第二十五章 概率初步（能力提升）（解析版）

第二十五章概率初步（能力提升）考试时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1、天气预报“明天12：00点下雨的概率为51%”，则下列说法正确的是（）A．明天12：00点肯定下雨B．明天12：00点下雨和不下雨的可能性几乎相同C．明天12：00点肯定不下雨 D．明天12：00点下雨的可能性极大【答案】B【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】“明天12：00点下雨的概率为51%”，说明明天12：00点下雨和不下雨的可能性几乎相同，选项B正确，故选：B．【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．2．2019年8月上旬某市空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）如下表所示，空气质量指数不大于100表示空气质量优良日期12345678910AQI（μg/m3）283645433650801176147如图小王8月上旬到该市度假一次，那么他在该市度假3天空气质量都是优良的概率是（）．A． B． C． D．【分析】根据表格中的数据和题意可以求得3天空气质量都是优良的概率．【解答】解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴小王在该市度假3天空气质量都是优良的概率是；故答案为：A【考点】用列举法求概率.3、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）A、QUOTE B、QUOTEC、QUOTE D、QUOTE【答案】C【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．【解析】列表得：

右（直，右）

（左，右）（右，右）

左

（直，左）

（左，左）

（右，左）

直

（直，直）

（左，直）

（右，直）

直

左

右∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，

∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是故选C．【考点】两步事件放回；用树状图或列表法求概率.4、某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张()A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D【分析】由于中奖概率为，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．【解析】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定故选D．【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：，为不可能事件；为必然事件；为随机事件．5．电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选种号码全部正确则获一等奖，你认为获一等奖机会大的是（）A．“22选5” B．“29选7” C．一样大 D．不能确定【分析】先计算出“22选5”和“29选7”获奖的可能性，再进行比较，即可得出答案．【解答】解：从22个号码中选5个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18＝3160080，选出的这5个号码能组成数的个数为5×4×3×2×1＝120，这5个号码全部选中的概率为120÷3160080≈3.8×10﹣5；从29个号码中选5个号码能组成数的个数有29×28×27×26×25×24×23＝7866331200，选出的这5个号码能组成数的个数为7×6×5×4×3×2×1＝5040，这5个号码全部选中的概率为5040÷7866331200≈6×10﹣7；因为3.8×10﹣5＞6×10﹣7，所以获一等奖机会大的是“22选5”，故选：A．【考点】概率的实际应用.6、某校学生会文艺部换届选举，经初选、复选后，共有甲、乙、丙三人进入最后的竞选．最后决定利用投票的方式对三人进行选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，全校设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已开完所有选票，剩下第四投票箱尚未开箱，结果如表所示（单位：票）：投票箱候选人废票合计甲乙丙一20021114712570二2868524415630三97412057350四250下列判断正确的是（）A．甲可能当选 B．乙可能当选 C．丙一定当选 D．甲、乙、丙三人都可能当选【答案】A分析：根据已知三个投票箱中合计的得票率估计，得票率大者当选的可能性较大，但不一定能当选，因为还有250人的投票没有统计.【解析】三个投票箱中甲的得票率是×100%≈37.6%；三个投票箱中乙的得票率是×100%≈21.7%；三个投票箱中丙的得票率是×100%≈38.5%；因为还有250人的投票没有统计，所以三人都有可能当选，可能性最大的是乙，最小的是乙.但丙一定当选也不对，所以应判断甲可能当选.故选A.【点睛】本题考查了可能性的大小，要理解可能性大的不是一定就能发生，可能性小的也不是一定不能发生，可能性大，只是表示发生的机率较大，但并是一定能发生.7．如图，将菱形纸片ABCD固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，．如果随意投出一针命中菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，从而可以解答本题．【解答】解：设CD＝5a，∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，，∴CF＝4a，DF＝3a，∴AF＝2a，∴命中矩形区域的概率；故答案为：C．【考点】几何概率8．某校有21名学生参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（）A． 最高分 B． 平均分 C． 极差 D． 中位数【答案】D【解析】第11名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛，故选D．【考点】中位数的运用9、新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：抽检数量n/个205010020050010002000500010000合格数量m/个194693185459922184045959213口罩合格率0.9500.9200.9300.9250.9180.9220.9200.9190.921下面四个推断合理的是（）A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921；B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921．【答案】C【分析】根据统计表中的数据和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解析】A、当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，这批口罩中“口罩合格”的概率不一定是0.921，故该选项错误；B、由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，这批口罩中“口罩合格”的概率不一定是0.920，故该选项错误；C、随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920，故该选项正确；D、当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率不一定是0.921，故该选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．10、在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值.将该数字加2作为b的值，则（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的概率是()A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意可求得：（a，b）的等可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集为≤x＜b，所以可得（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的个数，利用概率公式即可求得答案．