数学美与数学教学关系初探

数学美与数学教学关系初探-一把渗透数学美作为教学的主旋律

教育部部长袁贵仁部长说，自古以来，中国就十分重视美育。在21世纪的

今天，中华民族将迎来一个创造力喷涌的伟大时代。我们要培养富有原创性的人

才，各级学校一定栗重视美育，要大力推进科学、技术与人文、艺术的结合。我

们的教育目的在于使学生在学习过程中德、智、体、美、劳全面发展，其中美育

就是审美教育，其目的在于使学生具有美的素养，由此升华而使之具有美的情操，

又辨别真善美与假恶丑的能力，并且去为美好的明天、美好的生活而奋斗。科学

的美和艺术的美是相通的而且互补的，是精神世界最高最美的两个侧面。只有科

学的美，没有艺术的美，是残缺的；只有艺术的美，没有科学的美，同样是残缺

的。罗素说：“数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻

的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没

有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只

有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神

上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，

也能够在数学里得到。”

什么是美？"美是难以定义的"，研究美学的一位祖宗柏拉图早就这么叹息过。

科学家也有类似的观点。狄拉克说过："数学美与艺术美一样是无法定义的。但

研究数学的人鉴赏数学美并不会觉得困难。"大哲学家大科学家尚且如此说，作

为门外美谈就大可不必讲究什么美与审美的定义、什么美的主观性与客观性等等,

只须承认美的存在就可以谈下去。美学是一门既古老又年轻的科学。从古代到现

代，随着人类思维能力的发展和审美领域的扩大，人们开始对审美经验进行思考；

于是美学思想便逐步形成。西方美学思想亦发源于古希腊；其早期的美学思想大

都依附于自然科学，往往是在探究宇宙本原时涉及美的问题。其代表人物就是柏

拉图和亚里士多德。亚里士多德关于美的理论是建立在对柏拉图唯心主义理式论

的批判基础上的，他认为美不存在于超感性的理式世界；美只存在于具体的美的

事物中。20世纪法国女神秘主义者、社会哲学家韦伊(SimoneWeiI)曾经这样

写道：“科学的真正主题是世界之美。”韦伊提出的命题虽然简短，但是却富有

深意。的确，科学是理智的诗歌，科学研究是一门艺术，科学本质上是艺术事业。

在科学发明或科学发现的过程中，在对科学的学习和鉴赏中，人们能够在精神上

获得审美的愉悦或理性的惊叹，并体验到类似宗教般的赞赏和敬畏之情。在审美

的高峰体验中，人们热爱和迷恋科学。同样在审美的高峰体验中，人们出神入化、

物我为一，从而有可能洞察实在本质，把握宇宙的韵律。皮尔逊说得好：“在我

们人的存在中，有一种无法用形式的推理过程满足的要素；它就是想像的或审美

的侧面，诗人和哲学家求助于这个侧面，科学要成为科学的，也不能无视这个侧

面。”由此可见，科学与审美的关系是密不可分的，科学审美是科学活动的一个

不可或缺的组分，很有必栗加以探讨。

美育教育是培养和发展受教育者的感性能力、它包括感受力、鉴赏力、想象

力、创造力等，是培养健全高尚人格，塑造完美理想人性，以最终实现人与自然、

人与社会、即人与人自身感性和理性的和谐的终极追求。美育具有形式化、动情

化的教育特性，美育教育的过程就是审美体验的过程，它强调的是“韬养”，让

欣赏者体验美好、体验成功、体验快乐，在潜移默化中提升对美的感受力、鉴赏

力、创造力及完善自我的能力。

学校美育教育的目的就在于使学生掌握一定的美学、美育知识，培养学生感

受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，使其得到全面的发展，而学校是实施美

育教育的最集中、最主要的场所。在数学教学中，不但应当重视数学教材的德育

功能与智育功能，而且应当充分地发挥数学教材的美育功能，研究、挖掘数学美，

在数学教学中重视审美教育，应成为数学教育改革的当议之题。

1、数学美在数学教学中的地位

数学美在数学教学中具有极其重栗的作用，正如苏霍姆林斯基所强调的："

我一千次确信，没有一条富有诗意的，感情的和审美的清泉，就不可能有学生全

方面的智力发展。”我国当代的数学教育家徐利治教授明确指出：“数学教育的目

的之一，应当让学生获得对数学的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学

的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力。”著名的教育家蔡元培曾经说过：

“凡是学校所有课程，都没有与美育无关的。”莱布尼兹以极大的同情谈论作为

科学对象的自然之美和科学中的美：“自然之美是如此伟大，对它的凝视是如此

惬意，……无论谁品味它，都不得不把所有其他乐趣视为低等的。”他指出，科

学中的美不管在历史进程中如何变化——早先一代人认为美的东西，对下一代人

来说能够被视为价值不大的和平庸的——最美的理论共同具有的质好像始终是

易懂的和不证自明的。谁在自然和理论中辨认出像“多样性中的简单性”这样的

美，就意味着事物及其部分的和谐，简而言之美。人们都应该寻求美的真理，他

们这样做就是作为上帝的镜子起作用，因为上帝以至美创造了“整个世界最好的

东西”。莱布尼兹言之有理。尽管在科学中没有美的严格的定义，但是美在科学

中确实存在着，它的确发挥神奇的作用。诚如海森伯所说，美的王国远远延伸到

艺术领域之外。它无疑也包括科学在内的精神生活的其他领域，自然美也反映在

自然科学的美之中。“我们可以开诚布公地说，在精密科学中，丝毫也不亚于在

艺术中，美是启发和明晰的最重要的源泉。”爱因斯坦也表明：在技艺达到一个

出神入化的地步后，科学和艺术就可以很好地在美学、形象和形式方面结合在一

起。伟大的科学家也常常是伟大的艺术家。克莱因以作为一种方法、艺术、语言、

知识、也是一种精神的数学为例，全面展示了科学的文化功能：在西方文明中，

数学一直是一种主要的文化力量。……很少有人懂得数学在科学推理中的重要性,

以及在物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容

和研究方法，摧毁和建构了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，

塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必

须回答的关于人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。

作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，

而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比

拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可以与其他任何

一种文化门类媲美。其实，科学研究本身就是一种十分有意义的文化活动，科学

文化也对其他文化不无裨益。巴尔的摩提出这样一个问题：科学知识究竟给普通

人带来什么好处呢？他的回答是：“首先，也是最重要的，就是科学进展对人类

文化做出的贡献。不断地收集我们自身以及我们周围环境的知识，乃是当代生活

中极为重要的一种文化活动。科学与艺术一样，都能说明人类对其自身及其与其

他事物关系的看法。……所有这些知识，都有助于我们确立政治辩论和艺术创作

的基本原则。”以此观之，邦格理直气壮的断言看来并非言过其实：“科学借助

它的精神力量和物质成果，开始占据现代文化的中心。”

