高中数学《函数的极值与导数》导学案

3.3.2函数的极值与导数

卜课前自主预习

品基础导学

1.函数的极值定义

设函数人划在点X0及其附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有阪

则称/Uo）是函数/U）的一个圆极大值,记作y极大值=/5））；如果对x（）

附近的所有点都有蚂似浊应，则称ZU。）是函数"）的一个例极小值,记作y极

小值=穴沏）.极大值与极小值统称为极值.

极大值与极小值没有必然的大小

关系，极大值不一定比极小值大.

2.函数极值的判定

当函数/U）在点均处连续时，判断;Uo）是否存在极大（小）值的方法是：

⑴如果在向附近的左侧因/'（x）＞0,右侧的/'（x）＜0,那么.穴沏）是极大值;

（2）如果在xo附近的左侧圆UKQ，右侧阚/'3＞0,那么式xo）是极小值;

（3）如果/'（幻在点即的左右两侧符号不变，则/Uo）理丕是函数人x）的极值.

/'''..■'...

极小值极大值

左负（\）右正（/），极小值

左正（/）右负（\）,极大值

3.求可导函数极值的步骤

一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y=/（x）的极值点：

⑴求出导数㈣63；

（2）解方程叵）尸（x）=0；

（3）对于方程/（x）=0的每一个解的，分析/'。）在刈左、右两侧的符号［即

*x）的单调性］,确定园极值:

①若/（九）在xo两侧的符号“左正右负”，则心为回极大值点;

②若/（%）在的两侧的符号“左负右正”，则心为回极小值点;

③若⑴在M）两侧的符号相同，则M）耳不是极值点.

导数为。的点不一定是极值点，但极

值点处的导数一定为0.导数为。的点

的两侧导数值异号时才是极值点.

H知识拓展

函数极值点的两种情况

（1）若点的是可导函数7U）的极值点，则/'（的）=0,反过来不一定成立.

(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：>=国在x=0处不可导，但

x=0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为。)=0的根或不可导

点两种情况.

自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)函数4%)=丁+0%2—x+1必有2个极值.()

(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.()

(3)函数有极值.()

答案(1)V(2)V(3)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数«x)的定义域为开区间(a,b),导函数/(x)在(a,份内的图象如图所

示，则函数/U)在开区间(a,与内极大值点的个数为.

(2)函数4尤)=/+》+1有极值的充要条件是.

(3)已知函数fix)=x2-2］nx,则fix)的极小值是

答案(1)2(2)a<0(3)1

卜课堂互动探究

探究1求已知函数的极值

例1求下列函数的极值.

(l)yU)=(+31nx；

(2次8)=/一3d—2在(a—1,a+1)内的极值(a>0).

［解］⑴函数/)=：+31nx的定义域为(0,+°°),f(%)=_1+：=3(尤/1)

令/'(x)=0得x=l.

当X变化时，/(x),凡r)的变化情况如下表：

X(0,1)1(1,+8)

f(X)—0+

XX)极小值3

因此当x=l时，/(X)有极小值，并且式1)=3.

(2)由/(%)=A:3—3d—2得/'(x)=3x(x—2),

令f(x)—0得尤=0或x—2,.

当X变化时，f(X),八X)的变化情况如下表:

X(一8,0)0(0,2)2(2,+8)

fw+0—0+

fix)极大值极小值

由此可得：

当0<。<1时，7U)在(a—1,a+1)内有极大值_A0)=—2,无极小值;

当a=l时，«r)在(a—1,a+1)内无极值；

当«3时,一X)在(a—1,a+1)内有极小值12)=—6,无极大值；

当时，凡r)在仅-1,a+1)内无极值.

综上得，当0<。<1时，7U)有极大值-2,无极小值；当l<a<3时，火x)有极

小值-6,无极大值；当a=1或a23时，./(X)无极值.

［条件探究］若将例1(2)中a>Q改为aVO,结果会怎样？

解由例1(2)中表可得：当一l<a<0时，/W在(。-1，。+1)内有极大值/。)

=—2,无极小值.

当—1时，/(x)在(a—1,a+1)内无极值.

综上得，当一l<a<0时，火幻有极大值一2,无极小值.

