苏教版高中数学必修2全部教案

苏教版高中数学必修2全部教案【精美整理版】

目录

第一章立体几何初步...........................................................................1

第二课时圆柱、圆锥、圆台、球...........................................................4

第三课忖中心投影和平行投影............................................................7

第四课时直观图画法.....................................................................10

第五课时平面的基本性质.................................................................11

第六课时平面的基本性质.................................................................15

第7课时空间两条直线的位置关系........................................................19

第9课时直线与平面的位置关系..........................................................27

第10课时直线与平面垂直...............................................................31

第11课时直线与平面垂直(2).............................................................36

第12课时平面与平面位置关系...........................................................41

第13课时二面角45

第14课时平面与平面垂直...............................................................47

第15课时平面与平面的位置关系习题课...................................................51

第16课时空间几何体的表面积(1).........................................................55

第17课时空间几何体的表面积(2).........................................................58

第18课时空间几何体的体积(1)..........................................................61

第19课时空间几何体的体积(2)...........................................................64

第20课时立体几何体复习...............................................................67

第1课直线的斜率(1)..................................................................73

第2课直线的斜率(2).................................................................75

第5课直线的方禾;(3).................................................................84

第6课两条直线的平行与垂直(1)...........................................................87

第7课两条直线的平行与垂直(2)..........................................................91

第8课两直线的交点.....................................................................94

第9课平面上两点间的距离...............................................................97

第10课2.1.6第一节点到直线的距离(1)...............................................102

第11课2.1.6第二节点到直线的距离(2)...............................................105

12矛—L(1)>>>«*■(«*((*()(•*■■(•*>>•*(**•>>«*■(«*■(**■(•(>■(**>>**(***■(«*•***■•**((••*•(•*>>**(***■(«*•***■****(•••■(•*>>•*■**(■11

第13课第二节圆的方程(2)............................................................113

第14课H寸直线与圆的位置关系...........................................................118

第15课时圆与圆的位置关系.............................................................122

寸"RI曰Jjit方J、..........................126

第17课时空间两点间的距离............................................................128

本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］.........................................................130

第一章立体几何初步听课随笨

一、知识结构

二、重点难点

重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直

的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂

直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台

【学习导航】

听课随笔

学习要求

1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。

2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法

4.了解多面体的概念和分类.

【课堂互动】

自学评价

1.棱柱的定义：_______________________

表示法：

思考:棱柱的特点：.

［答］______________________________

2.棱锥的定义：_________________________

表示法：

思考:棱锥的特点：.

［答］________________________________

3.棱台的定义：________________________

表示法：

思考:棱台的特点：.

［答］________________________________

4.多面体的定义：_________________________

5.多面体的分类：

⑴棱柱的分类___________________________

⑵棱锥的分类___________________________

⑶棱台的分类___________________________

【精典范例】

例1：设有三个命题：

甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱;

乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的儿何体是棱锥;

丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱令。

以上各命题中，真命题的个数是(A)

A.0B.1C.2D.3

例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：

⑴画上四棱柱的底面一一画一个四边形：

⑵画侧棱——从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；

⑶画下底面-----顺次连结这些线段的另一个端点

见书7页例1

⑷画一个三棱锥，在它的•条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多

余的线段榛去.

见书7页例1

点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得

思维点拔:

解柱、锥、分概念性问题和画图需要：

(1).准确地理解柱、锥、台的定义

(2).灵活理解柱、锥、台的特点：

例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行

四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？

答：不能.

点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

追踪训练一

1.如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？

A

B

答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到.

答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点.

3.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。

答：4个面，四面体.

第二课时圆柱、圆锥、圆台、球

【学习导航】

学习要求

I.初步理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念。掌握它们的生成规律。

2.了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义。

3.了解一些复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们由哪些简单几何体组合而成。

4.结合日常生活中的一些具体实例，体会客观世界中事物与事物之间内在联系的辨证唯物主义观点,

初步学会用类比的思想分析问题和解决问题.