1.1以美启真

物理学家海森堡曾指出：“科学的探索者们最初往往是在美的光辉照耀下，去

认识和发现真理。”杨振宁讲：“美的追求是科学发展的一个动力，美的鉴赏是作

出科学抉择的一个重要条件，在美的探索中形成科研的不同风格，今天我们比以

往任何时候都没有理由容许我们放弃这个奇妙的信念。做科学研究是有所谓风格

的，每一个人对于规律的美和妙的地方会有不同的感受，他对于一切现象、结论、

结构就有偏好，这就发展出他的分割，这个风格影响到他将来研究工作课题的研

究方向，影响到他将来研究问题的方法。所以风格有决定性的作用”。在数学研

究中，选择的直觉经常表现为美的直觉，正如美国著名的数学家、控制论的创始

人冯。诺依曼说：“我认为数学家无论是选择题材，还是判断成功的标准，主要

都是美学的。数学家成功与否和它的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、

美学的，不受（或近乎不受）经验的影响。”著名的数学家汉克尔。赫尔曼认为：

“科学直觉直接引导和影响数学家们的研究活动，能使数学家们不在无意义的问

题上浪费精力。直觉和审美能力密切相关，这在科学研究中是唯一不能言传而只

能意会的一种才能，但这却是每一个有作为的数学家所不可缺少的能力。”著名

的数学家韦尔说：“我的工作总是力图把真和美统一起来，但当我必须从二者挑

选一个时，我总是选择美。”它包含三个主要观念：第一，坚持对自然世界的和

谐完美秩序的信念，认为自然规律本身必然是完美和谐的；第二，认为科学研究

的内在动机，不是出于实用目的，甚至也不是为了认识自然真理，而是为了发现

和展示自然世界和谐完美的秩序；第三，科学的审美感，既是引导和推动科学理

论发现（创新）的力量，也是鉴别一个科学理论是否具有真理性（科学性）的主

票标准。

审美活动与数学研究并不是风马牛不相及的事情，克服数学原理中某些美学

因素的不恰，往往会导致数学新理论的建立，就是因为在客观世界中，真与美是

统一的，它们是同一事物的两个侧面，对真理的追求必然伴随着对美的追求。由

此可见，激发学生数学的美感，培养美的直觉，有利于直觉思维的发展，有利于

创造性思维能力的培养。

既然在科学中存在美（科学美以及数学美），那么判断科学理论体系的美的

标准或科学美的标准是什么？所谓科学美的标准，也就是科学理论体系的审美性

质或审美栗素，它们足以打动鉴赏者，而且鉴赏者也用典型的审美语汇描述它们。

萨尼特提出这样一个问题：美是统一(unity)、自我连贯(self-consistency)、

惊奇(wonder)、敬畏(awe)、惊异(surprise)、完美(perfection)、对

称(symmetry),还是这些东西的一或多的组合？在古代美学大师柏拉图那里，

美归根结底无非就是适度、相称、和谐、有序。其实，以上这些标准在某种程度

上完全可以成为科学美的标准。汝若不信，请聆听现代科学美学大师彭加勒是怎

么说的：数学家把重大的意义与他们的方法和他们的结果的雅致(elegance)联

系起来。这不是纯粹的浅薄涉猎。在解中、在证明中给我们以雅致感的实际上是

什么呢？它是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡；一句话，它是所

有引入秩序的东西，是所有给出统一，容许我们清楚地观察和一举理解整体和细

节的东西。可是，这正好就是产生重大结果的东西；事实上，我们越是清楚地、

越是一目了然地观察这个集合，我们就越是彻底地察觉到它与其他邻近对象的类

似性，从而我们就有更多的机会推测可能的概括。在意外地遇见我们通常没有汇

集到一起的对象时，雅致可以产生未曾料到的感觉；在这里，它再次是富有成果

的，因为它这样便向我们揭示出以前没有辨认出的亲缘关系。甚至当它仅仅起因

于方法的简单性和提出的问题的复杂性之间的强烈对照时，它也是富有成效的；

于是，它促使我们想起这种悬殊差别的理由，而且每每促使我们看到，偶然性并

不是理由；它必定能在某个意想到的定律中找到。简言之，数学雅致感仅仅是由

于解适应我们心智的需要而引起的满足，这个解之所以能够成为我们的工具，正

是因为这种适应。因此，这种审美的满足与思维经济密切相关。我又一次想到厄

瑞克忒翁庙的女像柱的比喻，……请看，彭加勒在这段话里使用了雅致、和谐、

对称、平衡、秩序、统一、简单性、对照、适应、奇异、思维经济等审美术语，

并在语句中赋予其特定的涵义——它们都是科学美和数学美的标准。也许彭加勒

觉得标准众多，易于使人无所适从，所以他干脆一言以蔽之：“世界的普遍和谐

是众美之源”，“惟有这种内部和谐才是美的，从而值得我们努力追求”。

1.2以美启趣

苏霍姆林斯基曾说：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内

心状态，而只是不动感情的脑力劳动，就会带来疲倦。处于疲倦状态下的头脑，

很少有效地汲取知识。”现代教学论告诉我们，学生是学习的主人，能否激发起

学生的学习积极性是我们教学成败的关键。孔子讲：“知之者不如好之者，好之

者不如乐知者。”科学史和教育史都证明，审美感成为构成意志行动的主要因素

之一，是能够转化探索未知世界的巨大动力的。在数学教学中，一方面可以数与

形的形式美启发学生的兴趣，还可以通过数学的结论美、解法美激发学生的兴趣。

对于一个喜欢数学的人来说，他之所以喜欢数学，是因为他看到、感觉到这门学

问的美。他所谓的对数学的兴趣，其实就是对数学美的欣赏、享受与追求。

1.3以美启德

德育与美育是相辅相成的，数学家在探索数学的艰辛旅程中，一方面总是伴随着

