2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 教学课件

圆的综合题微专题

考情及趋势分析成都8年高频点考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查设问辅助线作法涉及知识点202317解答题10(1)证线段相等；(2)求线段长作垂线锐角三角函数，勾股定理20221710(1)证角相等；(2)求线段长连接CD，构造直角三角形等积转化法，相似三角形20212010(1)证切线；(2)求长度；(3)求长度作垂线等积转化法，相似三角形20202010(1)证切线；(2)求半径长；(3)探究线段数量关系连接OD，构造全等三角形锐角三角函数，全等三角形考情分析年份题号题型分值考查设问辅助线作法涉及知识点201920解答题10(1)证弧相等；(2)求半径长；(3)求线段长(1)连半径；(2)连AC，构造直角三角形相似三角形20182010(1)证切线；(2)求线段长；(3)求线段长(2)连DF，构造等腰三角形；(3)连EF，构造直角三角形相似三角形，锐角三角函数20172010(1)证切线；(2)求线段比值；(3)求半径长连半径相似三角形20162010(1)证相似；(2)求三角函数值；(3)求半径长作垂线，均为构造直角三角形相似三角形，锐角三角函数【考情总结】1.题位特点：圆的综合题均在A卷解答题中考查，以3问为主；近2年连续在A卷解答题倒数第二个题位考查圆的综合题，设置均是两问；2.常考设问及特点：近2年设问均为2问，且均不涉及切线的证明；每年必考求线段长或求圆的半径；3.常结合知识点：以锐角三角函数，相似三角形为主.一阶

设问突破突破设问一切线的判定(8年4考：2021.20，2020.20，2018.20，2017.20)满分技法证明切线的方法：1.当切点确定时，常用的方法有：(1)当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行；(2)利用等角转化证明过切点的半径与需要证明的切线的夹角为90°；(3)常在“共点双切线模型”中利用全等三角形证明半径与需要证明的切线的夹角为90°；2.当切点不确定时，常用的方法有：(1)当有角平分线时，利用角平分线的性质证明所作垂线段等于半径；(2)当存在线段相等，角度相等等条件时，利用全等三角形的性质证明所作的垂线段等于半径．1.如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作BC的垂线，交BC于点E，交BA的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线．第1题图∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAO，证明：如图，连接OD.∴∠ODA＝∠C，∴OD∥BC.∵EF⊥BC，∴EF⊥OD.∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．类型一切点确定，连半径，证垂直

2.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，CA＝CD，CD的延长线交⊙O于点E，F为⊙O外一点，且∠EBF＝∠BCE.求证：BF是⊙O的切线．第2题图证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACE＝90°.∵∠ACE＝∠ABE，∠EBF＝∠BCE，∴∠EBF＋∠ABE＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.以AB为直径的⊙O交AC于点D，点F为BC边的中点，连接AF，DF.求证：DF是⊙O的切线．第3题图∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD.∵AO＝BO，CF＝BF，∴O，F分别是AB，BC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF∥AC，∴OF⊥BD.证明：如图，连接OD，BD，OF.∵OB＝OD，∴OF是BD的垂直平分线，∴DF＝BF.在△ODF与△OBF中，∴△ODF≌△OBF(SSS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90°，∴OD⊥DF.∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．第3题图4.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，作OD⊥AB于点D，以O为圆心，OD长为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切．第5题图∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE.∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．证明：如图，连接AO，过点O作OE⊥AC于点E，∟E类型二切点不确定，作垂直，证半径

突破设问二与线段有关的问题(8年8考：2023.17，2022.17，2016～2021.20)5.如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，E是BC上一点，DE＝BE，过点D作⊙O的切线，交BC的延长线于点F，若AD＝4，DE＝5，求DF的长．第5题图【思维教练】遇到角平分线，则考虑构造全等三角形，连接CD可知CD＝AD，当图中作出辅助线后有直角三角形，利用勾股定理和三角形相似求长度．第5题图∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°.又∵BD平分∠ABC，∴DC＝AD＝4.∵DE＝5，在Rt△DCE中，CE＝

