锐角三角函数（学案含解析）

2022年中考数学一轮复习学案

23锐角三角函数

中考命题说明

考点课标要求考查角度

通过实例认识锐角三角函数，知道30。45。,

常以选择题、填空题的形式考查锐

锐角三角60。角的三角函数值；会使用计算器由已知

1角三角函数的定义、特殊角的三角

函数锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值

函数值的计算等.

求它对应的锐角.

①会利用锐角三角函数解直角三角形；常以选择题、填空题、解答题的形式

解直角三

2②能运用三角函数解决与直角三角形有关考查运用三角函数解决与直角三角

角形

的简单实际问题.形有关的实际问题，以应用题为主.

知识第1：锐角三荒商政

知识点梳理

1.锐角三角函数的定义:

在RtZSABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,\C=b

ZA的对边a

正弦:sinA=

斜边

ex;勺誉边，

余弦:

斜边c

3A=幺黑半，.

余切:

Z4的邻边b

2.几个重要公式：

设。是一个锐角，则sina=cos(90°—a),cosa=sin(90°—a),sin2a+cos2a=l.

3.特殊角的三角函数值：

asinacosatana

]_

30°走旦

223

45°也正1

22

60°走6

22

4.锐角三角函数值的变化规律：

①当0。<01<90。时，sina（tana）随着角度的增大（减小）而增大（减小）.

②当时，cosa随着角度的增大（减小）而减小（增大）.

♦、

典型用甄

【例1】（4分）（2021•福建9/25）如图，AB为。。的直径，点P在48的延长线上，PC,PO与。。

相切，切点分别为C,D.若A8=6,PC=4,则sin/CAZ）等于（）

3234

A.-B.-C.-D.-

5345

【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理

【分析】连接OC、O。、CD,CD交外于E,如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC_LCP,

PC=PD,OP平分NCPO,根据等腰三角形的性质得到OP_LCQ,贝iJ/C08=N£>08,根据圆周角定

理得到NC4O=LNCO£>,所以NC08=NC4。，然后求出sinNCOP即可.

2

【解答】解：连接OC、OD、CD,CD交丛于E,如图，

ypc,尸。与G）O相切，切点分别为C,D,

：.OCA.CP,PC=PD,OP平分NCPD,

J.OPLCD,

：.CB=DB,

：.ZC0B=ZD0B,

ZCAD=-ZCOD,

2

：.ZCOB=ZCAD,

在RtAOCP中，OP=yl0C2+PC2=>/32+42=5,

pc4

JsinZCOP=—=",

OP5

4

sinZC4D=-.

5

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和解直角三

角形.

【例2】（3分）（2021•天津2/25）tan30。的值等于（）

A.—B.—C.ID.2

32

【考点】特殊角的三角函数值

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

【解答】解：tan30°=正.

3

故选：A.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.

【例3】（5分）（2021•北京17/28）计算：2sin60°+版+卜5|-+

【考点】实数的运算；零指数基；特殊角的三角函数值.

【分析】直接利用零指数基的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化

简得出答案.

【解答】解：原式=2x且+26+5-1

2

—y/3+2>/3+5-1

=373+4.

【点评】此题主要考查了零指数累的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等

知识，正确化简各数是解题关键.

【例4】（6分）（2021•云南15/23）计算：（-3了+四竺+（及-1）°一2]+2x（-6）.

23

【考点】实数的运算；负整数指数累；特殊角的三角函数值；零指数嘉

【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数基，负整数指数哥，然后在按照有理数的混合

运算顺序和法则进行计算.

【解答】解：原式=9+'+」-4=6.

22

【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数基及负整数指数幕，掌握运算顺序

准确计算是解题关键.

知浓点2：解直角三角形

知识点梳理

1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程,叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用关系：

在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则:

(1)三边关系:a2+b2=c2.

(2)两锐角关系:ZA+ZB=90°.

(3)边与角关系：sinA-cosB--,cosA=sin8=2,tanA=—.

ccb

(4)sin2A+cos2A=1.