对美的热烈追求，另一方面又强烈地表现出他们精神上的种种美德。这些都是审

美教育中珍贵的美学因素，数学家对美的执着追求和他们的人生美德，可以启迪

学生的智慧，引发学习的兴趣，激励成功的意志，养成献身科学的良好品德。

2、数学美在教学过程中的渗透途径初探

进行美育教育就是要提高学生的审美能力，它主要包括审美感知力、审美想象力

和审美鉴赏力。法国著名的雕塑学家罗丹曾经讲过：“美是到处都有的。对于我

们的眼睛不是缺少美，而是缺少发现。”数学学科包含的内容是真实的、生动的、

美好的，它本身充满着情趣。正如我国著名的数学家华罗庚教授所讲的：“就数

学本身来说，也是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的”。“仁者见仁，智者见智，

美者见美”，教学艺术的美学核心是由方法美和启迪美构成的，方法美是体，启

迪美是神，两者是辨证统一的。

数学审美活动是从对数学审美注意开始的，教师要根据特点把学生引向对数学美

的注意。所谓在数学教学渗透美育，就是要在传授数学知识的同时，揭示数学美，

培养学生对数学美的干支、鉴赏、评价活泼创造的能力，以利于数学教学质量和

学生素质的提高。科学审美活动是从科学审美注意开始的，教师要根据特点把学

生引向数学美的注意。数学中审美对象主要通过教学语言体现出来，它不是那么

直接和鲜明的，更多的要借助于想象活动，具有一定的间接性、模糊性和间接体

验性特点。数学美常常是在抽象、概括、推理论证、作图演算等数学活动中产生

的。所以感受数学美必须以一定的数学知识水平为前提，对数学美的感受随着数

学水平的提高而不断增长，而且这种增长离不开教师的启发和引导。因此在数学

教学中渗透美育，重视发挥其美育功能是十分重要的。

由科学美的界定顺水推舟，可以把数学美界定为数学理论体系的美。详细说

明符号的、数学的关系的审美性质，比详细说明基于我们的经验和观察之上的模

型、隐喻和图像的性质也许更加困难。纯粹数学关系的美学和它所唤起的强烈的

激情恢复了艺术中的的形式主义的审美——尽管是在比较抽象的水平上——因

为数学公式化避开了形象化。这种审美中的原则标准被艺术理论家命名为''有意

义的形式”，它意指构成要素的最理想的统一和融贯。有意义的形式唤起了一种

特殊类型的反应，即审美情感，这种情感比我们在日常生活中经历的情感更强烈、

更集中，与数学家所说的对纯粹数学关系的经验是相同的。可见，数学美是一种

更为抽象的形式美，没有足够的知识背景乃至比较高深的造诣，是难以领悟其美

的神韵的。数学美从两方面讲可以囊括在科学美之内：数学是科学的一个分支，

数学美不用说属于科学美；发达的科学已经数学化或至少大量地运用数学，数学

美当然是该门科学的美的一个组分。因此，数学美不仅使数学美不胜收，也给科

学美锦上添花。麦克斯韦这样描绘数学美：“我总是把数学看作是获得事物的最

佳形态和维度的方法；这不仅是指最实用的和最经济的，更主要是指最和谐的和

最美的。”罗素对数学美的酷爱和称赏溢于言表：数学，如果正确地看它，则具

有至高无上的美——冷峻的和简朴的美，像雕塑之美一样。这种美不是投合我们

天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇

高的地步，能够达到严格的、只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一

种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至

善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。

狄拉克提出这样一个高标准的栗求：“物理学定律应该具有数学美。”这

个要求在17和18世纪的力学，在19世纪的电磁学早已实现过。在20世纪的现

代科学中，诚如杨振宁所说，狭义相对论的数学基础是四维时空连续统的概念，

广义相对论建立在黎曼几何之上，量子力学的数学是希尔伯特空间的漂亮而抽象

的数学结构，非阿贝尔规范物理学令人惊奇地基于纤维丛几何。所有这些数学发

展对20世纪的物理学是非常重要的，它们相当抽象而美丽。这些数学思想为物

理学提供了美的数学结构，这是所谓的数学美，物理学等的日趋数学化使数学美

越来越重栗。自然界为它的物理学定律选择这样的数学结构是一件神奇的事情，

没有人能真正解释这一点。

科学中的美的概念是不固定的，是不断发展的。数学美的直觉虽然不是一种严

格的逻辑思维活动，但是数学美也有其确定的内容。我国著名的数学家和数学教

育家徐利治先生指出：“数学美包含数学概念的简单性、统一性、结构系统的协

调性、对称性和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性。”

笔者认为，数学美还应当包括数学量的守恒性等方面。数学美的范畴包括以下几

个方面：

2.1对称美

在原始的意义上，对称性是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。

人们对于数学美是早就有所认识的，古希腊时代数学家就把对称看承数学美的一

种基本形式，亚里士多德曾指出：“美是和谐与成比例的。”“秩序和对称是美的

重要因素，而这两点都能在数学中找到。”张奠宙教授应用层次性理论，把数学

教学中的美育分为四大层次：美观、美好、美妙、完美。并从对称性角度出发，

列举了中学数学中的对称案例，他说：“几何学常常带给人们直观的美学形象。

几何图形中的圆，是全方位对称图形，美观、匀称、无可非议。正三角形、五角

形等常用的几何图形都因对称和谐而受到人们喜爱。”

