因为£2

q匕2

(q+6+d=12

所以，,解得q=3或q=—4(舍)，d=3.

I"一q

71

故an=34-3(九—1)=3n,bn=3T,

(2)证明：因为%=当产，

所以5=荷餐=1^一金7),

故—1I1--F…H1

乂SiS2sn

21111111

=i[(1-2)+(2-3)+(3-4)+",+(n~^i)]

21

/a一羡iR

因为nNl，所以0<一三，于是1--Jr<1>

n+ln+l

所以家1一荒)〈泉

即…+21

【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和以及数列与不等式的

关系，考查计算能力，属于中档题.

（1）利用等差数列以及等比数列列出方程求出公差与公比，然后求解通项公式.

（2）化简通项公式利用裂项消项法，求解数列的和即可.

9.【答案】解：（1）设等差数列｛%J的首项为两，公差为d（dOO）,

由。3+。9=22,且a$，a8,四3成等比数列，得

+lOd=22，解得郎二:

+7d)2=(Qi+4d)(%+12d)

**•CLn—%+(ri—l)d=1+2(zi—1)—2n—1;

1

九

(an+l)2_424n2-1+1=]+1=1+!(―_____

2

anan+1-(2n-l)(2n+l)4n-l-十(2n-l)(2n+l)-十2’2n-l2n+l

11111111

S=1+-(1--)+1+-(---)+•••+1+-(――----)

nL3235Lzn—1zn4-1

、,n

=n+,1-(~1----1-)=nH----.

2'271+1，2n+l

【解析】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了分组求和

法和裂项相消法求数列的前〃项和，是中档题.

(1)设等差数列｛aJ的首项为由,公差为d(dHO),由已知列关于首项与公差的方

程组，求解首项与公差，代入等差数列的通项公式可得数列的通项公式；

(2)把数列的通项公式代入勾=曲X，变形后利用裂项相消法求数列｛%｝的

an^n+l

前〃项和%.

2

10.【答案】解：(I)的=2,Sn=an+n-n.

22

n之2时，cin—Sn-Sn_i=an+n-n—[cin-i+(九一I)—(n—1)],

可得Qn_i=2n—2,即有=2n,

对九=1也成立，

可得数列｛册｝的通项公式为。九=2九，ne/V*；

(TT\]j=__-__=___1____=-(-____

I'nOnQn+12n-2(n+l)4)n+l，'

可得数列｛b九｝的前n项和7^=^(1—|+|—|++—

=i(l--)=^.

4'n+174n+4

【解析】(I)由数列的递推式：几22时，Qn=Sn—Sn_i，化简可得所求通项公

式；

(H)求得与=壬一=方肃7；=火；一击)，再由数列的裂项相消求和，化简可

、,andfi+iz7i-z(?i+i)4nn+i

得所求和.

本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于

基础题.

11.【答案】(本小题满分12分)

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11

解析：(1)当71=1时，工=1・・・%=2,

当"22时,专+»•・•+*=*①

1,1,.15-1)2

—I-----1------1------=,②

ala2an-l2

①-②得，十=n2(n-l)2_2n-l

an222

2

•••nN2时，an=痛不

又由=2满足上式,

2

Cl=--------

n2n-l

2211

(2)%=即即+1=R.莉n=2(引--)，

.$=2(1-}+2(译)+…+2橐一熹)=2(1一由=篇

【解析】⑴由条%+*+•••+高=9，得”22时,4K•••+£=

炉,两式相减即可求得通项公式;

(2)hn=anan+1=采用裂项相消，即可求出｛%｝的前〃项和治.

本题主要考查了利用数列的递推公式册=Sn-5加1求解数列的通项公式，以及裂

项相消求数列的前〃项.需注意的是在求通项公式时不要漏掉对n=1的检验.

12.【答案】解：(I)设等差数列｛须｝的公差为&等比数列｛%｝的公比为4

由%—1,a5=5(a4—«3),可得d=1.

从而｛a九｝的通项公式为a九=n.