当aW—1时，«x)无极值.

拓展提升

求函数极值的方法

一般地，求函数y=/u)的极值的方法是：解方程/'(x)=O,设解为XO,

(1)如果在劭附近的左侧方a)>o,右侧/a)<o,那么yuo)是极大值；

(2)如果在向附近的左侧/'。)<0,右侧/'(x)〉0,那么4项)是极小值.

注：如果在即附近的两侧，(x)符号相同，则刈不是函数7U)的极值点.例

如，对于函数/u)=d,我们有/'(x)=3d.虽然/'(0)=0,但由于无论是x〉0,

还是x<0,恒有/'(x)〉0,即函数寅x)=d是单调递增的，所以*=0不是函数"x)

=/的极值点.一般地，函数y=«x)在一点的导数值为0是函数丁=凡¥)在这点取

极值的必要条件，而非充分条件.

【跟踪训练1】求下列函数的极值.

2x

(1的)=《+］—2；

(2阿=日7

解(1)函数的定义域为R.

、2(?+1)-4/2(x-l)(x+l)

fW=(x2+l)2=(x2+l)2-

令/'(x)=0,得x=-1或尤=1.

当X变化时，/(x),犬X)变化情况如下表:

X(—8,—J)-1(-U)1(1,+°°)

fW—0+0—

极小值极大值一

於)

-31

由上表可以看出，

当x=-1时，函数有极小值，且极小值为人-1)=—3；

当x=l时，函数有极大值，且极大值为犬1)=-1.

・0/、(x,2x-eA—x2e'x(2r)

•・/=©)2=e'，

令f(x)—0,得x—0或x—2.

当x变化时，/'(尤)，/U)变化情况如下表：

X(—8,0)0(0,2)2(2,+°0)

fU)一0+0—

极小值极大值

麻)

04e-2

由上表可以看出，

当x=0时，函数有极小值，且10)=0；

4

当x=2时，函数有极大值，且式2)=/.

探究2已知函数的极值求参数

例2已知,*%)=/+3以2+为(；+"2在》=—1时有极值0,求常数a,匕的值.

［解］因为/(X)在》=-1时有极值0，

且/'W=3x2+6ax+b.

f'(-1)=0,[3—6a+/?=0,

所以〈即〈,

7(一1)=0,[—1+3。一b~\~a=0,

a=1,a=2,

解得或S当a=1,b=3时,

b=3,b=9.

f(X)=3?+6X+3=3(X+1)2>0,

所以大无)在R上为增函数，无极值，故舍去.

当a=2,b=9时，

f'(x)=3?+12x+9=3(x+1)(x+3).

当xe(—3,—1)时，八x)为减函数;

当(—8,一3］和［-1,+8)时，*》)为增函数.

所以«r)在尤=一1时取得极小值，因此a=2,0=9.

拓展提升

已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时,

注意两点：

(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求

解后还须验证根的合理性.

【跟踪训练2】已知/0)=/+依2+笈+韵.*X)在点x=0处取得极值，并

且在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性.

(1)求实数。的值；

(2)求实数a的取值范围.

解(1)因为/'a)=3d+2奴在点尤=0处取得极值，所以/'(0)=0,

解得6=0.

(2)令/'(x)=0,即3f+2ax=0,

解得x=0或无=—§a.

-2

依题意有一丞(>0.

又函数在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性，

2

所以必有2W—gaW4,解得一6WaW—3.

探究3利用极值判断方程根的个数

例3已知曲线,*x)=-/+3/+9%+。与x轴只有一个交点，求实数a的取

值范围.

［解］f'(x)=-3?+6x+9.

令/'(尤)=0，解得修=-1,无2=3.

列表：

X(―0°,—1)-1(-1,3)3(3,+8)

/(X)—0+0—

fix)极小值极大值

所以当x=—1时，/U)有极小值/(—l)=a—5；当尤=3时，7U)有极大值13)

=。+27.

画出大致图象，要使_/(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如

图1)或极小值大于0(如图2).

所以5>0或。+27<0.解得a>5或a<—21.

故实数a的取值范围为a>5或a<—27.

拓展提升

(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地，方程7U)

=0的根就是函数7U)的图象与x轴交点的横坐标，方程兀r)=g(x)的根就是函数

兀r)与g(©的图象的交点的横坐标.

