第2课时　矩形的判定课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定

由矩形的定义判定矩形1.如图，要使平行四边形

ABCD

成为矩形，需要添加的条件是(

B

)A.∠

ABD

＝∠

CBD

B.∠

ABC

＝90°C.

AC

⊥

BD

D.

AB

＝

BC

B123456789101112【解析】A.

∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AB

∥

CD

.

∴∠

ABD

＝∠

BDC

.

∵∠

ABD

＝∠

CBD

，∴∠

BDC

＝∠

CBD

.

∴

BC

＝

CD

.

∴四边形

ABCD

是菱形，不能推出四边形

ABCD

是矩形，故此选项不符

合题意；B.

∵∠

ABC

＝90°，四边形

ABCD

为平行四边形，∴四边形

ABCD

是矩形，故此选项符合题意；123456789101112C.

∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴当

AC

⊥

BD

时，四边形

ABCD

是菱形，不能推出四边形

ABCD

是矩

形，故此选项不符合题意；D.

∵四边形

ABCD

为平行四边形，

AB

＝

BC

，∴四边形

ABCD

为菱

形，不能推出四边形

ABCD

是矩形，故此选项不符合题意.123456789101112

由矩形的角、对角线判定矩形2.下列说法正确的是(

D

)A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形D.有三个角是直角的四边形是矩形D123456789101112【解析】A.

有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题

意；B.

两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；C.

两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；D.

有三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意.1234567891011123.数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形

ABCD

是平行四边形，

请同学们添加一个条件使平行四边形

ABCD

成为矩形.小彤添加的条件

是

AC

＝

BD

，则小彤判定平行四边形

ABCD

是矩形的依据是(

D

)A.矩形的四个角都是直角B.矩形的对角线相等C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线相等的平行四边形是矩形第3题图D1234567891011124.(2023·保定清苑区月考)如图，在平行四边形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，

OA

＝2，若要使平行四边形

ABCD

为矩形，则

BD

的

长应该为(

A

)A.4B.3C.2D.1第4题图A【解析】∵四边形

ABCD

是平行四边形，

OA

＝2，∴

AC

＝2

AO

＝4.根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可知当

BD

＝

AC

＝4时，平行

四边形

ABCD

是矩形.1234567891011125.(2023·保定高碑店市期中)如图，在平行四边形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，且

OA

＝

OD

，∠

OAD

＝55°，则∠

OCD

的度数

为(

A

)A.35°B.40°C.45°D.50°第5题图A123456789101112【解析】∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

AB

∥

CD

.

∵

OA

＝

OD

，∴

AC

＝

BD

.

∴四边形

ABCD

是矩形.∴∠

DAB

＝90°.∴∠

OAB

＝∠

DAB

－∠

OAD

＝35°.又∵

AB

∥

CD

，∴∠

OCD

＝∠

OAB

＝35°.第5题图1234567891011126.(2023·张家口校考一模)如图，在菱形

ABCD

中，

E

，

F

分别为边

AB

，

CD

的中点，连接

AF

，

CE

.

若∠

ABC

＝60°，

AB

＝2，则四边形

AECF

的面积为(

A

)A.

B.1C.2D.4第6题图A123456789101112【解析】如图，连接

AC

，∵四边形

ABCD

是菱形，

∠

ABC

＝60°，

AB

＝2，∴∠

B

＝∠

D

＝60°，

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

＝2，

∠

BAD

＝∠

BCD

＝120°.∴∠

BAC

＝∠

BCA

＝60°，∠

DAC

＝∠

DCA

＝60°.∴△

ABC

和△

ACD

都是等边三角形，

AC

＝

AB

＝2.123456789101112∵

E

，

F

分别是

AB

，

CD

的中点，∴

CE

⊥

AB

，

AF

⊥

CD

，∠

CAF

＝∠

ACE

＝30°.∴∠

BAF

＝∠

DCE

＝90°.∴四边形

AECF

是矩形.

1234567891011127.如图，在▱

ABCD

中，

AE

⊥

BC

于点

E

，

CF

⊥

AD

于点

F

.

(1)求证：四边形

AECF

是矩形；(1)证明：∵

AE

⊥

BC

，

CF

⊥

AD

，

∴∠

AEC

＝∠

CFA

＝90°.∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

EAF

＝∠

AEC

＝90°.∴四边形

AECF

是矩形.123456789101112

(2)解：如图，过点

D

作

DH

⊥

BC

，交

BC

的延长线于点

H

，则∠

DHB

＝90°，易得四边形

DFCH

是矩形，

123456789101112

A.

B.

C.

D.

第8题图C123456789101112

第8题图1234567891011129.(2023·保定校考期中)如图，

O

是菱形

ABCD

对角线的交点，

DE

∥

AC

，

CE

∥

BD

，连接

OE

，设

AC

＝4，

BD

＝8，则

OE

的长为(

B

)A.2

B.2

C.20D.10第9题图B123456789101112

123456789101112第9题图10.(2023·唐山迁安市)在▱

ABCD

中，

EF

经过两条对角线的交点

O

，分

别交

AB

，

CD

于点

E

，

F

，在对角线

AC

上通过作图得到点

M

，

N

，如

图1，图2，下面关于以点

F

，

M

，

E

，

N

为顶点的四边形的形状说法正

确的是(

C

)A.都为矩形B.都为菱形C.图1为矩形，图2为平行四边形D.图1为矩形，图2为菱形C123456789101112【解析】如图1所示，连接

FN

，

NE

，

ME

，

FM

，∵在▱

ABCD

中，对角线

AC

与

BD

交于点

O

，∴

OB

＝

OD

，

OA

＝

OC

，

AB

∥

DC

.

∴∠

FDO

＝∠

EBO

.

∴△

DFO

≌△

BEO

(ASA).∴

OF

＝

OE

.

123456789101112∵以点

O

为圆心，

OE

为半径作弧，分别交

AC

于点

M

，

N

，∴

OE

＝

OF

＝

OM

＝

ON

，即

EF

＝

MN

.

∴四边形

FNEM

为矩形；如图2所示，连接

EN

，

FM

，同理可得△

DFO

≌△

BEO

，123456789101112∴

OF

＝

OE

.

∵

FN

⊥

AC

，

EM

⊥

AC

，∴∠

FNO

＝∠

EMO

＝90°.

∴△

NFO

≌△

MEO

(AAS)，∴

OM

＝

ON

.

又∵

OE

＝

OF

，∴四边形

FNEM

为平行四边形.123456789101112

A.6

B.12C.24D.48B123456789101112

123456789101112

12.

下面是多媒体上的一道试题：在菱形

ABCD

中，过点

B

作

BE

⊥

CD

于点

E

，点

F

在边

AB

上，

AF

＝

CE

，连接

BD

，

DF

.

求证：四边形

DFBE

是矩形.

123456789101112嘉嘉：先证明四边形

DFBE

是平行四边形，然后利用矩形的定义即可得证；琪琪：先证明△

ADF

与△

CBE

全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证.(1)嘉嘉的思路

，琪琪的思路

；(均选填“正确”或

“错误”)正确正确嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：123456789101112(2)请按照你认为正确的思路进行解答.解：按嘉嘉的思路解答如下：∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

CD

，

AB

∥

CD

.

∵

AF

＝

CE

，∴

BF

＝

DE

.

又∵

BF

∥

DE

，∴四边形

DFBE

是平行四边形.∵

BE

⊥

C