平面与平面垂直 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直第八章

立体几何初步8.6.3

平面与平面的垂直（2）一二三学习目标理解与掌握面面垂直的性质定理能用三种语言描述面面垂直的性质定理能够深入理解二面角及面面垂直的本质学习目标复习回顾1、二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．3、平面与平面垂直的判定定理2、平面与平面垂直的定义一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示：b两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.复习回顾？

下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．ab//a→b//α，b与a相交

→b与α相交追问

当b⊥a时，b与α有什么位置关系？bAc新知探究问题1

如图，设α⊥β，α∩β=a.则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？b与a平行或相交设b与平面α的交点为A,过A在α内作直线c⊥a则直线b,c所成的角就是二面角α-a-β的平面角∵,∴b⊥c.又因为b⊥a，a和c是平面α内两条相交直线∴b⊥α概念生成平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.ab这个定理可以用于证明直线与平面垂直.面面垂直

线面垂直关键点：①线在平面内.②线垂直于交线.新知探究问题2

设α⊥β，P⊂α，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系?aaβαPβαP结论：两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.bb直线a在平面α内设α∩β＝c．过点P在平面α内作直线b⊥c．由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合因此a⊂α．问题3

对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论?b//αbabbγ⊥βa新知探究典例解析证明：例9

如图，α⊥β，b⊥

β，b

α，求证：b//

α.cba分析：寻找平面α内与b平行的直线.例10

已知：如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.

D证明：过点A作AD⊥PB，垂足为D.∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平PBC=PB，∴AD⊥平面PBC.∵BC

平面PBC，∴BC⊥AD.又∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴BC⊥PA.又PA∩AD=A，∴BC⊥平面PAB.PABC典例解析新知应用如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.∴AD⊥PB解：(1)如图，连接PG，BD∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°∴△ABD是正三角形∵G为AD的中点∴BG⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，BG⊂平面ABCD∴BG⊥平面PAD(2)由(1)可知BG⊥AD∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.又PG∩BG=G∴AD⊥平面PBG巩固练习课本P1611.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.

(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.×√√2.若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是().(1)平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线.

(2)平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线.

(3)平面α内的任一条直线必垂直于平面β.

(4)过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β.

(A)3(B)2(C)1(D)0C巩固练习课本P161B3.已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的().

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解：a//β.理由如下：BaAb4.已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a//α，a⊥AB，判断直线a与平面β的位置关系，并说明理由.巩固练习课本P165

∴平面AEF⊥平面PBC解：平面AEF⊥平面PBC.理由如下：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面ABCD又平面PAB∩平面ABCD=AB且BC⊥AB∴BC⊥平面PAB∴BC⊥AE

∴AE⊥PB∵PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB