高中数学《条件概率及全概率》考点讲解与训练

<7.1条件概率及全概率》考点讲解

【思维导图】

一般地，设A、B两个随机事件，且P(A)>0,我们称为在事件A发

概念生的条件下，

/-------\事件B发生的条件概率，简称条件概率

”(AB)

P*)=0=豆=£^

条n(A)"⑷P(4)

件而

概

率公式(如脾件A、B是相互蚪的事件，即P(AB)=P(A)P(B),

条

件

概且P(A)>0,则P(B14)==尸⑻

率

【概率的乘法公式、P(.AB)=P(B/4)闰.4)

及

全

概

率

全

概fift,设A?、.'..工口是T且两两互斥的事件，4U4U4U.“U4=Q

率

公且R#>0,i=12..n则对于任意事件BuQ,有P（B）=2P（4）P（5/4）

式i-1

p（4）p（8/4）p（4）p®4）―一、.、

P（A/B）=.—-1x2、J.■.nJ

iP（B）-

£P（4）P（5/4）

k

【常见考点】

考点一条件概率)

条件概率与全概率

考点二全概率公式，

考法一条件概率

【例1】(1)把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为

“至少有一次点数是5"，则P(N|例)等于()

（2）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次

抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）

A.3/5B.3/4C.1/2D.3/10

【一隅三反】

1.一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为1、2、3、4、

5、6,从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S.在己知S为偶数的情况

下，S能被3整除的概率为（）

1152

A.-B.-C.—D.一

43123

2.盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1

个.己知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（）

1277

A.—B.C.-D.—

59910

3.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环

境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A为“恰有2名同学所报项目

相同”，事件8为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（8|A）=（）

911

4.根据历年气象统计资料•，某地四月份吹东风的概率为二，下雨的概率为二，既吹东

8

风又下雨的概率为二.则在下雨条件下吹东风的概率为（）

考法二全概率公式

【例2】.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过

胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居

民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率.

【一隅三反】

1.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验

反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A|C）=0.95,

P（Z|e）=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即

P（O=0.005,试求尸（C|A）.

答案解析

考法一条件概率

[例1]（1）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为

“至少有一次点数是5"，则P（N|M）等于（）

2511

A.-B.-C.-D.-

3923

（2）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次

抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）

A.3/5B.3/4C.1/2D.3/10

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）事件M为“两次所得点数均为奇数”，则事件为（1,1）,（1,3）,（1,5）,

（3,1）,（3,3）,（3,5）,（5,1）,（5,3）,（5,5）,故〃⑼=9；N为“至少有一次点数

是5"，则事件为（1,5）,（3,5）,（5,1）,（5,3）,（5,5）,n（MN）=5,所以

t故选:B.

（2）记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，

则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P（A）==,p（4B）=—x—=—=一,

5542010

3

一1

-故选

10一

所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（632-

5一

C.

【一隅三反】

1.一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为1、2、3、4、

5、6,从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况

下，S能被3整除的概率为（）

1152

A.-B.-C.—D.一

43123

【答案】B

【解析】记"S能被3整除”为事件A，“S为偶数”为事件B,

事件3包括的基本事件有{1，3},{1,5},{3,5},{2,4},{2,6},{4,6}共6个.

事件包括的基本事件有{1，5}、{2,4}共2个.

n(AB)_2_1

则P(A|B)=

n(B)-6-3

故选:B.

2.盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1

个.已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（）

7

D.To

【答案】C

【解析】设第一次抽到的是合格品，设为事件A，第二次抽到的是合格品，设为事件3,

/I、P（AB）n(AB)8x77

贝"（用力K

H(A)-8^9-9

故选：C

3.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环

境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A为“恰有2名同学所报项目

相同”，事件8为'‘只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（8|A）=（）

【答案】A

【解析】事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关

怀老人项目”.