3.解直角三角形的应用常用知识：

(1)仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

(2)坡度和坡角

坡度(坡比)：坡面的铅直高度6与水平宽度/的比叫做坡度或坡比，一般用i表示.

----------------------I

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,i=tana.

坡度越大，a角越大，坡面越陡.

(3)方向角(或方位角)

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角叫做方向角.

福型田勉

3

【例5】(4分)(2021•云南4/23)在△A3C中，ZABC=90°.若AC=100,sinA=1,则AB的长是

()

A500c503c°C

A.-----B.C.60D.80

35

【考点】解直角三角形

【分析】利用三角函数定义计算出8C的长，然后再利用勾股定理计算出A8长即可.

T.

【解答】解：：AC=100,sinA=-,

5

ABC=60,

/.AB=ylAC2-BC2=80,

故选：D.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义.

【例6】(6分)(2021•北京22/28)如图，在四边形ABC。中，N4CB=NC4O=9()°,点E在BC

上，AE//DC,EFLAB,垂足为F.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

4

（2）若AE平分NBAC,BE=5,cosB=—，求BF和AD的长.

5

【考点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形.

【分析】（1）证AQ〃CE,再由AE〃OC,即可得出结论；

（2）先由锐角三角函数定义求出8F=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分线的性质得EC=

EF=3,最后由平行四边形的性质求解即可.

【解答】（1）证明：•••NAC8=NC4D=9（r,

：.AD//CE,

'：AE//DC,

：.四边形AECD是平行四边形；

（2）解：,：EF1AB,

：.ZBF£=90°,

..48F

•COSD——=------，

5BE

44

：.BF=-BE=-x5=4,

55

EF=^BE2-BF2=V52-42=3,

平分NB4C,EFLAB,NACE=90°,

:.EC=EF=3,

由（I）得：四边形AEC力是平行四边形，

：.AD=EC=3.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等

知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AEC。为平行四边形是解题的关键.

【例7】（8分）（2021•西藏25/27）如图，为了测量某建筑物C£）的高度，在地面上取A,B两点,使

A、B、。三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°,小明同学在

点8处测得该建筑物顶部C的仰角为45°,且A8=10m.求建筑物8的高度.

（拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1m,A/3®1.732）

【考点】解直角三角形的应用一仰角俯角问题

【分析】连接AC、BC,由锐角三角函数定义求出8£>=CD,AD=y/3CD,再由AB=AL>-B£>,即可求

解.

【解答】解：连接AC、BC,如图所示：

由题意得：ZA=30°,NDBC=45°,45=10m,

在RtABDC't1,tanZ.DBC=—=tan45O=l.

BD

：.BD=CD,

在Rt^ACD中，tanZDAC=—=tan300=—,

AD3

AD=辰D,

AAB=AD-BD=y/3CD-CD=10（m）,

解得：8=56+5=13.7（m）,

答：建筑物CD的高度约为13.7m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出5Z）=CD,

AO=百8是解答本题的关键.

【例8】（3分）（2021•山西14/23）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年

12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12（为铅直高度与水平宽度

的比）.王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的

铅直高度BC为米.

【考点】解直角三角形的应用一坡度坡角问题

【分析】由坡度的定义，可设8c=5。米，则AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解.

【解答】解:由题意得：ZACB=90°,43=0.5X40=20（米），

；扶梯A8的坡度，=5:12=史，

AC

：.设BC=5a米，则AC=12。米，

由勾股定理得：（54）2+（12“）2=2（）2,

解得：a=—（负值已舍去），

13

BC-—（米），

13

故答案为：—.

13

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义

和勾股定理是解题的关键.

【例9】（10分）（2021•天津22/25）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处

遇险，发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方

向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援.求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40。

-0.84,G取1.73.

【考点】解直角三角形的应用一方向角问题

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可.