(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此

基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图

象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.

【跟踪训练3】设函数/U)=d—6X+5,XGR.

(1)求函数4x)的单调区间和极值；

⑵若关于x的方程义x)=a有三个不同实根，求实数a的取值范围.

解(l)f(X)=3X2-6,令/(X)=0,解得尤I=—6，尤2=啦.

因为当x>/或x<—正时，f'(x)>0；

当一啦6时，f(x)<0.

所以/U)的单调递增区间为(一8,一亚和(巾,+8);单调减区间为(一&,

当X=一地时，_/（x）有极大值5+4也；当尤=也时，兀冷有极小值5-472.

（2）由（1）的分析知y=/（x）的图象的大致形状及走向如右图所示，

当5—4/<0<5+4&时，直线y=a与y=y（x）的图象有三个不同交点，即方

程/U）=a有三个不同的解.

（----------------------1踊提升1-----------------------）

1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变

量的值，极值指的是函数值.

2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数人幻在点尤=的处取得极值的充要

条件是/'（M））=0且在x=M）两侧/'（x）符号相反.

3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.

卜随堂达标自测

1.函数_/（%）=。9+法在x=1处有极值-2,则a,Z?的值分别为（）

A.1,-3B.1,3

C.-1,3D.—1,-3

答案A

解析•"（x）=3一+。，⑴=3a+Z?=0.①

又当x=l时有极值-2,...a+b=-2.②

a=l,

联立①②解得，.

S=-3.

2.设函数«r）=xe",则（）

A.x=l为犬x）的极大值点

B.x=l为於）的极小值点

C.》=-1为/W的极大值点

D.》=一1为八x）的极小值点

答案D

解析求导得/'（无）=6、+胧”=炉（无+1）,令/'a）=e"（x+l）=O,解得尤=一

1,易知尤=—1是函数y（x）的极小值点.

3.函数.*x)=*3—6f—15尤+2的极大值是,极小值是.

答案10-98

解析f(x)=37-12x-15=3(x-5)(x+l),在(一8,-1),(5,+°°)±

f'(x)>0,在(一1,5)上/'(x)<0,所以/U)极大值=x-1)=10,式幻核小值=<5)=—98.

4.函数y=xe，在其极值点处的切线方程为.

答案尸T

解析由题知y'=e"+无e"令>'=0,解得％=—1,代入函数解析式可得

极值点的坐标为(一1,一J,又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y

e,

5.已知函数«r)=x3—3x+a(a为实数)，若方程.*%)=0有三个不同实根，求

实数。的取值范围.

解令/'(-X)=3x2—3=3(x+l)(x—1)=0,

解得Xl=—1,%2=1.

当x<一1时，/'(x)>0；

当一1<%<1时，f(x)<0；

当x>l时，/'(x)>0.

所以当％=—1时，7U)有极大值五—l)=2+a；

当x=l时，段)有极小值丹1)=一2+以

因为方程«r)=0有三个不同实根，

所以y=/U)的图象与x轴有三个交点，如图.

所以极大值2+a>0,极小值-2+aVO,

解得一2VaV2,故实数a的取值范围是(一2,2).

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.已知函数,*x)=a?+"2+c,其导函数图象如图所示，则函数人元)的极小

值是()

Ax

A.〃+〃+c

B.8a+4/?+c

C.3a+2b

D.c

答案D

解析由图象可以看出，当XW(—8,0)时，/(x)<0,函数凡r)单调递减；

当x@(0,2)时,f'(x)>0,函数贝x)单调递增；当xW(2,+8)时，f(%)<0,函

数凡r)单调递减.所以x=0时，函数取得极小值，/(0)=c.

2.函数负》)=*3—3/—%:(—2〃<2)有()

A.极大值为5,极小值为一27

B.极大值为5,极小值为一11

C.极大值为5,无极小值

D.极大值为一27,无极小值

答案C

解析f'(x)=3JC2—6x—9=3(x+l)(x—3).

令/'(x)=0,得修=-1,忿=3(舍去).

