利用函数性质判定方程解的存在性高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4.1函数与方程利用函数性质判定方程解的存在问题导入方程的实数根函数的图像与

x轴的交点坐标

思考：一元二次方程

的解和二次函数的图像与x轴的交点有何关系？-23-6

方程

的解就是函数

的图像与x轴交点的横坐标.自己试一试oxy

不是，函数的零点是实数；当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零.问题一：零点是点吗？零点的定义：函数的图像与横轴的交点横坐标称为这个函数的零点.想一想引入概念

函数y=x2-x-6的零点就是方程x2-x-6=0的实数根例1求函数的零点.数形理解概念例2

求函数的零点.

解

方程的根，故函数的零点是0.小试牛刀oyx-1小结：求函数零点的方法

1.求对应方程的根.2.作出该函数的图像，观察图像与横轴交点的横坐标.如何判定函数在区间内有零点？合作探究第1组男生宿舍食堂男生宿舍食堂探究1如何判定函数在区间内有零点？

你能画出课代表的路线吗？课代表一定过了马路吗？起点终点合作探究动手画一画起点终点yoA(a,f(a))B(b,f(b))

将中间浙大路抽象成x轴，在x轴上取一点o为坐标原点，如图建立坐标系，将课代表的两个位置抽象为A、B两点，A、B两点对应的横坐标分别为a、b

.

当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB之间这段连续的函数图像与x轴一定有交点？此时A、B两点的纵坐标符号有何关系？如何用数学式子来表示?yoA(a,f(a))B(b,f(b))

f(a)·f(b)<0函数

在区间

的图像是连续曲线.合作探究探究2满足f(a)f(b)<0，函数f(x)在(a,b)内一定有零点？合作探究探究3

若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内只有一个零点吗?

至少有一个yo(a,f(a))b(b,f(b))

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即有f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.xyOxyObaabcc归纳定理函数零点存在性定理探究4

在函数零点存在性定理基础上加什么条件？函数f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点？xyOxyObaabcc合作探究结论：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续的曲线，并且有

f(a)·f(b)<0,且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的零点。

1.设,则下列区间中，使函数有零点区间是（）

CA.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）课堂巩固2.判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗？2.若函数y=f(x)

在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0吗？请同学们思考:（1）不满足函数零点存在性定理条件时函数也可能有零点;（2）定理反之不成立.想一想收获结论理解定理思考题1.当a为何值时？方程(x-2)(x-5)=a的解有0个，1个，2个.2.当a为何值时？方程|(x-2)(x-5)|=a的解有0个，2个