【解答】解：如图，过点B作垂足为H,

由题意得，ZBAC=60°,ZBCA=40°,AC=257,

在中，

tanZBAH=—,cosNBAH=—,

AHAB

A”

，BH=AHtan60°=>/3AH，AB=---------=2AH，

cos60°

在RtzXBC”中，

・・

.ta+nNB/CRHru=---B--H，

CH

.„„BHNAH

•♦Cn=------=---------，

tan400tan40°

^：CA=CH+AH,

・___\/3AH

•・257=------+AH,

tan40°

所以47=257x34],

tan400+V3

.Afi=2x257xtan40°g2x257x0.84=168（海里），

tan40°+V31.73+0.84

答：A8的长约为168海里.

【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键.

【例10】（10分）（2021•青海24/25）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AO=2米,

且两扇门的大小相同（EPAB=CD）,将左边的门A881A1绕门轴A41向里面旋转35°,将右边的门

COD1C1绕门轴£>£>1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时8与C之间的距离（结果保留一位

小数）.（参考数据：sin35°七0.6,cos35°^0.8,x/2Q1.4）

【考点】生活中的旋转现象；解直角三角形的应用.

【分析】作8ELAO于点E,作于点F,延长FC到点M,使得3E=CM,则EM=8C,在

RtA/lBE.Rt/XCDf中可求出AE、BE、DF、R7的长度，进而可得出E尸的长度，再在中

利用勾股定理即可求出的长，此题得解.

【解答】解：作BELAQ于点£,作CFLAQ于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,

：A8=CE,AB+CD=AD^2,

：.AB=CD^l,

在RtZkABE中，ZA=35°，AB=\,

：.BE=AB'sinZA=1Xsin350心0.6,

；.4E=A8・cosNA=lXcos35°*0.8,

在RtZXCCF中，ZD=45°,CD=\,

.•.CF=C£>.sinNO=lXsin45°七0.7,

.,.DF-CD-cosZD-1Xcos450-0.7,

'：BELAD,CF1.AD,

:.BE〃CM,

又；BE=EM,

四边形BEMC是平行四边形，

:.BC=EM,

在RtZXMEF中，FM=CF+CM=\.3,EF=AD-AE-FD=0.5,

：.EM=>JEF2+FM2=VL94=1.4.

答：B与C之间的距离约为1.4米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，

利用勾股定理求出8c的长度是解题的关键.

[例11]（8分）（2021•江西20/23）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，

图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身2A与额头保持垂直.量得

胳膊A/N=28c〃3MB=42cm,肘关节M与枪身端点4之间的水平宽度为25.3CTH（即MP的长度），

枪身BA=8.5cm.

（1）求/ABC的度数；

（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3〜5°”.在图2中，若测得/BMN=68.6°,小红与

测温员之间距离为50c%.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结

果保留小数点后一位）

（参考数据：sin66.4°*=0.92,cos66.4040.40,sin23.6°七0.40,&61.414）

【考点】解直角三角形的应用.

【分析】（1）过点B作垂足为H,根据解直角三角形COS/BMH=M^=画=0.4,即

BM42

可计算出的度数，再根据平行线的性质即可算出N48c的度数；

（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出NNM/的度数，根据三角函数即可算出M/的长度，再

根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案.

【解答】解：（1）过点8作垂足为H,过点用作M/_LFG,垂足为/,过点尸作尸K_L

DE,垂足为K,

u

：MP=253cmfBA=HP=S.5cmf

:・MH=MP-HP=25.3-8.5=16.8(cm),

在中，

8s4m〃=也=小=。4,

BM42

AZBM//=66.4°,

9：AB//MP,

：.ZBMH+ZABC=\SO°,

AZABC=\SO0-66.4°=113.6°；

(2)・・・NABC=180°-ZBMH=180°-66.4°=113.6°.

♦：NBMN=68.6°,NBMH=66.4°,

・・・NNM/=180°-N8MN-N8M"=180°-68.6°-66.4°=45°,

♦；MN=28cm,

.._oMlMl

MN28

:19.74cm,

〈KI=50cm,

：.PK=KI・MI・MP=50-19.74-25.3=4.96^5.0(^),

・・・此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的

关键.

