事件的关系和运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版2019必修第二册

10.1随机事件与概率

10.1.2事件的关系和运算

第十章

概率

导回顾旧知

在上节课中，我们用集合表示事件，那么我们能否类比集合的研究思路，研究各个事件的关系和运算呢？集合的研究思路集合的定义→集合的关系→集合的基本运算↓包含，相等关系↓交、并、补事件的关系事件的运算↑↑导情境引入抛掷一枚骰子，记事件A“出现奇数点”，事件B“出现偶数点”.思考：能否同时发生？能同时不发生吗？思新知探究问题1

在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，这个试验的样本空间是什么？试验的样本空间是Ω＝{1,2,3,4,5,6}

在这个试验中，还可以定义如下随机事件：Ci＝“出现i点”,i=1,2,3,4,5,6；D1＝“出现的点数不大于3”；D2＝“出现的点数大于3”；E1＝“出现的点数为1或2”；E2＝“出现的点数为2或3”；F＝“出现的点数为偶数”；G＝“出现的点数为奇数”．问题2(1)用集合的形式表示这些事件；(2)借助集合与集合的关系和运算，探究这些事件之间的联系.C1＝{1}C2＝{2}C3＝{3}C4＝{4}C6＝{6}C5＝{5}D1＝

{1,2,3}D2＝{4,5,6}E1＝{1,2}

E2＝{2,3}F＝{2,4,6}

G＝{1,3,5}

思自学指导事件的关系或运算含义符号表示韦恩图包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立阅读课本页，填下表：思新知探究1、事件的包含关系

事件C1="点数为1"和事件G="点数为奇数"，C1={1}和G={1，3，5}．

事件关系：如果事件C1发生，那么事件G一定发生．

集合表示：{1}⊆{1，3，5}，即C1⊆G．这时我们说事件G包含事件C1．一般地，若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记为B⊇A(或A⊆B)．

（3）特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，

即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B．思新知探究2、并事件(和事件)事件D1＝“点数不大于3”，E1＝“点数为1或2”和E2＝“点数为2或3”，D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}

事件关系：事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．集合表示：{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，即E1∪E2＝D1，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．思新知探究2、并事件(和事件)

一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)记作A∪B(或A＋B)．

图形表示：绿色区域和黄色区域思新知探究3、交事件(积事件)事件C2＝“点数为2”，E1＝“点数为1或2”和E2＝“点数为2或3”，C2={2}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．

事件关系：事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生．集合表示：{1，2}∩{2，3}={2}，即E1∩E2＝C2，这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件．思新知探究3、交事件(积事件)

一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．

图形表示：蓝色区域思新知探究

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件．

例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C

(或A＋B+C)发生,当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C

(或ABC)发生,当且仅当A，B，C同时发生，等等．思练习巩固1.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，设“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，求A∪B和A∩B包含的样本点数.解析：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.事件B包含的样本点有：（1，3），（2，4）思练习巩固2.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（

）A.全部击B.至少击中1发C.至少击中2发D.以上均不正确解析：A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.思新知探究4、互斥(互不相容)事件C3＝“点数为3”，C4＝“点数为4”，C3={3}，C4＝{4}．事件关系：事件C3和事件C4不可能同时发生，即C3∩C4＝

，这时我们称事件C3和事件C4互斥．集合表示：{3}∩{4}=，

一般地，事件A与事件B不可能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=，我们称事件A与事件B互斥(或互不相容)．

图形表示：思新知探究5、对立事件事件F＝“点数为偶数”，G＝“点数为奇数”，F={2，4，6}，G＝{1，3，5}事件关系：事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中一个．即F∪G＝Ω，F∩G＝

，此时我们称事件F和事件G互为对立事件．集合表示：{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，

{2，4，6}∩{1，3，5}=，

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=

，那么称事件A与事件B互为对立．图形表示：思探究新知互斥事件与对立事件的区别与联系1.从发生的角度看(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例.2.从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件思练习巩固3.（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（

）A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球解析：样本空间为Ω＝{红红，绿绿，蓝蓝，红蓝，红绿，蓝绿}共6种情况，则A事件“2个小球不全为红色”包括{绿绿，蓝蓝，红蓝，红绿，蓝绿}则B事件“2个小球恰有1个红球”包括{红蓝，红绿，蓝绿}则C事件“2个小球至少有1个红球”包括{红红，红蓝，红绿，蓝绿}则D事件“2个小球都为绿球”包括{绿绿}思练习巩固4.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为（

）A.一个是5点，另一个是6点B.一个是5点，另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点解析：同时抛掷两枚均匀的骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且都不是6点”包含16个样本点，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”，故选C.思归纳小结事件的关系或运算事件的关系或运算含义符号表示韦恩图包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立思典例解析

乙甲解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}以1表示元件正常,0表示元件失效,思典例解析

乙甲

思典例解析

例2

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”。（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？思典例解析

解：（1）所有的试验结果如右图所示。用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}121214121314212324313234414243思典例解析

事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}同理，有于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)}N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}思典例解析

因为R∩G=∅，所以事件R与事件G互斥因为M∪N=Ω，M∩N=∅，所以事件M与事件N互为对立事件.（3）因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件，

因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.检随堂检测1.抛掷一枚骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（

）A.A⊆BB.A＝BC.A∪B表示向上的点数是1或2或3D.A∩B表示向上的点数是1或2或3解析：由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.检随堂检测2.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则（

）A.A与B是互斥事件B.A与B是对立事