【课堂互动】

自学评价

1.圆柱的定义：_______________________

母线__________________________________

底面___________________________________

轴_____________________________________________

2.圆锥的定义：____________________

3.圆台的定义：_____________________

4.球的定义：_____________________

5.旋转面的定义：___________________

6.旋转体的定义：___________________

7.圆柱、圆锥、圆台和球的画法。

听课随笔

【精典范例】

例1:给出下列命题：

甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线

乙：圆台的任意两条母线必相交

丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没

有母线。

其中正确的命题的有（A）

A.0B.1C.2D.3

例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转周，由此形成的儿何体是

由哪些简单儿何体构成的？。

【解】见书9页例1

例3：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？。

【解】见书9页例2

思维点拨：

如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。

如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？

解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。

追踪训练

1.指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？

百A

答：略

2.如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构

成的？

AB

答：圆锥和圆柱

3.充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？

答：圆

【师生互动】

第三课时中心投影和平行投影

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.初步理解投影的概念。掌握中心投影和平行投影的区别和联系。

2.了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体的三视图。

3.初步理解由三视图还原成实物图的思维方法.

【课堂互动】

自学评价

1.投影的定义：______________________

2.中心投影的定义：

平行投影的定义：__________________

平行投影的分类：__________________

3.主视图（或正视图）的定义：

俯视图的定义：____________________

左视图的定义：____________________

【精典范例】

一、如何画一个实物的三视图？

例1：画出下列几何体的三视图。

听课随笔

听课随笔

解答：见书12页例1

点评：1.画三视图的方法和步骤

(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的

正投影面-----主视图

(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正投影------左视图

⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下方确定一个水平面作为投影

——俯视图

2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐

例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图。

解答：见书K

正前方

二、如何由三视图还原成实物图。

例3.根据下面的三视图，画出相应空间图形的直观图.

左视图

解略.

点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能力。一般的从主视图出发，然后是左视图、俯视图，画图

后检验。

追踪训练一

根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。

ABCD

第四课时直观图画法

【学习导航】

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空间几何体的直观图听课随笔

斜二测画法

学习要求

1.初步了解中心投影和平行投影的区别。

2.初步掌握水平放置的平面图形的直观图的画法和空间几何体的直观图的画

法

3.初步了解斜二测画法

【课堂互动】

自学评价

1.消点的定义：______________________

2.斜二测画法步骤⑴

⑵____________________________________

⑶____________________________

(4)_______________________________

【精典范例】

一、怎样画水平放置的正三角形的直观图

例1：画水平放置的正三角形的直观图。

解答：见书14页例1

听课随笔

点评：在条件“平行于X轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来

的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。

追踪训练一

画水平放置的正五边形的宜观图。

解答：略

例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.

解答：见书15页例2

点评：空间图形的直观图的画法。

规则是：已知图形中平行于x轴，y轴和z轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平行于x轴,

z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半。

追踪训练二

用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3clli,2cm的长方体ABCD—A'B'C'D'的直观图

仿照例2作图

第五课时平面的基本性质

听课随笔

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.初步了解平面的概念.

2.了解平面的基本性质（公理1-3）

3.能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系.

4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题

【课堂互动】

自学评价

1.平面的概念：______________________

2.平面的表示法______________________

3.公里］：_______________________

符号表示___________________________

4.公里2：________________________

符号表示

5.公里3：_______________________

符号表示

问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平面的例子.

【精典范例】

例1：已知E、F、G、H分别为空间四边形（四个顶点不共面的四边形）ABCD各边AB、AD、

BC、CD上的点，且直线EF和GH交于点P,求证:B、D、P在同一条直线上.

A

G

C

证明：VPGEF,ifnEGAB,FSAD

AEFl平面ABD

...PG平面ABD

同理，PW平面BDC

...PG平面ABDC平面BDC

；.B、D、P在同一条直线上

思维点拔:

证明多点共线，通常利用公里2,即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这

些点分别在两个平面内。

追踪训练

如图，在定方体ABCD-AiBCDi中,E、F分别为AB,AAi中点,求证CE,DF,DA三条直线交于一点。

证略.

例2.如图，在长方体ABCD-A|B|GD|中，下列命题是否正确？并说明理由.

①AG在平面CC|B|B内；

②若O、01分别为面ABCD、A|B|GD|的中心，则平面AACC与平面&BDD|的交线为001.

③由点A、0、C可以确定平面；

④由点A、G、Bi确定的平面与由点A、G、D确定的平面是同一个平面.

听课随第

解（1）不正确

（2）正确

（3）不正确

（4）正确.