巩固训练

X__________________________/

1.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟18/26）计算:-T2-2sin60°+|1-^|-Jj.

2.（5分）（2021•通辽18/26）计算：（；尸+（万一3）°-2cos30。+|3-疵|.

3.（3分）（2021•西藏14/27）计算：U-3）°+（-1）-2-4sin30°=3.

4.（5分）（2021•新疆15/23）如图，已知正方形A88边长为1,E为他边上一点，以点。为中心，

A/7O

将按逆时针方向旋转得△£>“；连接EF,分别交30,CO于点"，N,若——=-,则

DN5

sinZ£ZW=—.

5

4

5.（10分）（2021•上海21/25）如图，已知△AB。中，ACVBD,8c=8,CD=4,cosZABC=-,BF

5

为AO边上的中线.

（1）求AC的长；

（2）求tan/FBD的值.

6.（6分）（2021•广东20/25）如图，在RtZ\ABC中，44=90。，作8C的垂直平分线交AC于点。，

延长AC至点E,使CE=A8.

（1）若AE=1,求△ABD的周长；

（2）若=求tanZA8c的值.

3

7.（12分）（2021•河北26/26）在一平面内，线段A8=20,线段BC=CD=OA=10,将这四条线段

顺次首尾相接.把AB固定，让AQ绕点A从AB开始逆时针旋转角a（a>0°）到某一位置时，BC,

CD将会跟随出现到相应的位置.

论证：如图1,当AO〃BC时，设AB与C。交于点O,求证：40=10；

发现：当旋转角a=60°时，NADC的度数可能是多少？

尝试：取线段CQ的中点M,当点用与点B距离最大时，求点”到AB的距离；

拓展：①如图2,设点。与8的距离为d,若N8CO的平分线所在直线交A8于点P,直接写出BP

的长（用含4的式子表示）；

②当点C在AB下方，且与CO垂直时，直接写出”的余弦值.

8.（3分）（2021•呼和浩特8/24）如图，正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形，则可求

出此正八边形的外接圆直径d,根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形

的周长近似代替其外接圆周长，便可估计次的值，下面d及申的值都正确的是（）

A..=8（及-1）,*8sin22.5°

sin22.5°

B.d="&T）,^®4sin22.5°

sin22.5°

C.”=4（夜-1）,”8sin22.5°

sin22.5°

D.d=8®1）,乃。4sin22.5°

sin22.5°

9.（3分）（2021•包头12/26）如图，在平面直角坐标系中，矩形。ABC的0A边在*轴的正半轴上，OC

边在y轴的正半轴上，点6的坐标为（4,2）,反比例函数y=±（x>0）的图象与3c交于点与对

x

角线OB交于点E,与AB交于点F,连接OD,DE,EF,DF.下列结论：

①sinZDOC=cosZBOC；②OE=BE；③S"叱=5：；④。O:OF=2:3.

其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.（3分）（2021•鄂尔多斯10/24）如图①，在矩形ABCD中，”为CD边上的一点，点M从点A

出发沿折线AH-HC-CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运

动速度都是1刖/s,若点M、N同时开始运动，设运动时间为r（s）,ZVIMN的面积为Sa/）,已

知S与/之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）

①当0<f,,6时，△AMN是等边三角形.

②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个.

③当0<4,6时，S=—t2.

4

④当f=9+6时，IXADRsXABM.

⑤当9V，<9+3G时，S=-3r+9+3石.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③④⑤

11.（3分）（2021•赤峰16/26）某滑雪场用无人机测量雪道长度.如图，通过无人机的镜头C测一段

水平雪道一端A处的俯角为50。，另一端3处的俯角为45。，若无人机镜头C处的高度CD为238

米，点A,。，3在同一直线上，则雪道A5的长度为还米.（结果保留整数，参考数据sin50°*0.77,

cos50°x0.64,tan50°«1.19）

12.（12分）（2021•赤峰24/26）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、5D相交于点。。经过

点6,C,交对角线瓦）于点石，且CE=BE,连接OE交6C于点尸.