2

所以「(例4)=篇=亨=。

9

故选：A

911

4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为二，下雨的概率为次,既吹东

8

风又下雨的概率为二.则在下雨条件下吹东风的概率为()

2889

a-

--一

A.5B.9H

11

【答案】C

8

【解析】在下雨条件下吹东风的概率为养=定■,选C

30

考法二全概率公式

【例21设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过

胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居

民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率.

【解析】设A表示“被诊断为肺结核”，C表示“患有肺结核”.

由题意得，P(C)=0.001,P(C)=0.999,

P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.002.

I=P(C)P(.f)=475

由贝叶斯公式知,

P(C)P(A|C)+P(C)P(AlC)1474

【一隅三反】

1.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验

反应为阳性”，以。表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A|C）=0.95,

P（Z|e）=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即

P(C)=0.005,试求P(C|A).

19

【答案】布

【解析】因为P（A|C）=0.95,所以P（A©=1-P（A|C）=O.O5,

因为P(C)=0.005,所以P(C)=0.995,

所以由全概率公式可得尸（A）=P（A|C）-P（C）+P（A|C）P（C）,

因为尸（AC）=P（CIA）P（A）=P（A[C）P（C）

P⑷C)P(C)0.95x0.00519

所以P（C|A）=

P(A|C)P(C)+P(AC)P(。)0.95X0.005+0.05X0.995—218,

《7.1条件概率及全概率》考点训练

【题组一条件概率】

1.一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已

知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是

2.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种

元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为.

3.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的

景点不相同”，事件5为“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）=.

4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两

瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为

5.北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领

他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，8表示事件“抽

到的2名队长都是男生”，则P（B|4）=.

6.夏、秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼涧游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，

回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保

组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,

雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为（）.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长

江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为.

7.口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取

球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为

8.从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到

偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为；

9.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动.

（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件8,求P（A）和P（例A）.

10.某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为4,々，%，4，为，女青年志

愿者3人，记为白，仇,々.现从这8人中选4人参加某项公益活动.

（1）求男青年志愿者%或女青年志愿者4被选中的概率；

（2）在男青年志愿者为被选中的情况下，求女青年志愿者4也被选中的概率.

11.田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有

一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三

等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等

级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局

或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.

(1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率：

(2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利

的概率；

(3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果).

12.已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.

(1)若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；

(2)若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出

白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.

【题组二全概率公式】

1.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以？表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四

个结论：

7

①月=晨

②PT；

③当“N2时，Pn+l<P„；

④月=1月一|+；9一2+(ET(〃N4).

Z4o

其中，所有正确结论的序号是.

2.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出

1个球，摸出的球不再放回.求：

(I)第一次摸到红球的概率；

(II)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；

(III)第二次摸到红球的概率.

答案解析

【题组一条件概率】

1.)一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则

已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是一

【答案】|

【解析】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，

.•.尸(48)=冬=；,而=

P(AB)£

尸⑻A)=

P(A)5

故答案为：-

2.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种

元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为.

【答案】0.75

【解析】记使用寿命超过1年为事件8,超过2年为事件A，

P(AB)=0.6,P(3)=0.8,P(A|B)=

故答案为：0.75.

3.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的

景点不相同”，事件3为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=.

2

【答案】-

【解析】小赵独自去一个景点共有4x3x3x3=108种情况，即〃(或=108,

4个人去的景点不同的情况有A：=24种，即〃(AB)=24,

24_2

所以尸(A|8)=n(AB)

-

〃(B)1089,

2

故答案为：—.

4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两

瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为.

【答案*

【解析】设事件A为“一瓶是蓝色”，事件3为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑

色”，事件。为“另一瓶是红色或黑色”，则O=且8与。互斥，

]

又「（力=吟=57,P（AB）幸C1P（4C）C\C\_2

-

C5JLUJC15

故尸⑷4）=P（（8UC）|A）=P（8|A）+P（C|A）=^^+^L/

故答案为：~.

5.北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领

他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，3表示事件“抽

到的2名队长都是男生”，则P（B|4）=______.