追踪训练

1.为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？

2.用符号表示“点A在直线1上，1在平面a外”正确的是（B）

A.Al1,11a

B.Al1,1Ea

C.AI1,1Ea

D.AI1,11a

3.下列叙述中，正确的是（D）

A.因为Pla,Q|a,所以PQ|a

B.因为Pla,QIB,所以aCB=PQ

C.因为ABIa,CIAB,DIAB,所以CDIa

D.因为ABla,ABIg,所以AlaQ0,且BIaQp

第六课时平面的基本性质

【学习导航】

知识网络

听课随第

学习要求

1.了解平面基本性质的3个推论，了解它们各自的作用.

2.能运用平面的基本性质解决些简单的问题.

【课堂互动】

自学评价

1.推论］:.

已知：

求证：

解答：见书22页推论1

2.推论2：_______________________

已知：

求证：

3.推论3：__________________________

符号表示：_____________________________

仿推论1、推论2的证明方法进行证明。

【精典范例】

一、如何证明共面问题.

例1:已知：如图AG/,BG/,CC/,Di/,求证：直线AD、BD、CD共面.

解答：见书22页例1

思维点拔:

简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这

种证明点线共面的方法称为"落入法"

例2.如图：在长方体ABCD-A|B|GD|中，P为棱BB|的中点，画出由A1,G,P三点所确定的平面a与

长方体表面的交线.

解答：见书23页例2

追踪训练一

证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

已知：

求证:

证明:

(1)如图，设直线a,b,c相交于点

0,直线d和a,b,c分别交于M,N,P

直线d和点0确定平面a,证法如例1

听课随笔

设直线a,b,c,d两两相交，且任意三条不共线，交点分别为M,N,P,Q,R,G

•.•直线a和b确定平面a

aDc=N,bf~lc=Q

：N,Q都在平面a内

直线cl平面a,同理直线dI平面a

...直线a,b,c,d共面于a

【选修延伸】

如图，已知正方体ABCD-ABGDi中，E、F分别为D|C|、B,C|的中点，ACA

BD=P,A|GAEF=Q,求证：

(1)D、B、F、E四点共面’

(2)若A|C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.

证明略

追踪训练二

1.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么由这四点可确定I或4—个平面?

2.己知四条不相同的直线，过其中每两条作平面，至多可确定6.个平面.

3.已知1与三条平行线a,b,c都相交，求证：1与a,b,c共面.

证明略

第7课时空间两条直线的位置关系听课随笔

一、【学习导航】

学习要求

1.了解空间两条直线的位置关系

2.掌握平行公理及其应用

3.掌握等角定理，并能解决相关问题.

【课堂互动】

自学评价

1.空间两直线的位置关系

位'置关系共面情况公共点个数

相交直线

平行直线

异面直线

2.公里4：____________________________

符号表示：___________

思考：经过直线外一点，有儿条宜线和这条直线平行

答：

3.等角定理

【精典范例】

例1：.如图，在长方体ABCD-ABCQi中，已知E、F分别是AB、BC的中点，求证:EF//A©

解答：见书25页例1

思维点拔:

证两直线平行的方法：

(1)利用初中所学的知识

(2)利用平行公理.

追踪训练

已知：棱长为a的正方体ABCD-A|B|GD|中，M,N分别为CD,AD的中点，求证：四边形MNAC是梯形.

证明略

点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识.

例2：如图.已知E、Ei分别为正方体ABCD-ABCD的棱AD、AR的中点,求证:NC|E出产/CEB.

C

AB

分析：设法证明E|C|//EC,E|B“/EB

证明：

听课随笔

解答：见书26页例2

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个

角相等。

等角定理的证明

已知：ZBAC和NBiACi的边AB/ZAiBI,AC//A.C1,并且方向相同.

求证：ZBAC=ZB,A1C1

解答：见书25页

点评：

平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用。

追踪训练

1.设AAi是正方体的一条棱，这个正方体中与AA|平行的棱共有（C）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

2.若0人〃0肉，08〃08，则/人08与/八|0向关系（C）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.以上答案都不对

3.如图，已知AA',BB',CC',不共面，且AA'//BB',AA'=BB',

BB'//CC',BB'=CC'.

