余弦定理、正弦定理应用举例高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.4

平面向量的应用课时5

正弦定理、余弦定理应用举例学习目标

1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.（数学抽象）

2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.（数学运算）

已知三角形中的三个元素解三角形的策略：（1）已知两边及其夹角（SAS）；（2）已知三条边（SSS）；（3）已知两边及一边对角（SSA）；（4）已知两角和一边（ASA，AAS）；注：已知两边或三边的用余弦定理求解；

已知两角的用正弦定理求解.—

用余弦定理求解—

用余弦定理求解—用正、余弦定理都可解—

用正弦定理求解新知生成1.仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫______，目标视线在水平视线下方时叫______（如图所示）.

仰角俯角夹角

在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，我们常会碰到一些测量专有概念：

目标

具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．

方位角θ的范围是0°≤θ<360°3.方位角N方位角60°目标方向线一、测量距离1.两不相通的距离

如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用以下哪组数据？（）A．α，a，b

B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b一、测量距离1.两不相通的距离

如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用以下哪组数据？（）A．α，a，b

B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解：由余弦定理，可得C∴选择a，b，γ可直接求出AB的长度.小结：A，B两点间不可通或不可视先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB2.可到达点与不可到达点之间的距离

如图，A，B两点分别在河的两边，测量A，B两点间的距离.a•2.可到达点与不可到达点之间的距离

如图，A，B两点分别在河的两边，测量A，B两点间的距离.解：如图，在A的一侧选取点C，测得由正弦定理，得a•小结：A，B两点间可视，但有一点不可达以点B不可达为例，先测角A，C，AC＝a，再用正弦定理求AB探究新知3.两个不可到达点之间距离

(课本例9)如图示，A,B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,B的距离.探究新知3.两个不可到达点之间距离

(课本例9)如图示，A,B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,B的距离.解：如图,在A,B两点的对岸选定两点C,D，测得a小结：A，B两点都不可达测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB.a通过以上例子，你能总结出用正余弦定理解决实际问题的方法什么吗？数学问题（三角形）实际问题数学问题的解（解三角形）实际问题的解作图正余弦定理翻译&1&

求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.

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求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.

新知生成1.基线的概念与选择原则（1）定义：在测量上，根据测量需要适当确定的______叫作基线.（2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的__________，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越____.2.测量不可到达的两点间的距离，若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若两点均不可到达，则需用3个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到.线段基线长度高

A

底部不可达

(课本例10)如图示，AB是底部B点不可到达的一座建筑，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.二、测量高度

底部不可达

(课本例10)如图示，AB是底部B点不可到达的一座建筑，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.∴建筑物高度为解：如图示，选择一条水平基线HG，使H,G,B三点在同一条直线上.在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，测角仪器的高是h.那么，在∆ACD中，由正弦定理，得二、测量高度三、测量角度三、测量角度课堂小练B1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.

(

)（2）两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.

(

)（3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.

(

)（4）高度问题大多通过正（余）弦定理构造直角三角形来解决.

(

)1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.

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)√（2）两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.

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)√（3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.

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)√（4）高度问题大多通过正（余）弦定理构造直角三角形来解决.

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