当一2〈尤<一1时，f(x)>0；当一1<%<2时，f(x)<0,

故当X=—1时，/(x)有极大值，./(x)极大仅=大-1)=5,无极小值.

3.设函数>=段)在R上可导，则/'(xo)=0是y=於)在x=x()处取得极值的

充分不必要条件必要不充分条件

充要条件既不充分也不必要条件

答案B

解析以/u)=d为例,｛工)=/在尤=0处导数为0,但不取得极值.故/(即)

=0是y=«x)在x=xo处取得极值的必要不充分条件.

4.若函数«r)=2x3—9J?+12X—a恰好有两个不同的零点，则。可能的值为

()

A.4B.6C.7D.8

答案A

解析由题意得了'（》）=6*2-18x+12=6（x—l）（x—2）,由/'（x）>0得x<l或

x>2,由/'（x）<0得l<x<2,所以函数人x）在（一8,i）,（2,+8）上单调递增，在

（1,2）上单调递减，从而可知_/U）的极大值和极小值分别为11）,负2）,若欲使函数

式幻恰好有两个不同的零点，则需使yu）=o或y（2）=o,解得。=5或。=4,而选

项中只给出了4.故选A.

5.设adR,若函数y=e、+ax（xeR）有大于零的极值点，则（）

A.a<—1B.a>-1

答案A

解析力=3+以，

'.y'=e*+a,令y'=e*+a=O,则e*=—a.

即x=ln（—a）,X'.'x>0,—a>l,即a<—1.

二'填空题

6.函数_/（x）=$3—3x—1的图象与x轴的交点个数是.

答案3

解析。）=九2—2%一3=（尤+1）（无一3）,函数在（一8,—1）和（3,十8）上是

2

增函数，在（一1,3）上是减函数，由兀¥）板小值=*3）=-10<0,火x）梃大值=八-1）=亍>0

知函数/U）的图象与x轴的交点个数为3.

2

7.函数_Ax）=1+lnx的极小值为.

答案l+ln2

221x~2

解析由於)=1+lnx知，f(x)=—p+-=-^2-,令/'(x)=0,得x=2.

X,(x),於)取值情况如下表:

X(0,2)2(2,+°0)

—0+

於）l+ln2

•\/U）极小径=A2）=l+ln2.

8.如果函数y=/（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断:

①函数y=/(x)在区间

(—3,一内单调递增；

②函数y=«r)在区间

(T3)内单调递减；

③函数y=/W在区间(4,5)内单调递增；

④当x=2时，函数y=«r)有极小值；

⑤当尤=—3时，函数y=/a)有极大值.

其中正确的结论为.

答案③

解析由导函数的图象知：

当(—8,一2)时,f(x)<0,.*X)单调递减；

当％£(—2,2)时,f(x)>0,/)单调递增；

当x£(2,4)时，f(x)<0,/)单调递减；

当x£(4,+8)时，f(x)>0,/)单调递增;

在x=—2时，/U)取极小值；

在x=2时，/U)取极大值；

在x=4时，式x)取极小值.

所以只有③正确.

三'解答题

9.已知函数y=ar'+/?x2,当％=1时，有极大值3.

(1)求实数。，人的值；

(2)求函数y的极小值.

解⑴y'=3ax'+2bx.

=

川)=3，a+b=3,。，解得a-6,

由题意，知，即<L+2Q1

f(1)=0,，=9.

(2)由(1),知y=—6i+9小.

所以y'=-18x?+18%=-18x(x—1).

令y'=0,解得修=1,》2=0.

所以当x<0时，y'<0；当0令<1时，y'>0；

当x>l时，y'<0.

所以当x=0时，y有极小值，其极小值为0.

10.已知aWR,讨论函数,/(x)=e*(x2+ax+a+1)的极值点的个数.

解f(x)=ev(x2+ax+a+1)+eA(2x+a)

=e'[x2+(a+2)x+(2a+1)].

令/'(x)=O所以f+(a+2)x+2a+1=0冰

①当J=(a+2)2—4(2a+l)=a2—4a>0,

即。<0或a>4时，设※有两个不同的根为，x2,不妨设xi<X2,

x

所以/'(x)=e(x—xi)(x—x2).

，

X(一8，X|)X1（Xi，X2）X23+0°)

fW+0