求证：△ABCgZ^A'B'C

用平行四边形性质证明

思维点拔:

凡“有且只有”的证明，丢掉“有”

即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性的证明都会导致错误发生，即证明不全面，思维不

严谨所致。

求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.

已知：点Pi直线a

求证：过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条.

证明：VPIa,

点P和直线a确定平面a

在平面a内过点P作直线b直线a平行（由平面几何知识）

假设过点P还有一条直线c与a平行，则

Va//b,a//c

.♦.b〃c，这与b,c共点P矛盾.

/.直线b唯一

•••过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行

总结：（1）凡上述两类问题型的证明应有两步，即先证明事实存在，再证明它是唯一的（2）解

答文字命题必须将文字语言“译”成符号语言，然后写出“已知和求证”需要作图时，要把

图形作出来，最后给出“解答（证明）”

第8课时异面直线听课随笨

一、【学习导航】

知识网络

学习要求

1.掌握异面直线的定义.

2.理解并掌握异面直线判定方法.

.3.掌握异面直线所成的角的计算方法.

【课堂互动】

自学评价

3.异面直线的定义___________________

2.异面直线的特点________________________________________

4.异面直线的判定方法

(1)定义法

(2)判定定理

(3)反证法

5.异面直线所成的角

(D定义：_______________________________________

(2)范围：_______________________________________

6.异面直线的垂直_____________________________

【精典范例】

例1：已知ABCD-A|BC|D|是棱长为a的正方体.

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC,是异面直线;

(2)求异面直线AAi与BC所成的角；

(3)求异面直线BC)和AC所成的角.

见书27理1

思维点拔:

(1)证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理

(2)求两条异面直线所成的角的方法：①作②证③求

追踪训练

1.指出下列命题是否正确，并说明理由：

(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线：

(2)过直线外一点只有一条直线与己知直线垂直.

答：(1)正确，(2)错

2.在长方体ABCD-A|B|CQi中，那些棱所在直线与直线AA1是异面直线且互相垂直.

D,C,

听课随笔

答：CD,C.D,,BC,BC

3.在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为:

（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线.

4.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，且EF=5,又AD=6,BC=8.

求AD与BC所成角的大小.

解析：取BD的中点H,利用中位线性质，有EH//AD,FH//BC,ZEHF或其补角为

AD与BC所成角，可以求得/EHF=90°

【选修延伸】

已知A是4BCD所在平面一点，AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是BC的中点,

(1)求证直线AE与BD异面

(2)求直线AE与BD所成角的余弦值

听课随笔

(1)反证法

⑵取CD的中点F,连接EF,可达到平移的目的.直线AE与BD所成角的余弦值也

第9课时直线与平面的位置关系

一、【学习导航】

学习要求

1.掌握直线与平面的位置关系.

2.掌握直线和平面平行的判定与性质定理.

.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题.

【课堂互动】

自学评价

4.直线和平面位置关系

位置关系符号表示图形表示

直线a在平面a内

直线a在平面a相交

直线a在平面a相交_____________________

2.直线在平面内是指：

3.直线和平面平行的判定定理

符号表示______________________________________

说明：本章中出现的判定定理的证明不作要求

4.直线和平面平行的性质定理

已知：

求证：

见书31页

直线和平面平行的性质

直线和平面平行的判定

与性质定理的应用

证明:

【精典范例】

例1：如图，已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD中点，求证:EF//平面BCD.

见书31页例1

追踪训练一

已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB,M、N分别是AC、BF上的

点且AM=FN

求证：MN〃平面BCE

证明：作NP//AB交BE于点P

作NQ//AB交BC于点Q

MQMCNPNB

,~AB~~AC'~EF~~BF

而AC=BF,AM=FN,

，MC=NB,有AB=EF

.*.MQ//NP,有MQ=NP

四边形MQNP是平行四边形.

.•.MN//PQ,而PQI平面BCE

，MN〃平面BCE

例2.•个长方体木块如图所示，要经过平面ACi内一点P和棱BC将木块锯开，应怎样画线？

D,

P・

听课随第

见书31页例2

例3.求证：如果三个平面两两相交于直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平

行.