2.2和谐美

“多样”是指整体中所包含的各部分在形式上相互区别的差异性，体现了各

个事物个性的千姿百态和丰富变化；“统一”是指整体中所包含的各个部分在形

式上的某些共同特征，以及它们之间的相互呼应和衬托关系，体现了各个事物共

性和整体联系。如果只有统一，世界是单调乏味、呆板机械的世界；而只有多样，

世界是杂乱无章、纷繁散漫的世界。只有把多样与统一综合起来考察，既要在统

一中见多样，又要在多样中见统一，使人感到既丰富又单纯，既活泼又有秩序的

和谐统一美。作为数学研究的对象——数和形是和谐的，海森堡曾经定义：精密

科学中美的含义就在于“一部分与另一部分以及整体之间的和谐”，所有被称为

“伟大的科学艺术品”的物理学理论，都有惊人的内在自恰性。”在表现形式上

和谐美具体体现为统一和谐、层次和谐、互补和谐和奇异和谐，如理论性和实践

性的和谐、复杂性与简单性的和谐、普遍性与特殊性的和谐、抽象性与具体性的

和谐、对称性与破缺性的和谐。丘成桐先生说：“我们发展一个一般理论，其目

的并不是为了服务于其它学科，而是基于它自身的完美以及达到和谐统一。”

在数学教学过程中，应该向学生渗透统一性、协调性的观点。例如在讲述两

圆的公切线时，当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数依次为

4、3、2、1、0,体现了两圆位置关系与公切线条数的统一性；设两圆的半径分

别是R、r(R>r),圆心距为d,贝|R2+d2-r2>2dR的充要条件是两圆相离，

R2+d2-rJ2dR的充要条件是两圆相切，K+dZ-jVZdR的充要条件是两圆相交，充

分体现了两圆位置关系与两圆半径、圆心距之间存在着协调性，而且与直线和圆

的位置归案系具有相似性。圆、抛物线、双曲线、椭圆有统一的定义及极坐标方

程，棱柱、棱锥、棱台有统一的表面积与体积公式，援助、圆锥、圆台有统一的

表面积和体积公式，球、球冠、球带有统一的表面积公式，切线长定理、相交弦

定理与切割线定理在某种意义上可以统一都反映了数学知识的统一性和协调性，

培养学生统一性、协调性的观点，有助于培养学生类比类比推理能力，因为类比

的基础在于事物的一致性。

数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：

£=+这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出乃，

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对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。欧拉公式：e'"=-1,

曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几

个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣

美弗一欧拉公式是cose+isine=e〃一一(1)。这个公式把人们以为没有什么共

同性的两大类函数一一三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，

人们始则惊诧，继而赞叹一一确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出

许多美的，有用的结论来。比如，由公式(1)得稣。=1^—,sin*—o

22

由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复

数的“角，新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。和

谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比4=正匚，即0。

2

61803398-O在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。数学中有一个

很著名的菲波那契数列｛aj,定义如下：a产1,a2=1,当n，3时，an=an_+an

一,可以证明，当n趋向8时，极限是几=由二1。维纳斯的美被所有人所公

an-l2

认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设

计中都有广泛的应用。达•芬奇称黄金分割比2=在二1为“神圣比例”.他认为

2

“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上"。与2=心匚有关的问题还有

2

许多，“黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。

纵观美学史，我们发现，不仅秩序与和谐之间有着高度的一致，而且它们常

常被用来解释美的本质，描述美的特征。同时，和谐虽然不能与秩序等同，但秩

序总意味着起码的和谐，和谐总是有秩序的和谐。可以说，没有和谐就谈不上秩

序，而没有秩序则也说不上有和谐。和谐是矛盾统一性的表现形式之一，是表示

事物发展的协调性、有序性、平衡性、完整性和合乎规律性的哲学范畴。在古希

腊，毕达哥拉斯学派就提出美是和谐的概念，他们认为''和谐是杂多因素的统一，

不协调因素的协调”。“宇宙"(cosmos)这个词在希腊就包含着“和谐、数量、

秩序”等意义。亚里士多德也用秩序与和谐来解释美，他认为“美的主要形式是

秩序、匀称和明确”。他同时把生物有机体的思想运用到美学中来，释美为和谐，

“美与不美，艺术作品与现实事物，分别就在于美的东西和艺术作品里，原来零

散的因素结合成为统一体。”

2.3抽象美

学习数学公式的目的，不仅仅是去欣赏数学公式的形式美和结构美，更重

要的是去挖掘数学美的内在特征，即数学公式的广泛应用，通过应用能使学生反

过来加深对它的优美结构的认识。在学习黄金分割时，我曾向学生介绍了其在自

然科学中的应用；在学习加权平均数时想学生说明了物理学中的平均功率与平均

速度、化学中混和溶液的质量分数等都是加权平均数。在学习过程中，使学生深

刻地体验到数学的抽象美，正如伽利略所讲的：“大自然是用数学语言来书写的。”