＝3，BE＝DE＝5，∴BC＝CE＋BE＝8，∴BD＝

＝4.解：如图，连接DC，∵DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝∠DCB＝∠DCF＝90°，∴∠F＋∠DBF＝∠BDC＋∠DBF＝90°，∴∠F＝∠BDC，∴△DCF∽△BCD，∴，即

，∴DF＝2.第5题图6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点G，点P在CD的延长线上，且PF与⊙O相切．若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的长．第6题图【思维教练】圆中有直径，连接AF构造90°的圆周角，利用△BEG∽△BFA，再根据角与角之间的关系，推出△PFG∽△OFA，即可求出线段的长．第6题图∵OB＝10，∴AB＝20.∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.又∵∠GEB＝90°，∠GBE＝∠ABF，∴△BEG∽△BFA，∴，∠BGE＝∠A.∵BF＝16，BE＝8，解：如图，连接AF，OF，∴，∴BG＝10，∴FG＝BF－BG＝6，∴GE＝

＝6，在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝16，∴AF＝

＝12.∵PF与⊙O相切，∴∠OFP＝90°.∵∠AFO＋∠OFB＝∠OFB＋∠GFP＝90°，第6题图∴∠AFO＝∠GFP.又∵∠PGF＝∠BGE，∴∠A＝∠AFO＝∠PFG＝∠PGF，∴△PFG∽△OFA，∴，即

，∴PF＝5.第6题图7.如图，AB为⊙O的弦，过点O作OA的垂线，交⊙O于点C，交AB于点D，交过点B的切线于点E.求证：EB＝ED.第7题图【思维教练】圆中有切线，连接OB，构造90°的角，再根据OA⊥CE，得到∠AOD＝90°，倒角得到三角形两个底角相等，即可证明三角形的两腰相等．∵BE是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BE，即∠DBE＋∠OBD＝90°.证明：如图，连接OB.∵OA⊥CE，∴∠AOD＝90°，∴∠OAD＋∠ODA＝90°.∵OA＝OB，∴∠OBD＝∠OAD.∴∠DBE＝∠ODA，又∵∠ADO＝∠BDE，∴∠BDE＝∠DBE，∴EB＝ED.第7题图8.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，弦DE⊥AB，垂足为F，∠ADC＝90°.求证：DE∥BC.第8题图【思维教练】根据圆内接四边形对角互补，得到∠B＝90°，再根据DE⊥AB得到∠AFD＝90°，由同位角相等可推出两直线平行．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵∠ADC＝90°，∴∠B＝90°.∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠B，∴DE∥BC.第8题图证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC.9.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E.求证：DE⊥AC.第9题图【思维教练】由于DE⊥OD，要证DE⊥AC，只需推出OD∥AC.10.(2023杭州改编)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连接OF.求证：BC2＝BG·BO.第10题图【思维教练】要证明BC2＝BG·BO，可利用三角形相似求证，即证明△ACB∽△CEB，得到BC2＝BE·AB，再根据圆周角定理和垂径定理可证OB＝

AB，BG＝2BE，等量代换即可求证．证明：∵直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＋∠D＝90°.∵CF⊥AD，∴∠FCD＋∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，第10题图∴△BCE≌△GCE(ASA)，∴BE＝GE.∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴，∴BC2＝BA·BE.∵AB＝2BO，BE＝