已知：

求证：

见书31页例3

［思考I：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中的两条直线相交，那么第三条直线和这

两条直线有怎样的位置关系？

追踪训练二

1.指出下列命题是否正确，并说明理由：

(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；错

(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；正确

(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。正确

2.已知直线a,b和平面a,下列命题正确的是(D)

A.若a〃a,bIa则a〃b

B.若a〃a,b〃a则a//b

C.若2〃1?,bla则a〃a

D.若2〃1?,bla则a〃a或bla

3.在长方体ABCD-ABCD的面中：

(1)与直线AB平行的平面是：面A£,面DG

(2)与直线AAi平行的平面是：面BC”面DG

(3)与直线AD平行的平面是：面BC”面AC

D)C,

学习要求

1.掌握直线与•平面的位置关系.

2.掌握直线和平面平行的判定与性质定理.

.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题.

【课堂互动】

自学评价

5.直线和平面垂直的定义：

符号表示：______________________________________

垂线：______________________________________

垂面：______________________________________

垂足：______________________________________

思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？

答：

(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？

答：

2.定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

3.点到平面的距离：_____________________________________

4.直线与平面垂直的判定定理：

符号表示

5.直线和平面垂直的性质定理：

已知：

求证：

证明：见书34

6.直线和平面的距离:

【精典范例】

例1：.求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

证明：见书34例1

思维点拔:

要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。

RtAABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC

(1)求证：点S在斜边中点D的连线SD_L面ABC

⑵若直角边BA=BC,求证：BD_L面SAC

追踪训练

如图，已知PAJ_a,PB_LB,垂足分别为A、B,且anP=/,求证:AB_U.

证明：略

例2.已知直线/〃平面a,求证：直线/各点到平面a的距离相等.

证明：见书34例2

听课随笔

例3.已知正方体ABCD-A|B|CQi.

(1)求证:A|C_LB|Di;

,求证:

⑵若M、N分别为BtD,与CiD上的点，且MN_LB|D|,MNJ.GD

MN//A,C.

分析：(1)可先证BDL面A£G.从而证出结论.

(2)可证MN和AE都垂直于面BDC,从而利用性质证出结论

点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性质。

追踪训练

1.已知直线l,m,n与平面a,指出下列命题是否正确，并说明理由：

听课随笔

⑴若Ja,则1与a相交；

(2)若mla,nla,1J_m,l_Ln，贝!J1_La；

(3)若l//m,m±a,n±a,则l〃m

2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系.

3.在△ABC中，ZB=90°,SA_URiABC,AM±SC,ANJ_SB垂足分别为N、M,

求证：AN1BC,MN1SC

学生质疑

略证：BCJ_面SABPBC±AN

再证AN_L面SBCPANlSC-i

AM1SC-J

P5，_1面人⑼12MN±SC

第11课时直线与平面垂直(2)

一、［学习导航］

知识网络_A|斜线在平面内射影的定义

直线和平面所成角——►直线和平面所成角的定义

A直线和平面所成角的求法

学习要求

1.了解直线和平面所成角的概念和范围；

2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.

【课堂互动】

自学评价

6.斜线的定义:_________________________

斜足定义:_________________________

斜线段定义:_________________________

2.直线和平面所成角的定义：

线面角的范围：_________________________

【精典范例】

例1:.如图，已知AC,AB分别是平面a的垂线和斜线，C,B分别是垂足和斜足，ala,求

证：a±BC

证明：见书36例3

例2.求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条直线在这个平

面内的射影垂直.

已知：

求证：

证明：

证明：略

点评：

上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。

例3.如图，/BAC在平面a内，点p|a,ZPAB=ZPAC.求证：点P在平面a上的射影在NBAC的

平分线上.

P

证明：见书36例4

思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗？

思维点拨:

要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直

和线面垂直互相转化.

追踪训练

1.如图，ZBCA=90°,PCJ_面ABC,则在三角形ABC,三角形PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有AC',AB,BC

⑵与AP垂直的直线有BC

2.若直线a与平面a不垂直，那么在平面内a与直线a垂直的直线(B)

A.只有一条

B.有无数条

C.是平面a内的所有直线

D.不存在

3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？

答：相等

4.在正方体ABCD-A山CD|中,P为DDi的中点,0为底面ABCD的中心，

求证：B,O_L平面PAC

点拨：使BQ垂直与平面ABC内的两条相交直线.