（1）试判断AB与。0的位置关系，并说明理由；

（2）若8。=必右，tanZCBZ）=-,求。。的半径.

52

13.（7分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟22/26）如图，在山坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB（即

AB1MN）,为固定电线杆，在地面。处和坡面D处各装一根引拉线3C和即，它们的长度相等，

测得AC=6米，tan/BC4=±,ZPAN=30°,求点。到/归的距离.

3

14.（8分）（2021•呼和浩特20/24）如图，线段EF与表示某一段河的两岸，EF//MN.综合实践

课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），己知河对岸EF上有建

筑物C、D,且CD=60米，同学们首先在河岸例N上选取点4处，用测角仪测得C建筑物位于A北

偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得。建筑物位于8北偏东55°方向，请你根据所测

数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

15.（7分）（2021•通辽21/26）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，

小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5〃〃s的速度沿着河岸向

东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45。方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数,

参考数据：73*1.732）

16.（8分）（2021•鄂尔多斯20/24）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放

置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长4?=115皿支撑板长8=70〃冲，板AB固定在

支撑板顶点C处，且CB=35mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动，ZCP£=60".

（1）若NDCB=70。时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；

（2）为了观看舒适，把（1）中〃C8=70。调整为90°,再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落

在直线DE上即可，求CD旋转的角度.

（参考数据:sin50°«0.8,cos50°«0.6,tan50°«1.2,sin26.6°«0.4,cos26.6°«0.9,tan26.6°«0.5,

73®1.7）

17.（9分）（2021•鄂尔多斯21/24）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交AC于点

D,3c于点E,直线即1AC于点/，交A6的延长线于点H.

（1）求证：印7是。。的切线；

（2）当EB=6,cosNAfiEn」时，求tan”的值.

3

18.（4分）（2021•重庆A卷10/26）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站和

ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距

离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m,测得山

坡小的坡度i=l：L25.若ND=）DE,点C,B,E,厂在同一水平线上，则两个通信基站顶

8

端M与顶端N的高度差为（参考数据：&=1.41,6=1.73）（）

A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7加

19.（4分）（2021•重庆B卷10/26）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有

一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i=l：2.4,坡顶。到BC的垂直距离。E=50米（点A,B,C,

D,E在同一平面内），在点。处测得建筑物顶A点的仰角为50。，则建筑物A8的高度约为（）

（参考数据:sin50°=0.77；cos50°=0.64；tan500~1.19）

A.69.2米B.73.1XC.80.0XD.85.7米

20.（4分）（2021•广东16/25）如图，在28CD中，AD=5fAB=12,sin.过点。作DEIAfi,

5

垂足为石，则sinNBCE=2^3.

50

21.（8分）（2021•安徽17/23）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分

所示，已知四边形AEFQ为矩形，点、B、C分别在EF、QF上，NA8C=90°,NBAD=53°,AB=

10cm,BC=6cm.求零件的截面面积.参考数据：sin53°弋0.80,cos53°=0.60.

22.（9分）（2021•河南19/23）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像

是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量

点A与佛像8D的底部。在同一水平线上.已知佛像头部6c为4用，在A处测得佛像头顶部3

的仰角为45。，头底部C的仰角为37.5。，求佛像8D的高度（结果精确到0.1加.参考数据：

sin37.5°»0.61,cos37.5°»0.79,tan37.5°«0.77）.

23.（10分）（2021•新疆20/23）如图，楼顶上有一个广告牌A8,从与楼BC相距15〃?的。处观测广

告牌顶部A的仰角为37°,观测广告牌底部B的仰角为30°,求广告牌A8的高度.（结果保留小

数点后一位，参考数据：sin37°七0.60,cos37°g0.80,tan37°^0.75,右比1.41,>5«1.73）

24.（11分）（2021•新疆22/23）如图，AC是。。的直径，BC,比>是。。的弦，做为5c的中

点，OM与BD交于点、F,过点。作。E18C,交3C的延长线于点£,且8平分N4CE.