由瓦=1也=4(Z>4—%),

又q。0,可得q2—4q+4=0,解得q=2,

从而｛4J的通项公式为“=2"T.

nnn

(3Qn2)bn_(3n-2)2-1_2+1_2t

(H)当〃为奇数时，cn=

anan+2n(n+2)n+2n

当〃为偶数时，4=尹=展

0n+l乙

对任意的正整数n,有以］C2j=(W一W)=总T，

和2k=7=】得=5+W+*+-+|S+需①

由①得打2=1C2k=/+*+*+“+需+裂②

2_2n-l_海-看）1_271-1

由①~②得Rkl。2k=3+）+“

n

而-4n+l-—4-4+1

由于海-亲）12吁1_22112n-l1_56n+5

山」1」44n+1-33*产44n4-123x4n+1

4

从而得：送*21=：粽・

因此，&21Ck=Eb】C2kT+EklC2k=W6n+54

9x4n9

所以,数列｛7｝的前2〃项和为W-翳q.

【解析】本题主要考查的是等比数列、等差数列的性质、通项公式以及求和公

式，以及裂项相消法、错位相减法求和，难度较大，属于较难题.

(I)根据等差数列等比数列性质求公差公比即可.

(II)分别求出奇数项与偶数项的和，再相加即可.

13.【答案】解：(1)设等差数列｛时｝的公差为4

依题章有01+3d=8,得=L,

世心息+4d=3al+3d,何卜=2,'

从而Q72=2zi—1,TLGN*,

211

(2)因为6=——=――-

nCln^n+l271一1271+1

所以％=

n1--3+3--5-+—I2n--l------2-n-+-l-=1---2--n-+-l-,

令1一一一〉翳，解得n>1010，故取71=1011.

【解析】(1)利用数列的递推关系式，结合已知条件列出方程组，求出数列的首项

与公差，然后求解通项公式.

(2)化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，利用不等式求解即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，不等式的解法，是中档

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题.

14.【答案】（1）解：设等差数列｛即｝的公差为"，•••。3=4,a5+a8=15.

・,・a1+2d=4,2al+lid=15,

解得a1=2,d=1.

二a九=2+(九—1)=几+1.

(2)证明：由(1)可得：an=n+l.

.1111

bn=-----=--------=--------,

(n+2)an(n+l)(n+2)n+1n+2

二数列｛九｝的前n项和为%=一：：一111

b3+—[+.•.+/T2n+2<2>

ann+1

(3)解：cn=anx4=(n+1)-4.

・,•数列｛7｝的前n项和〃=2x42+3x43+4x44+…+(九+1).4n+1,

4〃=2x43+3x44+…+九•4n+1+(n+1)•4n+2,

-37n=2x42+43+44+…+4n+1-(n+1)-4n+2=16+/-(n+1)-

解得：7n=即+2)=+2-32

【解析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,由（13=4,a5+a8=15.可得的+2d=

4,2%+lid=15,解出即可得出.

（2）由（1）可得：a=n+l.b=—^—=-^---^-,利用裂项求和方法即可得

nn（八十4）口71***J.7x"i"N

出.

（3）cn=在x4a”=（n+1）•4"1.利用错位相减法即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

15.【答案】（1）证明:数列｛2而｝是等比数列，设公比为°,%=3,。3=7,

由题意得：q2=4

“2al23=2=16,

・•・q=4,

・・・2an=23・4nT=22n+1,

:.an=2n+1.

%=3也满足条件，

•・・数列｛Qn｝是等差数列.

11

______ii_=ifi__口

(2)解：bn=J

(an-l)(an+l)2n(2n+2)4\nn+1/

,3=海-£)+(»§+…+(/击)]=

【解析】本题考查等差数列的通项公式及数列求和，属于中档题.

(1)根据等比数列的性质得q2=券="=24=16,q=4,2an=23-4"-1=

22n+1,从而可求得通项，即可证明数列是等差数列.

⑵由⑴可求得勾=^^而=肃的=；(；—・),根据裂项相消法求和即

可.

16.【答案】解：(I)证明：an+1=2an-l,

可得a^+i—1=2(an—1),

则数列｛a“-1｝为首项为1,公比为2的等比数列，

且斯—1=2nT,

即册=1+2"T；

n-1

(II)cn=n(an-1)=n>2,

前〃项和L=1-20+2-2+3-22+-+n-2n-1,

23n

2Sn=1-2+2-2+3•2+•­•+n•2,

两式相减可得一Sn=1+2+22+-+2n-1-n-2n

71

=-1-2---n-2,

1-2

化简可得%=(n—1)-2n+1.

【解析】(I)将原式两边减1,结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；

n1

(II)cn=n(an-l)=n-2-,由数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列

的求和公式，化简整理即可得到所求和.