听课随笔

【选修延伸】

RtAABC的斜边BC在平面M内，两直角边和平面M所成的角分别是45°和3

0°,求斜边的高AD和平面M所成的角

答：AD和平面M所成的角60°

总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线AD在平面M内的射影是关键.

解题步骤：①作，②证，③求。

追踪训练听课随笔

在正方体ABCD-ABCR中，

①求AD,与平面ABCD所成的角,

学生质疑

②求AD,与平面ADCB所成的角

(1)45。教师释疑

(2)30°

听课随笔

第12课时平面与平面位置关系

一、【学习导航】

两平行平面的距离

A两平面相交

学习要求

1.理解并掌握两平面平行，两平面相交的定义.

2.会画平行或相交平面的空间图形，并会用符号表示.

3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能运用其解决一些具体问题.

【课堂互动】

自学评价

7.两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点

符号表示

图形表示

2.两个平面平行的判定定理：

符号表示：_________

3.两个平面平行的性质定理：____________________________________

已知：

求证：

证明：

4.思考:

(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面

(2)分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？

5.两个平行平面间的距离____________________________________

6.直线和平面的距离：____________________________________

【精典范例】

例1:如图,在长方体ABCD-ABCQi中，

求证：平面GDB〃平面ABQi.

证明：见书40例1

例2.求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.

证明：见书40例2

例3.求证：如果•条直线垂直于两个平面，那么这两个平面平行..

已知

求证：

证明：仿例2证

听课随笔

思维点拨:

两个平面平行的判定定理和性质定理体现了在一定条件下，线线平行，线面平行，面

面平行之间可以互相转化.

追踪训练

1.判断下列命题是否正确，并说明理由：

(1).若平面a内的两条直线分别与平面B平行，则a与(3平行；

(2)若平面a内的有无数条直线与平面B平行，则a与B平行；

(3)平行于同一条直线的两个平面平行；

(4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；

(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。

2.六棱柱的表面中，互相平行的面最多有多少对？

3.如图，设E,F,E|,B分别是长方体ABCD-A|B|CiD1的棱

AB,CD,A)B1,

CIDI的中点，

求证：平面ED//平面BF]

4.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。

证明：略

第13课时二面角听课随笔

一、【学习导航】

知识网络

1.理解二面角及其平面角的概念

2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小.

【课堂互动】

自学评价

8.二面角的有关概念

(1).半平面：___________________________

(2).二面角：________________________

(3).二面角的平面角：

(4).二面角的平面角的表示方法：

(5).直二面角：________________________

(6).二面角的范围：________________________

2.二面角的作法：

(1)定义法

(2)垂面法

(3)三垂线定理

【精典范例】

例1：下列说法中正确的是(D)

A.二面角是两个平面相交所组成的图形

B.二面甭是指角的两边分别在两个平面内的角

C.角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角就是二面角的平面角

D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.

例2如图,在正方体ABCD-A1B1CiD1中：

⑴求二面角DrAB-D的大小；

⑵求二面角ApAB-D的大小

听课随笔

见书43例1

(1)45°

⑵90

思维点拨

要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂

面法，三垂线定理法.步骤为作，证，求.

例3在正方体ABCD-A|B|C|D|中，求平面A,BD与平面C,BD的夹角的正弦值.

点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角.

分析：取BD的中点O,连接AQ,CQ,则NAQG为平面AiBD与平面CiBD的二面角的平面

角.

答：平面A|BD与平面C|BD的夹角的正弦值！

3

听课随笔

追踪训练

1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于§,则0=60。

2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PAL面ABCD,月一

a13的性质

性质2

学习要求

1.掌握两平面垂直的定义

2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理，并会用这两个定理证明一些问题.

【课堂互动】

自学评价

1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：______________________________________

符号表示：_______________________________________

3.两个平面互相垂直的性质定理：______________________________________

已知：

求证:

证明:

【精典范例】

例1:在正方体ABCD-A|B|CQ|中，求证：平面ACQAL面BQQB.

证明：见书44例2

思维点拨

证明面面垂直的方法：

(1).利用两平面垂直的定义，作出两相交平

面所成二面角的平面角，并求其大小为90°

(2).利用判定定理，在个平面内找•条直线垂直于另一个平面.

例2.求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平

面内.

已知：

求证：

证明：见书45例3

例3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZDAB=60°,PD_L平面ABCD,PD=AD,点E

为AB中点，点