ArthurJaffe〔译注：英国数学家，与J.Glimm一•起为建设量子场理论的创立者〕

建议：”数学想法并非从研究者的头脑中产生和充分发展。数学家往往从自然的

图案获得灵感。从自然某个方面提炼的教益，在我们探索其它的自然现象时能够

使我们继续受益。”数学家总将他们的发现带到邻近的领域，帮助他们产生新的

见识和全新的子域。

意大利数学家奥多。斐波那奇(1170〜1250)在其所著的《算盘书》中有

这样一个题目：“某人想知道一对兔子一年后可以繁殖成几对兔子，他筑了一道

围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子出生后的第二个月就可以生一对小兔子,

问一对兔子一年后能繁殖成几对兔子？

斐波那奇解这道题的过程中总结出这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144,233,377,这是个有限项数列。按上述规律，写出的无

限项数列就是斐波那奇数列。此数列有下面的低推关系：Fn+2=Fn+1+Fn(n=0,1,

2,3…)

随着近代数学的发展，这个由养兔子问题推导出来的数列的应用范围远远地

冲出了围兔子的围墙。从植物叶子在梗上的排列，花朵的花瓣数，蜜蜂的繁殖，

钢琴音阶排列，人口年龄结构预测，优选法等等，直到方程论，应用涉及面之广，

引起了科学界的密切关注和极大兴趣。美国甚至专门出版了一份《斐波那奇季刊》,

登载斐波那奇数列在应用上的新发现及有关理论。

我们不难发现，斐波那奇数列相邻两个数相除的数值，随着数列项的增加，

越来越接近黄金分割点0.618,即Fn/Fn+1越来越接近0.6180神奇的斐波那奇

数列与黄金分割数密不可分。斐波那奇数列是个神奇的数列，它的唯象学公式为：

Fn+2=Fn+1+Fn(n=0,1,2,3…)，这个数列隐含着自然界怎样的法则？

2.4推理美

伽利略曾感慨地说：“在真理面前，一千个权威抵不上一个谦恭的逻辑推理

现有科研常用逻辑工具有数学物理方法的演绎逻辑，归纳统计方法的因果逻辑，

辩证分析方法的矛盾统一逻辑等三大类型，深入物质本质认识的三大层次。数学

物理方法的演绎逻辑推理形式是在假设或公理或方程基础上，在一定条件下推出

结论，解释相应现象。归纳统计方法的因果逻辑推理形式是在大量观察实验和测

量数据统计基础上，寻找原因、规律来推出结果和解释现象。辩证分析方法的矛

盾统一逻辑推理形式是遇到矛盾就要解决矛盾，或分析矛盾中统一矛盾，并以此

来解释现象。著名的数学家怀特。威廉讲：''数学是一门理性思维的科学。它是

研究、了解和知晓现实世界的工具。复杂的东西可以通过这一工具简单的措辞去

表达。从这一意义上说，数学可被定义为一种连续地用较简单的概念去取代复杂

概念的学科。”著名的数学物理学家狄拉克讲：“数学的最高境界是结构美，是简

洁的逻辑美。在逻辑推理中学生依据一个或几个判断得出另一个判断，这些判断

之间依次线性排列，学生会感受到严谨、清晰和简明的推理美。非逻辑的臻美推

理则是依靠想象与直觉的矛盾运动而达到从整体上推出理想的结果。它的基本结

构是想象、直觉与灵感，是一种或然的非线性推理。例如在讲授分步计数原理的

应用时，我曾分析在直线上最少用两种颜色即可把区间分开，在平面上最少用四

种颜色即可把各区域分开，在三维空间可以猜想最少8种颜色可以区分开各区

域，、、、、、、，在n维空间最少用2n种颜色可以区分开各区域。

例1设有〃个罐子，在每个罐子里各有加个白球和左个黑球，从第一个罐子

中人任取一球放到第二个罐子里，并以此类推，求从最后一个罐子里取出一个白

球的概率.

解析：先探索规律，设〃=2

令H1=“从第一个罐子里取出一个球，是白球”；H2=“从第二个罐子中

取出一个球，是白球”.

显然P(H)=」一

m+k

所求概率P(H2)=P(HJP(H21H1)+P(H1)P(H2IHl)

mm+1kmm

=---------1---------=---.

m+km+k+1m+km+k+1m+k

这恰与”=1时的结论是一样的，于是可以预见，无论“为什么自然数，所求

的概率都应是一^,则当“=t+l时，有P(H-I)=P(HJP(|

m+k

H,)+P(H,)P(H,|H)=--------------------+--------------------=---------.于是，结论

+1(m+km+k+1m+km+k+1m+k

P(H.)="一对所有自然数都成立.

