云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

宁蒗二中2023～2024学年下学期高二期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A．14 B．64 C．72 D．802．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警电话次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．若随机变量的分布列如表，则的值为（）1234A． B． C． D．4．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.65．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中．已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（）色差21232527色度15181920A．23.4 B．23.6 C．23.8 D．24.06．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则0.6、0.8甲正点到达目的地的概率为（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.687．对任意实数，有，则的值为（）A． B． C．22 D．308．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（）A． B． C． D．或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（）A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A．如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种B．如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种D．如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种11．一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设随机变量，则______．13．由0、1、2、3、4、5、6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有______个．14．有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，．（1）求的值：（2）求展开式中的系数．16．（本小题满分15分）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱．该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用（元）45678用户数量（万人）22.12.52.93.2已知与线性相关．（1）求关于的经验回归方程（，）；（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，17．（本小题满分15分）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关．睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计附：，其中．0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82818．（本小题满分17分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用，两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市（）个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．19．（本小题满分17分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：分组频数5154040155以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．（1）若从这批零件中随机抽取3个，记为抽取的零件的长度在中的个数，求的分布列和数学期望；（2）若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？宁蒗二中2023～2024学年下学期高二期中考试・数学参考答案、提示及评分细则1．B因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种，故选B．2．B对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选B．3．A根据题意可得，．故选A．4．D随机变量服从两点分布，设成功的概率为，．故选D．5．A由题意可知，，，将代入，即，解得，所以，当时，，则．故选A．6．C设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，由题意知，，，．由全概率公式得．故选C．7．B因为，所以，故选B．8．D随机变量可能的取值为2，3．．，故的分布列为：23故，由，解得或．故选D．9．BD由题意，，中为非确定性关系；、中均为相关关系，且为正相关关系．故选BD．10．BD安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．判断错误；选项B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．判断错误；选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．判断正确．故选BD．11．BC第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率第一次取黑球，第二次取黑球的概率；第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A错误；第一次取白球，第二次取黑球的概率；第一次取白球，第二次取白球的概率；第二次取得黑球的概率；第二次取得白球的概率；，故B正确；；，故C正确；；，故D错误．故选BC．12．随机变量服从，．13．90①0排在第6位时，共有个数；②0排在第5位时，共有个数；③0排在第4位时，共有个数；故这样的七位数共有个．14．记为事件“零件为第（）台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”，则，，，所以，所以．15．解：（1）因为，，所以，解得；（2）由通项公式，令，可得，所以展开式中的系数为．16．解：（1）由，，有，，故关于的经验回归方程为；（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，所以预测该月的用户数量为5.10万人．17．解：（1）由频率分布直方图可知，，可得；（2）由频率分布直方图可得：，所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间；（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为50；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为90，列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员15050200不常参加体育锻炼人员11090200总计260140400因为，所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关．18．解：（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，整理得到，解得．若2个全是大集团，共有（种）情