（1）求证：。后是。。的切线；

（2）求证：Z.CDE=ZDBE；

7___

（3）若£>E=6,tan/C£>E=—,求斯的长.

3

25.（9分）（2021•河北23/26）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点产）

始终以3kmimin的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1

号机P的正下方.2号机从原点。处沿45°仰角爬升，到4b”高的A处便立刻转为水平飞行，再过

\rnin到达B处开始沿直线BC降落，要求\rnin后到达C（10,3）处.

（1）求OA的人关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求3c的"关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标：

（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少.

［注：（1）及（2）中不必写s的取值范围］

26.（6分）（2021•陕西21/26）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所

示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索A8的长度.他们测得NA8O为30°,由于从。两点间的

距离不易测得，通过探究和测量，发现/AC。恰好为45°,点B与点C之间的距离约为16%已知

B、C、。共线，AD1BD.求钢索48的长度.（结果保留根号）

27.（10分）（2021•海南20/22）如图，在某信号塔A8的正前方有一斜坡CD,坡角NC£>K=30°,

斜坡的顶端C与塔底B的距离8C=8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角Z4£W=60°,

CE=4米，旦BC//NE//KD,AB1BC（点A,B,C,D,E,K,N在同一平面内）.

（1）填空：48=150度,Z4EC=度；

（2）求信号塔的高度A8（结果保留根号）.

28.（8分）（2021•山西21/23）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示

牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图

如图所示，并测得AB=100C7〃，BC=S0cm,ZABC=120°,ZBCD=75。,四边形DEFG为矩形，且

DE=5cm.请帮助该小组求出指示牌最高点4到地面印的距离（结果精确到O.lcm.参考数据：

sin75°«0.97,cos75°«0.26,tan75°»3.73,V2«1.41）.

29.（8分）（2021•西藏26/27）如图，A6是。。的直径，OC是半径，延长OC至点。.连接4）,

AC,BC,使NGW=4.

（1）求证：4）是。。的切线；

（2）若4）=4,tanZC4£>=-,求3C的长.

2

30.（7分）（2021•吉林22/26）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°,求北纬44°纬

线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

（2）如图，。。是经过南、北极的圆，地球半径0A约为6400k”.弦BC〃OA,过点。作。K1BC

于点K,连接03.若/4。8=44。，则以欧为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；

（3）参考数据：a取3,sin44°=0.69,cos44°=0.72.

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为BC〃OA,408=44°,

所以N8=AAOB=44。（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），

因为OKJ_BC,所以NBKO=90。，

在RtZ^BOK中，08=04=6400.

BK=OBx（填“sinB"或"cosB"）.

所以北纬44°的纬线长。=2%.

=2x3x6400x（填相应的三角形函数值）

=（km）（结果取整数）.

♦

巩固训练解析

「二

1.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟18/26）计算：-2-2-2sin60o+|l-G|-J.

【考点】实数的运算；负整数指数累；特殊角的三角函数值

【分析】直接利用负整数指数塞的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别

化简得出答案.

【解答】解：原式=」-2x且+百一1_且=_1_73+^-1--

4234343

【点评】此题主要考查了负整数指数基的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性

质，正确化简各数是解题关键.

2.（5分）（2021•通辽18/26）计算：弓尸+（万一3）°-2cos30。+|3-疵|.

【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数塞；实数的运算

【分析】先计算负整数次幕、零指数幕、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可.

【解答】解：原式=2+l-2x巫+26-3

2

=>/3.

【点评】此题考查的是实数的运算，掌握负整数次基、零指数幕、特殊三角函数、绝对值的运算法则

是解决此题关键.

3.（3分）（2021•西藏14/27）计算：（万—3）°+（-1尸一4sin3（T=3.