m+k

2.5简洁美

美国著名心理学家L.布隆菲尔德(L.Bloonfield)说：“数学是语言所能

达到的最高境界。”如果说，诗歌的简洁，是写意的，是欲言还休的，是中国水

墨画中的留白，那么数学语言的微言大义，则是写实的，是简洁精确、抽象规范

的，是严谨的科学态度的体现。数学的简洁，不仅使人们更快、更准确地把握理

论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前，数

学作为自然科学的语言和工具，已经成了所有科学------包括社会科学在内的语

言和工具。最为典型的例子，莫过于二进制在计算机领域的的应用。试想，任何

一个复杂的指令，都被译做明确的01数字串，这是多么伟大的一个构想。可以

说，没有数学的简化，就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时

代。人们总是喜欢选择最简单的假设，以求用最简洁的数学形式来凸显物理的本

质。这种思行观是由来已久的最深入人心的优秀传统之一，Mach称之为“经济

思维原则”。简洁，给人以简单、明了、深远、有序的美感。现代审美理论认为：

那些在特定条件下，刺激物被组织的最好、最规则和具有最大限度的简单明了的

“形”，会给人以相当愉悦的感受。数学中的简洁美包括两个方面：理论形式简

单性和逻辑结构简单性。在数学教学中始终应该注意渗透简洁性与守恒性思想，

例如平面几何的定理相当多，但都是从几个简单明了的公理出发得到；三角形无

论怎样变化，内角和始终等于360°,边与角之间始终满足正弦定理与余弦定理；

多边形的边数无论怎样变化，外角和始终等于360°；一元二次方程的系数无论怎

样变化，求跟公式总是相同的，......这些都体现了数学量的守恒性与简洁性。

欧拉给出的公式：V—E+F=2,堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多

少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给

出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊

叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数V、边数E、

区域数F满足V—E+F=2,这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学

与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发

展起了很大的作用。

在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。

比如：圆的周长公式：C=2nR,勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜

力1,409***9,

边平方。平均不等式：对任何正数-________,正弦定理：△

X]+%+…+N■■■Xn

ABC的外接圆半径R,贝|，-=上-=-^=2R。

sinAsinBsinC

数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都

使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展

都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着彭加勒在同一本书这样

写道：“像对于有用的渴望一样，对于美的渴望也导致我们做相同的选择。因此，

按照马赫的看法，这种思维之经济、劳力之就是科学的永恒趋势，同时也是美的

源泉和实际利益的源泉。我们所赘美的大厦是建筑师知道如何使手段与目的相称

的大厦，在这样的大厦中，支柱似乎轻松地承载着加于其上的重量而毫无吃力之

感，像厄瑞克忒翁庙的雅致的女像柱一样。”【1】

2.6奇异美

奇异美是指数学领域中某些超出常人想象而使人惊奇的特征，这些特征使

审美主体具有强烈的新奇性，包括调和中的奇异和谐调中的破缺。培根说：“没

有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”奇异与和谐是一对对立而统一

的美学范畴。一个新出现的和谐理论总包含某种奇异，而奇异的科学思想方法只

有当它具备和谐性时才能显示其美。重大的奇异性往往导致科学理论的革命，因

而奇异又是向更高级和谐境界发展的标志。奇异美表现于数学概念、理论、模型

等的新颖与新奇，表现在它们能够巧妙地解决数学问题。在数学教学过程中，应

该渗透数学的新奇性与创造性的观点。创造能力是一种高级能力，它是在创造活

动过程中形成和发展起来的。在数学的学习活动中培养学生的创造能力，就是使

学生在学习的过程中，独立地发现新知识，独立地解决未曾解决过的问题或把所

学的知识应用到新的情景中去的能力。例如在教学的过程中我曾引导学生利用

“斜边的中线等于斜边一半”证明斜边直角边公理，利用相似三角形证明勾股定

理和逆定理。

全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年

的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数效，不合理地把b

be

约去得到色,结果却是对的？

C

经过一种简单计算，可以找到四个分数：o这个问题涉及到“运

64659598

算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。

还有一些“歪打正着等式”，比如

25-92=2592

.525c=25

3131

1129-1=11291-

33

人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、

双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比

是常数e的点的轨迹，当e<1时，形成的是椭圆.当e>1时，形成的是双曲

线.当e=1时，形成的是抛物线.