【答案】二

43

【解析】由已知得尸（力=室且=左，P（AB）=§=第，

C[4"1。]4"1

15

则P（B|A）=一（叫=91="

」I।JP（A）4343-

91

故答案为：——

43

6.夏、秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼涧游到长江，历经三千多公里的溯流搏击,

回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保

组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,

雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.（）5,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长

江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为

【答案】;

【解析】解析设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件3为该雌

性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知尸（A）=0.15,P（AB）=0.05,

故答案为：—.

7.口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取

球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为.

【答案】|

【解析】口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，

甲从中不放回的逐一取球，

尸网=£=:，P（AB）=|X|=-L,

OJOJ1J

1

।1>P（A）15-

3

故答案为：—.

8.从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到

偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为；

3

【答案】-

4

【解析】由题意，从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张，第一次抽到偶数

所包含的基本事件有（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,5）；

共8个基本事件;

第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的基本事件有(2,1),(2,3),(2,5),

(4,1),(4,3),(4,5)；共6个基本事件，

因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为P=?=w.

84

3

故答案为：一.

4

9.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动.

(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(2)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件3,求P(A)和

412

【答案】(1)-；(2)P(A)=~,P(B|A)=-.

525

【解析】(1)某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，

总的选法有C：=2()种，

男生甲或女生乙都没有被选中的选法：2=4

则男生甲或女生乙被选中的选法有2()-4=16种，

男生甲或女生乙被选中的概率为尸=为=(;

(2)总的选法有C；=20种，男生甲被选中的选法有C：C；=1()种，,P(A)=g,

男生甲被选中、女生乙也被选中选法有。卜。；・。：=4种，.・.尸(43)=1,

P(AB)2

在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为P(8|A)=

P(A)5

10.某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为q,。2，%，。4，。5，女青年志

愿者3人，记为4为2,4•现从这8人中选4人参加某项公益活动.

(1)求男青年志愿者q或女青年志愿者白被选中的概率；

(2)在男青年志愿者为被选中的情况下，求女青年志愿者4也被选中的概率.

【答案】⑴去⑵?

【解析】(1)设“男青年志愿者为和女青年志愿者乙都不被选中”为事件。，则

P(C)=

-311

所以所求概率为P(C)=1-P(C)=1一一=—

1414

(2)记“男青年志愿者卬被选中”为事件A，“女青年志愿者々被选中”为事件3,

3

所以在男青年志愿者力被选中的情况下，女青年志愿者4也被选中的概率为亍.

11.(田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，

有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下

三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应

等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两

局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.

(1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率：

(2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利

的概率；

(3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果).

【答案】(1)工；(2)g；(3)y.

326

【解析】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为刀、I、4,

齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为叫、叫、也，

并且用马的记号表示该马上场比赛.

（1）设事件Q="第一局双方参赛的马匹”，事件A="在第一局比赛中田忌胜利”，

由题意得。=｛（驷）,伍叱）,伍暝），伍附，亿叼,（4吗）,伍叱）,伍叼,优暝）｝,

A=｛（碎），（鹏），仁明）｝，

31

则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P（A）=力=§.

（2）设事件B="第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，

事件C="田忌获得本场比赛胜利”，

由题意得

5=｛（n%微，印0,包叱,碎名场），传叫名%工叱岂叱,研）｝,

BC=｛优叱7吗Z暝）,优叱Z叱居叱）｝,

则本场比赛田忌胜利的概率是尸（CI8）=7=（.

（3）一.

6

12.已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.

（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；

（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出

白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.

13

【答案】⑴（2）—.

41

【解析】（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率P=E=

（2）记“第一次抽取出球是白球”为事件A，”第二次抽取出球是白球”为事件3,则第

431

一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率P（A8）=P（A）P（B）=—x—=—,

4

P(A)=一

12

所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率

1

P(AB)

p(-.TT._3

P(A)411

12

【题组二全概率公式】

1.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以《表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四

个结论：

7

①6=金；