本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列的求和：错位相减法，考

查运算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛斯｝的公差为d，等比数列｛匕｝的公比为g,则

q>0.

。严:：解得:d=2

由题意,

q，=6+dq=2

第16页，共21页

故a九=2+2(n-1)=2n,

nn

bn=2-2-i=2.

(2)vcn=nn，,

l'n2bn2-22

Sn=工+gW+…+2(T)9

•■•衿=蠢+襄…++岛②

n.1n

----=1

①一②得：沁=3+蠢+…+*一号2n+1--------2n2n+1

rn1n

:、ST>=2---------

"2n一12n

【解析】(1)设等差数列｛an｝的公差为d等比数列出n｝的公比为0,则q>0,由

题意列关于d与g的方程组，求解可得d与g的值，则和｛%｝的通项公式可

求；

(2)求出数列｛.｝的通项公式，再由错位相减法求数列｛%｝的前〃项和无.

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前〃项和，训练了利用错位相减法求

数列的前〃项和，是中档题.

18.【答案】解：(l)Sn=%+。2+。3+…+an,

+的■)---an(30—1),

n=1时,%=1,

n_1

n>2时，tin=5^-Sn_x—3,对n=1也成立,

n_1

an=3,nGN*；

(2)由%=3而如，所以匕=(n-l)($nT,

2

Tn=b1+b2+-+bn=^+2x(|)+…+(ri-I)©)-】①,

23

\Tn=(|)+2x(|)+-+(n-2)(》n-i+(n-1)(|)^②，

①一②得17n=|+(|)2+…+C)nT—5—1)($%

河=喑工(1由，

.•.7；=|一(等)(9加1.

【解析】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的通项公式和数列的错位相减

法求和，化简运算能力，属于中档题.

(1)运用数列的递推式，化简可得所求通项公式；

(2)求得bn=5-l)C)n-】，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公

式，可得所求和.

19.【答案】解：(1)设公差，公比分别为d,q;

II：f)二2,解得：d=±L又d>0,故d=1,q=2为所求。

I14-Za+1=q

n-1

当九=1时的=Si=1满足上式，故a九=1+(n-1)=n(n6N*),bn=1-2=

2九一1(九€N*).

nn

(2)VTn==2-l,.-.an-Tn=n-2-n,

记数列｛n­2埠的前n项和为4n,则

12n

An=1,2+2,2+...—1),2"—i+n,2,①

23nn+1

2/ln=1-2+2-2+...+(n-1)-2+n-2f②

由①一②得：一仆=1•21+1-22+...+1-2n-n-2n+1=人窘1)一八2"i=

2n+1-2-n-2n+1=(1-n)-2n+1-2,

n+1

An=(n-1)-2+2.所以｛斯•〃｝的前〃项和为：

(n-1)-2n+1+2-(1+2+…+n)=(n-1)•2n+1+2-

20.【答案】解：(1)%=2,由(Z6,S4,-。2成等差数列可得2s4=。6-。2，即

2X%胃=2xq5-2xqnq=2,

则册=2n.

、入

0(2泡=2n+l

/3572n-l2n+l.572n-l2n+l

l=-+-+—dr—+»2/=3Q4--+-H1-——r+■-r-r,

n〃22223271T2nnL2222n~22n-1

由TLFU。T0,22.,2,22n+l.1(1一2n+l-

o

两式相减，Tn=3+-++—+—--=3+-----7~=5一

2

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2九+5

2n

【解析】(1)运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式，解方程

可得g,进而得到所求通项公式；

(2)求得“=誓，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所

求和.

本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法

求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

21.【答案】(本题满分12分)

解：(1)由程序语句得：

=2,=3，=5,a4=9.......(2分)

证明：(2)由程序可知，an+1=2an-lfn6N\

•••皿?=也三二=2,2为常数

an-1an-1

故｛出―1｝是等比数列，公比为2,首项为=

n

an-1=1x2吁1,即｛怎｝的通项公式册=2t+1,neN*.......(7分)

n-1n-1

解：(3)由(2)可知，nan=n(2+1)=n-24-n,

7^=1x2°+2x21+3x22+-+(n-1)x2n-2+nx2n-1+(1+2+3+

•••+n),

设Sn=1x2°+2x21+3x22+•••+(n-1)x2n-2+nx271T,①

则=1x2