常数e由0.999变为1、变为0.001,相差很小，形成的却是形状、性质完

全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。

椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆

筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆

筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。

无序的混沌状态，通常以为不可用数学来研究。可从确定的现象(一个二

次函数入x(1-x))通过迭代居然能产生出随机现象，也就是说无序的混沌状态，

竟然可以从一个二次方程的迭代产生出来。这就把两种完全不同类型的数学问题

沟通起来了。这深刻的发现，使人不禁感叹大自然规律的神奇。还有，菲根鲍姆

对许多迭代函数进行了大量的计算，都得到了常数4.669201629…，这决非巧合,

尽管目前还不清楚这个数的本质。就是数学的这种奇异美使神秘、严肃、程式化

的数学世界充满了勃勃生机。

欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5:“过直线外一点有

且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似

乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直

线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，''三角形内角和小于

二直角”，从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线。这些与传统观念相违

背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是

很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中，

较多地利用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个

理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头

都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不

同感受的难到不是切入肌肤的美吗？如果我们再大胆设想一下，是不是还存在一

个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢？事实上，通过高斯曲率可以

将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还可以通过克莱因几何学与变换群的观

点将三种几何统一起来。在不断创新的过程中，数学得到了发展。

2.7创造美

数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，

范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到

能否再把复数的概念继续推广。

英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出

妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为&+azi+a3j+a4k

(a“a2i,a3j,a4k为实数)的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位。若

a3=a4=0,贝U四元数a+azi+asj+a4k是一般的复数。四元数的研究推动了线性代

数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论，物理学家麦克斯韦利用四元

数理论建立了电磁理论。

数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求

更有力的工具和更简单的方法

例2有2〃+l(〃eN)个飞机场，每个飞机场都有一架飞机，各个飞机场之间

的距离互不相等。现让所有的飞机一起起飞，飞向最近的机场降落，求证必存在

一个机场没有飞机降落。

证明：当”=1时，设3个飞机场为其中区d<lAB],\BC\<\AC\,则

5c间的飞机必定对飞。而不管A机场的飞机飞向8还是飞向C,都使A机场无

飞机降落。

现假设〃=上时命题成立，当“=左+1时，由于机场之间的距离两两不等，必

有两处机场的距离是最近的，这两处的飞机会对飞，不会影响其他机场。我们将

这两个机场先撤出，由归纳假设，剩下的2k+1个机场中，存在一个机场尸没有

飞机降落，再把撤走的机场放回，则尸仍无飞机降落，从而可知当〃=左+1时命

题成立。

例3设有2"个球分成了许多堆，我们可以任意选甲，乙两堆来按照以下规

则挪动：若甲推的球数p不少于乙堆的球数q,则从甲推拿q个球放到乙堆去，

这样算挪动一次，求证：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆。

证明：当”=1时，共有2个球，若已成一堆，则不必挪动；若分成两堆，

则挪动一次便可成功。

假设77=左时命题成立，当〃=左+1时，对于个球，若将2个粘合成1个

便退到2上个球的情况，这种粘合要求每堆球的个数为偶数，可讨论如下：

若每堆球的个数为偶数，则每挪动一次都挪动了偶数个球，这样的任意一次挪动

与将球两两粘合在一起挪动无本质区别，从而等价与丁个球的挪动，根据归纳

假设，这是可以做到的。

若存在球数为奇数的堆，则由总球数为偶数知，有奇数的堆数为偶数，将它

们配对先挪动一次，于是每堆球数都为偶数，问题可以解决。

例4对每个2,求证存在"个互不相等的正整数a，%，…，使得

(q.|(4，对任意的z；/w{l,2,/w)成立。

证明：当”=2时，取。]=1,“2=2,命题显然成立。

假设n=Z时命题成立,即存在ax,a2,---ak满足1%记b为

q,%，…以及它们每两数之差的最小公倍数，贝，左+1个数。,%+上出+瓦…%+年

也满足[(q+b)-b]\[^at+b)+b],«=1,2,…左),

[(《+b)-+b)][(《・+Z?)+(%+Z?)],(i,j=l,2..・k,iwj),

即命题对“=左+1时成立，由数学归纳法知命题得证。

例5设数列a“=标，求证：当〃之3时，a“+i<4。

证明：当“=3时，a4=A/4=y/2=,而%=A/3=A/9,所以/<%,原不

等式成立。

彳度设”=左23时，有女可式<班,即（左+i）*</+i,（1）

当n=左+1时，要证”而万<上班工1,即要证（左+2）1<（左+1）"2,（2）

由⑴式两边分别乘以（4+2户，从而

（左+球（左+2广।<［左（左+2）『<［（左+1『『，

两边消去（左+球,得（4+2广<优+1广2。

两边开（左+1）（k+2）次方即得及即「1<上必1工1。即当〃=左+1时，原式成立。

综上，证得原命题成立。

例6已知：对于任意的正数以恒有。<匕+£,证明：a<b,

a-b八77a-ba+b

£=---->0b+£-b-\--------=-------<a

证明设。>人，则a—>>0,取2,有22

与已知相矛盾，所以假设不成立，于是原命题结论。<匕成立.

爱因斯但曾经说过：“我思考问题时，不是用语言进行思考，而是用活动的

跳跃的形象进行思考。当这种思考完成以后，我要花很大力气把他们转换成语言。

爱因斯坦一生的梦想就是