【解析】根据题意得：（a，b）的等可能结果有：（﹣2，0），（﹣1，1），（0，2），（1，3），（2，4）共5种；∵，解①得：x≥，解②得：x＜b，∴≤x＜b，∴（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的有（0，2）与（1，3），∴（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的概率是．故答案为：B．【点睛】本题考查了概率公式的应用与不等式组的解法．注意概率=所求情况数与总情况数之比．11、动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是()．A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48【答案】B【分析】首先设出统计的总动物数，再根据题意求出活到20岁的动物的数量和活到25岁的动物的数量，则可计算出现年20岁的这种动物活到25岁的概率.【解析】设某种动物开始时的数目为a个，活到20岁的概率为0.8，则活到20岁时数目为0.8a个，活到25岁的概率为0.6，则活到25岁时数目为0.6a个，所以20岁的这种动物活到25岁的概率＝＝0.75．故答案为B．【点睛】本题主要考查概率的计算，关键在于计算活到20岁的动物的数量和活到25岁的动物的数量.12.如图，在等边△ABC内任取一点D，连接CD，BD得到△CDB，如果等边△ABC内每一点被取到的可能性都相同，则△CBD是钝角三角形的概率是（）．A． B． C． D．【答案】【分析】由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案．【解析】如图，取BC的中点O，以O为圆心，BC为直径画半圆，交AB于E，连接OE，当D在半圆上时，∠BDC＝90°，∵△CBD是钝角三角形时，只能∠BDC＞90°，∴点D落在如图所示的半圆O内时，△CBD是钝角三角形，设等边三角形的边长为2a，半圆的面积为，等边△ABC的面积是＝a2，∴满足∠BDC＞90°的概率是＝，∴△CBD是钝角三角形的概率；故答案为：D．【点睛】此题考查了等边三角形和概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．二、填空题（每小题3分，共18分）13、下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按从小到大排列：________．【答案】①③②④【解析】根据生活实际的经验，可知：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球，这个事件是不可能发生的，故可能性为0；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育，这个事件是有可能事件，故可能性小于1；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖，根据体彩中奖几率可知发生的可能性很小，但是不为0；④抛掷1个小石块，石块会下落，这是必然事件，故发生的的可能性为1．故答案为①③②④.【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性大小，根据生活实际正确判断出事件发生的可能性大小即可，比较简单.14、汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为.【答案】【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．【解析】设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，所以S大正方形=13x2，S小正方形=x2，S阴影=12x2，则针尖落在阴影区域的概率为．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．15、在一个不透明的盒子里装有3个分别写有数字﹣2，0，1的小球，它们除了数字不同以外其余完全相同，先从盒子里随机抽取1个小球，再从剩下的小球中抽取1个，将这两个小球上的数字依次记为a，b，则满足关于x的方程x2+ax+b＝0有实数根的概率为_____．【答案】．【分析】根据题意列表得出所有等可能的结果数，再找出满足△＝a2﹣4b≥0的结果数，然后根据概率公式求解即可．【解析】列表如下﹣201﹣2（0，﹣2）（1，﹣2）0（﹣2，0）（1，0）1（﹣2，1）（0，1）由表知共有6种等可能结果，其中满足△＝a2﹣4b≥0的有（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，﹣2）、（1，﹣2）、（1，0）这5种结果，∴满足关于x的方程x2+ax+b＝0有实数根的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了概率的计算，列出所有可能的情况是解题关键．16．从绵阳园艺山到涪城区有三条不同的线路（三条线路分别用A，B，C表示）．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从园艺山到涪城区的用时情况，在每条线路上随机选取了100个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路20≤t≤3030＜t≤4040＜t≤5050＜t≤60合计A251530301003193723100早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从绵阳园艺山到涪城区“用时不超过50分钟”的可能性最大．【答案】C．【分析】根据给出的数据先分别计算出用时不超过50分钟的可能性，再进行比较即可得出答案．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过50分钟的可能性为＝0.7，B线路公交车用时不超过50分钟的可能性为＝0.6，C线路公交车用时不超过50分钟的可能性为＝0.77，∴C线路上公交车用时不超过50分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．17、如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个对角线为AC和BD的菱形，使不规则区域落在菱形内，其中AC=8m，BD=4m，现向菱形内随机投掷小石子（假设小石子落在菱形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%，由此可估计不规则区域的面积是_____m2．【答案】4．【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．【解析】∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数25%附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25，∵AC=8m，BD=4m，∴面积为×8×4=16m2，设不规则部分的面积为s，则=0.25，解得：s=4，故答案为：4．【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．18、小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是【答案】【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；第100个图形共有1+2+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，故选：．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．三、解答题（共46分）19．（6分）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：实验次数20406080100120140160“兵”字面朝上频数14a384752667888相应频率0.70.450.630.590.52b0.560.55(1)请直接写出a，b的值；(2)如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；(3)如果做这种实验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？【答案】(1)a＝18，b＝0.55(2)估计概率的大小为0.55(3)“兵”字面朝上的次数大约是1100次【解析】试题分析：（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；