【考点】负整数指数基；特殊角的三角函数值；零指数累；实数的运算

［分析】直接利用零指数基的性质以及负整数指数幕的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

【解答】解：原式=l+4-4x4=l+4-2=3.

2

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了负整数指数基的性质、特殊角的三角函数值、零指数基的性质，正确化筒各

数是解题关键.

4.（5分）（2021•新疆15/23）如图，已知正方形A38边长为1,E为他边上一点，以点。为中心，

将△ZM£按逆时针方向旋转得△OCF,连接所，分别交50,CD于点M,N.若任=2,则

DN5

sinZEDM=好.

5

【考点】旋转的性质；正方形的性质；解直角三角形

【分析】过点E作EG_LBD于点G,设AE=2x,则DV=5x,易证△FNCs△尸EB,得些=空，

EBBF

求出x的值，进而得到隹，EB的值，根据勾股定理求出即，在RtaEBG中求出EG,根据正弦的

定义即可求解.

【解答】解：如图，过点E作EGLBD于点G,

设AE=2x,则DV=5x,

由旋转性质得：CF=AE=2x,N£>b=NA=90。，

•.•四边形A88是正方形，

:.ZDCB=90°,ZABC=90°,ZABD=45°,

ZDCB+ZDCF=180P,ZDCB=ZABC,

:.点B,C,尸在同一条直线上，

■.Z/XJB=ZABC,ZNFC=AEFB,

:.△FNCsXFEB,

NCCF

--=——，

EBBF

l-5x_2x

…l-2x-l+2x'

解得：Xj=-1（舍去），x=—,

2-6

AE=C2x—1=—1,

63

.1ED=4AE2+AD2=拈y+[2=半，

EB=AB-AE=\--=~,

33

在RtZ\EBG中，EG=BE-sin45°=-x—=—

323

0

EGT=V5

sinNEDM=访一涧一丁

3

故答案为：好.

5

【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，证明出

△FNCS^FEB,求出x的值是解题的关键.

4

5.（10分）（2021•上海21/25）如图，已知△A3Q中，AC±BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BF

5

为AO边上的中线.

(1)求4c的长；

(2)求tan/FBO的值.

【考点】解直角三角形

【分析】(1)解锐角三角函数可得解；

(2)连接CF,过产作BD的垂线，垂足为E,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF=FD,

由勾股定理可得A。=2万，EF=2,即可求tan/尸8D

RC4

【解答】解：(1)VcosZABC=—=-,BC=8,

AB5

AAB=10,

,JACLBD,

在RtZVICB中，由勾股定理得，

AC=^AB--BC-=>/102-82=6,

即AC的长为6；

(2)如图，

连接CF,过F作2。的垂线，垂足为E,

「台尸为A。边上的中线，

即尸为A。的中点，

/•CF=-AD=FD,

2

在RtZ\ACQ中，由勾股定理得，

AD=qAC2+CD2=A/62+42=2>/13,

:△CFf)为等腰三角形，FELCD,

：.CE=-CD=2,

2

22

在RtZXEFC中，EF=yJCF-CE=5/13-4=3,

尸尸33

二tanZFBD=——=-------=—.

BEBC+CE10

【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解直角三角函数和勾股定

理等基本知识点.

6.(6分)(2021•广东20/25)如图，在Rt/XASC中，/4=90。，作BC的垂直平分线交AC于点O,

延长AC至点E,使CE=AB.

(1)若他=1,求△48。的周长；

（2）若AD=LBD,求tanZABC的值.

3

【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质

【分析】（1）连接如，设8c垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可;

（2）设A£>=x,则或）=CD=3x,AC=4x,由勾股定理可表示出AB=2岳，从而可计算出

,小AC4xFT

tanZABC==—左一=v2.

AB2V2x

【解答】解：（1）如图，连接必，设8C垂直平分线交8C于点尸,

:.BD=CD,

=AB+AC,

・・・AB=CE,

/.C&{BD=A。+CE=AE=1,

故△A5Q的周长