BG，∴BC2＝BA·BE＝2BO·

BG＝BG·BO.第10题图突破设问三与角度有关的问题(2022.17)11.如图，A，B，C是⊙O上任意三点，AB＝BC，过点A作AD∥BC交过点C的⊙O的切线于点D，连接OB，OC，若∠ABC＝46°，求∠ADC的度数．第11题图【思维教练】要求∠ADC的度数，根据两直线平行，同旁内角互补，只需要求出∠BCD，再根据切线与半径OC的夹角为直角和半径相等，连接OA，可知∠OCB＝∠OBC＝∠OAB＝∠OBA，即可求解．第11题图∵AB＝BC，∴∠BOC＝∠AOB.∵OB＝OC＝OA，∴∠BCO＝∠OBC＝∠OAB＝∠OBA.∵∠ABC＝46°，∴∠OCB＝∠OBC＝∠ABC＝23°.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，解：如图，连接OA，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝∠BCO＋∠OCD＝113°.∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝180°－113°＝67°.第11题图12.如图，线段AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，取的中点D，连接AD，CD.求证：∠ABC＝2∠OAD.第12题图【思维教练】由D是的中点，连接DO并延长交⊙O于G，推出∠ADG＝∠CDG，再根据半径相等，得到∠OAD＝∠GDA，进而得到∠OAD＝∠ADC，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADC＝∠ABC，倒角得到两倍的角度关系．∵点D是

的中点，∴

，∴∠AGD＝∠CGD.又∵DG是⊙O的直径，∴∠DCG＝∠DAG＝90°，∴∠ADG＝180°－∠DAG－∠AGD，∠CDG＝180°－∠DCG－∠CGD，∴∠ADG＝∠CDG.又∵OA＝OD，第12题图G证明：如图，连接DO并延长交⊙O于G，连接AG，CG.∴∠OAD＝∠ADG，∴∠OAD＝∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∴∠OAD＝∠ABC，即∠ABC＝2∠OAD.第12题图G突破设问四与三角函数有关的问题(8年5考：2023.17，2022.17，2020.20，2018.20，2016.20)13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD.已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5∶8，求tan∠ADB的值．第13题图【思维教练】由菱形的性质和垂径定理可将求∠ADB转化为求∠AFG，结合题中的比例关系，表示出AG，FG的长度，解三角形即可．第13题图∵AG＝GD，∴AG＝DG＝4x.∵OF是⊙O的半径，∴OF⊥AD.在Rt△AOG中，由勾股定理，得OG＝3x，则FG＝OF－OG＝2x，∴tan∠AFG＝

＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，解：如图，连接OA，设OA＝OF＝5x，则AD＝8x.∴∠AGF＝∠AED＝90°，∵∠FAG＝∠DAE，∴∠ADE＝∠AFG，∴tan∠ADB＝tan∠AFG＝2.第13题图二阶

综合训练1.(2023成都17题10分)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.(1)求证：AC＝BC；第1题图(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE.∵

，∴∠ACE＝∠ADE，∴∠BAC＝∠ADE.又∵∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC；(2)解：设BD＝x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.∵tanB＝2,∴＝2，即AD＝2x.根据(1)中的结论，可得AC＝BC＝BD＋DC＝x＋3，根据勾股定理，得AD2＋DC2＝AC2，即(2x)2＋32＝(x＋3)2，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，(2)若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．第1题图∴BD＝2，AD＝4，AB＝

.如图，过点E作DC的垂线，交DC的延长线于点F，第1题图∟F∵BC＝AC，∴∠ACB＝180°－2∠B.又∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠B.∵EF⊥CF，∴tan∠ECF＝tanB＝2，即

＝2.∵∠B＋∠BAD＝90°，∠ADE＋∠EDF＝90°，∠B＝∠ADE，∴∠BAD＝∠EDF，∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－∠BAD＝∠B，∴＝2.设CF＝a，则DF＝DC＋CF＝3＋a，∴EF＝2a，可得方程

＝2，解得a＝1，经检验，a＝1是分式方程的解，∴EF＝2，DF＝4，∴DE＝

.第1题图∟F

解题关键点由AC是直径，得∠ADC＝90°，则利用勾股定理求得AB长；过点E作DC的垂线，交DC的延长线于点F，结合已知条件得tanB＝tan∠DEF，求得CF的