（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．

（3）根据利用频率估计概率可以得出出现“兵”字概率会接近于0.55，故可以得出游戏规则．试题解析：(1)a＝18，b＝0.55.(2)根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55.(3)2000×0.55＝1100(次)．∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次．20、（8分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A.白开水，B.瓶装矿泉水，C.碳酸饮料，D非碳酸饮料。根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种只限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料评价价格（元/瓶）0234（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作为良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到两位班长的概率。分析：（1）由B饮品的条形图中的人数与扇形图中的百分数可求得这个班级总人数；（2）考查加权平均数；（3）这相当于不放回的两步试验概型，通过列表格或画树状图即可求解.解析：（1）15÷30%=50答：这个班级有50名同学．（补全条形统计图略）（2）．答:该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元（3）列表格如下：ABCDEA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）由表格知，共有20种等可能结果，其中抽到A和B的有2种结果，因此抽到两位班长的概率为．【考点】统计的应用问题，中位数，列举法求概率21.（8分）2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对部分学生就2020年春晚的关注程度，采用随机抽样调査的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图（其中A表示“非常关注”；B表示“关注”；C表示“关注很少”；D表示“不关注”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）直接写出m＝______；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是______人；（2）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．【答案】（1）25；330；（2）．【分析】（1）首先求出总人数，再由A的人数即可求出m的值；求出D的人数即可补全条形统计图；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解析】（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；∴m%＝×100%＝25%，该校1800名学生中“不关注”的人数是1800×＝330（人）；故答案为：25，330；（2）由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为＝．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．22．（8分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同：（1）用树状图或列表法求出小凡获胜的概率；（2）你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，求出小凡获胜的概率即可；（2）找出小明与小颖获胜的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．【解答】解：（1）列出表格，如图所示：石头剪刀布石头（石头，石头）（剪刀，石头）（布，石头）剪刀（石头，剪刀）（剪刀，剪刀）（布，剪刀）布（石头，布）（剪刀，布）（布，布）所有等可能的情况有9种，其中两人的手势相同的情况有3种，则P（小凡获胜）==；（2）小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，∴P（小明获胜）=P（小颖获胜）==，则这个游戏对三人公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23、（8分）致敬，最美逆行者!病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省（区、市）累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．a．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500）：b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x＜1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数A．不到3万人，B．在3万人到3.5万人之间，C．超过3.5万人（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是，其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有个．（3）据新华网