第二十四章 圆（基础过关）（解析版）

第二十四章圆（基础过关）考试时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1、三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点（）A.三边中线 B.三边垂直平分线 C.三边高线D.三内角的平分线【答案】B【分析】根据外心的定义直接进行判断即可．【解析】根据三角形的外心应到三角形三个顶点的距离相等和线段垂直平分线的性质知，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质．注意三角形重心、垂心、内心、外心的区别．2、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（）cm．A.π B.12π C.15π D.36π【答案】C【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长．【解析】∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，∴AD＝AB﹣BD＝18cm，∴的长为：＝15π（cm），故选：C．【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键．3．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（）A.8 B.10 C.16 D.20【答案】D【分析】连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，根据勾股定理，即可得出OC，从而得出直径．【解析】连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CE=CD=8，∵OE=6．在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，

如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．

即阴影部分的面积=π×4+π×1-×4×2=π-4,故选：A.5．若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A.25° B.35° C.45° D.65°【答案】B【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【解析】连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°−55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.故答案为35°.【点睛】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.6、如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°【答案】D【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=OC=OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.【考点】圆周角定理；垂径定理．7、如图，平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2cm，且O点到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是（

）A.Ll B.L2 C.L3 D.L4【答案】C【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d<r，则直线和圆相交；当d>r，则直线和圆相离，进行分析判断．【解析】因为圆心O点到所求直线的距离2.2cm>半径2cm，所以此直线和圆相离,即为直线l3.故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键.8.如图，在⊙O中，若∠CDB＝60°，⊙O的直径AB等于4，则BC的长为（）A. B.2 C.2 D.4【答案】C【分析】根据圆周角定理得出∠CAB＝60°，进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解析】∵∠CDB＝60°，∴∠CAB＝∠CDB＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝30°，∴AC=AB，∵⊙O的直径AB等于4，∴AC=2，∴BC==2，故选：C．【点睛】此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据圆周角定理得出解答．9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（）A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点【答案】C.【考点】线段中垂线的性质；切线的性质；垂径定理.【解析】根据线段中垂线的性质、切线的性质和垂径定理，该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点.故选C.【考点】线段中垂线的性质、切线的性质和垂径定理10、在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD【答案】D【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴＝,∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．【点睛】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．11、一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和交于点，已知，则这个圆圈上的弦长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作于点E，连接BE，在中求出EF的长，在中求出CF的长，即可求出CE的长.【解析】如图，作于点E，连接BE，∵是等腰直角三角形，，∴，，，∴，AB是直径，∴，∵是含的三角板，∴，∴，，，∴在中，，，∴,由勾股定理得：，在中，，，∴，∴CF=4，∴=.故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理及勾股定理，能够把求CE长度问题转化直角三角形中的计算问题是解题的关键.12、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（）A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个考点：切线的性质．分析：连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．解析：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC=90°，又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．∴∠C=∠BDC=30°，∴BD=BC，②成立；∴AB=2BC，③成立；∴∠A=∠C，∴DA=DC，①成立；综上所述，①②③均成立，故答案选：A．点评：本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13.点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．【答案】1或2【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．【解析】点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1，故答案为1或2.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.14.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为．【答案】2【解析】扇形的面积：S==×2×2=2.考点：扇形的面积计算.15、如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是．【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．【解答】解：如图所示：连接OA，∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．16.如图，在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为_____．【答案】33°【解析】过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，∵点E在BD的垂直平分线上，∴=,直线EF必过圆心，EFAD，∵∴∴∴∴故答案为.点睛：属于圆的综合题，考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，垂径定理，比较基础.17.已知直线l与⊙O相交于点E、F，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．若∠DAE＝18°，则∠BAF的大小为．【答案】18°【分析】连接BE，根据圆周角定理可知∠AEB=90°，再由直角三角函数的性质得出∠AED的度数，根据余角的定义即可得出结论．【解析】连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠BEF=∠DAE=18°，∵=，∴∠BAF=∠BEF=18°．【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握定理是解答关键．18.如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为_____．【答案】50°．【分析】利用三角形内角和定理求出∠B+∠C＝115°，再利用等腰三角形的性质求出∠BOD+∠EOC即可解决问题．【解析】∵∠A＝65°，∴∠B+∠C＝115°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，∴∠BOD+∠EOC＝180°﹣2∠B+180°﹣2∠C＝130°，∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠EOC）＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的性质和三角形内角和，掌握知识点是解题关键．三、解答题（共46分）19、（6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，BE=2，求CD的长．【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题．（2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE=DE，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，∴∠1=∠P，∴CB∥PD．（2）解：∵CE⊥BE，∴CE2=CB2﹣BE2，而CB=3，BE=2，∴CE=；而AB⊥CD，∴DE=CE，CD=2CE=2．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【点评】主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用、解答是关键．20、（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据中位线求得BC的长度即可。【解析】（1）证明：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理易求OE=5．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴OE是三角形ABC的中位线．∴BC=2OE=10，即BC的长度是10．【考点】切线的判定．【点评】本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．21、(8分)21.如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）【答案】（1）证明见解析（2）﹣6π【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【解析】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∵OD⊥EF，∠F＝30°，∴∠DOF＝60°，在Rt△ODF中，DF＝6，∴由勾股定理得：OD＝6，在Rt△AED中，DA＝6，∠CAD＝30°，∴由勾股定理得：DE＝3，EA＝9，∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，由CO＝DO，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠DCO＝∠AOC＝60°，∴CD∥AB，故S△ACD＝S△COD，∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝＝．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S△ACD＝S△COD是解题关键．22、（8分）已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：①，②，③，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；（2）【分析】（1）结论可以有：①DF=FE，BD=BE，②△BDF≌△BEF，③∠A=∠E，∠BDF=∠BEF④BC⊥AB，AD⊥BD，DE∥BC等；由BC是O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；等．

（2）当∠A=30°时，BD=AB=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中，tan60°可求得r=2．【解析】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；理由：∵AB是直径，DE⊥AB，∴DF=EF，弧BD=弧BE，∴BD=BE，∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），根据圆周角定理可知：∠A=∠E．故答案为DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠A=30°，∴BD=AB=r；又∵BC是⊙O的切线，∴∠CBA=90°，∴∠C=60°，∠DBC=30°；在Rt△BCD中，CD=2，∴BC=4,由勾股定理得：BD=2，∴r=2．【点睛】切线的性质,直角三角形全等的判定,圆周角定理.23、（8分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．【解析】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE