2024新高考数学基础知识梳理与课本题目巩固-模块09-解三角形

模块九：解三角形1、余弦定理(1)余弦定理:三角形中任意一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在△ABC中,角A,B,提示:在△ABC中,若∠C=π(2)余弦定理的推论及其变形推论:cosA=b2由余弦定理知在△ABC中,若∠A为锐角,则cosA>0,从而b2+c2−a2>0,即b2+c2>a2;若∠A为钝角,则cosA<(3)余弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P42)2、正弦定理(用不同方法给出证明)(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为在正弦定理中,设asinA=bsinB=csinC(2)正弦定理的变形与推广边化角。1)a:b2)a=2RsinA,径);.角化边.3)sinA=a2R,sinB=b4)asinB5)a=(3)正弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P46)3、三角形中三个内角之间的关系利用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题时,要注意三角形三个内角的一些三角函数关系:在△ABC中,(1)sinA=tanA=−tanB+tan(2)sinA2∴tanA1−tanB-(tanB+tanC),∴tanA−tanAtanBtanC∴tanAtanAtanBtanCcos2A4、三角形的面积公式在△ABC中,角A,B,(1)S△A(2)S△A(3)S△ABC=12a+b(4)数量积形式的三角形面积公式:在△ABC中,设AB=mS(5)坐标形式的三角形面积公式:在△ABC中,设S注:其他表示三角形面积公式形式,请阅读课本人教A版必修二P54)5、三角形中的两个重要模型(1)三角形周长的求解:三角形周长等于三边和,但是有的时候需要转化。周长=模型:a(2)三角形面积最值:均值不等式求面积:均值不等式结合完全平方公式运算模型:a等量代换:aS6、测量中角的有关术语及计算1.方位角○名师点睛正南方向:指从原点O出发经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南方向线上,可类推正北方向、正东方向和正西方向.从指北方向顺时针转到目标方向的水平角,如图(1).图(1)图(2):北偏东m∘图(3):南偏西2.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)xx度,如图(2),(3).3.仰角与俯角在同一铅直平面内,目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.如图.4.坡角坡角:坡面与水平面的夹角.坡度:坡面的垂直高度h和水平长度l的比.设坡角为α,坡度为i,则i=h【课本优质习题汇总】人教A版必修二P512.如下页图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ.求证:山高h(第2题)人教A版必修二P53(第8题)8.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,在点12.如图,在△ABC中,已知(第12题)AC边上的两条中线AM,BN相交于点P13.一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度v1的大小为v1=10 km(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;(2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.人教A版必修二P5315.△ABC的三边分别为a,b,c,边mmm16.在△ABC中,求证:20.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为(1)三角形的面积S=p(2)若r为三角形的内切圆半径,则r(3)把边BC,AC,Ahhh人教A版必修二P5421.如图,为了测量两山顶M,N(第21题)沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,(1)指出要测量的数据(用字母表示,并标示在图中);(2)用文字和公式写出计算M,N22.已知a,b,c分别为△ABC三个内角(1)求A;(2)若a=2,则△ABC的面积为312.海中有一座小岛,周围3nmile内有暗礁.一艘海轮由西向东航行,望见该岛在北偏东75∘;海轮航行8nmile以后,望见该岛在北偏东人教B版必修三P(4)如果在△ABC中,角A的外角平分线AD与BCB人教B版必修三P一例4如图9-1-8所示平面四边形ABC已知B+DAD=25,求四边形人教B版必修三P例5在△ABC中,求证:bc【上述公式成为射影定理,熟记熟练应用】人教B版必修三P11求证:在ABC中,有a人教B版必修三P12(3)已知sinA+sinB:sinA+sinC:sin(5)已知△ABC的顶点为A1,1,Bm+分别根据下列条件，判断△AB(1)a2tanB=b2人教B版必修三P12(1)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2(2)已知△ABC中,AB=43,AC=23,AD(3)已知三角形的两边和为4,其夹角为60∘(4)在△ABC中,已知(5)在△ABC中,已知A=2B(1)已知△ABC中,(1)求角B;(2)若b=2,求△人教B版必修三P14例2如图9-2-5所示,在某海滨城市A附近的海图9-2-5面出现台风活动.据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60∘方向、距城市A300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30(3)如图所示,在倾斜角等于15∘的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角是α=45∘时,旗杆在山坡上的影子的长是(第3题)(第4题)(1)如图所示,在曲柄CB绕C点旋转时,活塞A作直线往复运动,设连杆AB长为340 mm,曲柄CB长85 mm,求曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转人教B版必修三P16(5)如图所示,A,B(第5题)顶P处测得3点的俯角分别为α,β,γ.计划沿直线AC开通穿山隧道.为求出隧道DE的长度,你认为还需要直接测量出AD,EB,B5.已知△ABC的周长为2+1(1)求AB(2)若△ABC的面积为16sinC6.在△ABC中,已知(1)求cosC(2)若CB⋅CA=57.已知AD是△ABC的角平分线,且(第8题)A=60∘,求8.如图所示,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60∘,C点的仰角∠CAB=45∘以及∠MAC1.已知△AB(1)若sin2A=sin2B(2)若sinA=cosB,则(3)若cosAcosBcosC<(4)若cosA−BcosB−2.已知向量a与a+b的夹角为60∘,且a=8,b=73.已知▫ABCD中,对角线AC=57,它与两条邻边AB和AD的夹角分别是30∘和454.在△ABC中,已知c=b1+2cosA,求证:5.在△ABC中,(1)求sin2B(2)若a=3,求b6.在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BA7.在四边形ABCD中,B=D=90∘,A8.在△ABC中,已知(1)若sinC:sinA=4(2)求△AB9.已知D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=(1)求证:sinα+(2)若AC=3DC10.已知锐角△ABC中,(1)求证:tanA=(2)若AB=3,求11.根据三角形的3边长a,b,c求三角形面积S,既可以用我国宋代数学家秦九韶提出的S也可以用海伦公式S其中p=a人教B版必修三P211.在△ABC中,∠ABC=90(1)若PB=12,求(2)若∠APB=150∘人教B版必修三P2