高中数学【空间中的距离】教学设计

空间中的距离

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.理解图形与图形之间的距离的概念.1.数学抽象：空间距离的概念

B.理解并掌握两点之间、点到直线、点到2.逻辑推理：空间距离的算法

平面、相互平行的直线与平面、相互平行3.直观想象：空间距离模型

的平面与平面之间的距离的概念及它们之4.数学运算：运用空间向量计算空间距离

间的相互转化，会用法向量求距离.

教学重难点

1.教学重点：理解空间中距离的概念

2.教学难点：掌握空间距离的计算方法

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离

是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。数学中的“距离”的概念是

从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧通过来自生活的

义，到目前为止，你学过哪些平面内的“距离”，这些“距离”的定义问题情境，帮助学生

有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有回顾距离的概念，并

什么性质吗？引出空间距离问题。

提升学生数学抽象，

逻辑推理和数学建

模的核心素养。

个法向量，则点A到平面a的距离"=胃.通过空间点与

点、点线、点面、平

3判.断

行线及面与面的距

平面«外一点A到平面«的距离，就是点A与平面内一点B所成向量

离概念的建立，让学

荏的长度.（）

生感受，各种距离间

答案:X

的关系，掌握用空间

4.己知平面a的一个法向量n=（-2,21）,点4-1,3,0）在a内，则P（-2,l,4）

向量计算距离问

到a的距离为（）

题。•发展学生逻辑

A.10B.3C.|D*

推理，数学抽象和数

解析:而=（-1,一2,4）,4=警=?答案:D

\n\3学运算的核心素养。

（1）如果直线/与平面«平行,n是平面a的一个法向量,A,8分别是1

上和a内的点，

则直线/与平面a之间的距离为

（2）如果平面a与平面p平行,n是平面p的一个法向量（当然也是平面

a的一个法向量）M和B分别是平面a与平面夕内的点，则平面a与平

面£之间的距离为d=誓.

4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

酗

|n|,

点睛：解决立体几何问题的三种方法

1.综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题.

2.向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题.

3.坐标方法:建立直角坐标系，利用坐标表示几何对象或向量，通过运算

解决几何问题.

5判.断

（1）直线/〃平面a,则直线/到平面a的距离就是直线/上的点到平面

a的距离.（）

（2）若平面a〃平面以则两平面a,p的距离可转化为平面a内某条直线

到平面0的距离，也可转化为平面a内某点到平面厅的距离.（）

答案：aW（2）q

6.已知平面a〃平面△直线/ua,a与尸之间的距离为d,有下列四个命

题：

①0内有且仅有一条直线与/的距离为d;

②0内所有的直线与/的距离都等于优

③B内有无数条直线与1的距离为d-

®p内所有直线与a的距离都等于d.

其中真命题是（）

A.①B.②C.@@D.③④

解析:在直线/上任取一点。，过。作OA_Lp于A,在平面£内，与/不平

行的所有直线与/距离都是"，否则不一定是d,所以①②错误，故选D.

答案:D

二、典例解析

例1已知在矩形48co中48=4,40=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC

与平面AOC垂直，

求点民。之间的距离.

分析：本题既可利用向量模求解，也可建立坐标系利用距离公式求解.

解法一过点/）和点H分别作OELAC于点E,BFLAC于点F,

则由已知条件可知AC=5,

.cl3x412”厂3x412

.・DE=——=—,BF=——=一.

5555

AD29Q7

\'AE=—=-=CF,.\£F=5-2x-=

AC555

•丽=屁+丽+丽，

Z.|DBF=（屁+而+而产=屁2+而2+而2+2屁.而+2丽.

FB+2EF-FB.

,：平面AOC_L平面ABC,DE±AC,

.•.QE_L平面ABC,；.O£_LBF,即而1而，故B,D间距离是空.

通过典例解析

想，让学生掌握空间

距离的算法，体会空

解法二过点D作DE_LAC于点E,过点B作BFrAC于点尸，过点E间向量在计算距离

作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,所在直线为x轴,y轴,z问题中的基本步骤，

轴建立空间直角坐标系,如图.感受用代数方法解

由解法一知DE=FB.EF=g问题决立体几何问

题。发展学生逻辑推

•W。，嗯）喉，”），

理，数学抽象和数学

.•・加—

运算的核心素养。

••廊T⑶+（丁+（豆=等

故BQ间距离是等.

延伸探究若将例1中条件“使平面48c与平面AOC垂直”变为“使平

面ABC与平面ADC重叠”，则结论又如何？

解:当改变条件后，就变为了平面儿何问题，如图所示,8。=研,又由例1

中结论可知BD=AC-2AE=^

用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法，

22

设4xi,yi,zi),8(X2,)%Z2),则^B=|A8|=J(x2-x1)+(y2-Vi)+⑵2产,

或利用|a|二V^H求解.

跟踪训练1如图，正三棱柱ABCABC的各棱长都是2£F分别是

111

C的中点，则EF的长是（）

i1

A.2B.V3C.V5D.V7

解析:方法一:建立如图所示直角坐标系,

则E(y,-i,0),F(0,0,2).WjEF=(-y,j,2),|FF|=J|+J+4=V5.

方法二:设AC中点为G,连接GE,GF,

在RtAFG£中,|E尸|2=尸6|2+|6用2=4+1=5,二£：尸=代.

答案:C

例2如图,在空间直角坐标系中，有长方体

ABCD-A'B'C'D'AB=1,BC=2/4=3,

求点B到直线AC的距离.

解:因为4B=1,BC=2A4，=3,所以A'(0,0,3),C(1,2,0),8(1,0,0).

通过典型例题

所以宜线4C的方向向量而=(1,2,-3).

的分析和解决，让学

又近=(0,2,0),所以玩在上的投影长为生也=

生感受空间向量坐

国|

标运算在解决空间

所以点B到直线4C的距离d=|前门生任一=心^=等.

{IAT|'几何中的应用。发展

求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义学生数学抽象、逻辑

用平面几何知识解决或用体积法解决，但这两类解法技巧性强.用向量推理的核心素养。

法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体

中的已知点,然后用向量计算公式解决.

跟踪训练2已知正方体ABCD-ABCD棱长为2,E,F分别是

1111

CC,DA的中点，求点A到EF的距离.

1I1

解:以D点为原点,DAQCQR所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间

直角坐标系如图所示，

则A(2,0,0),£(0,2,1),F(1,0,2),则齐=(1,21),两=(1,0,-2).

I而l=J12+(-2产+J=V6,

|FA|=J12+02+(-2)2=V5,

F?•FF=1x1+0x(-2)+(-2)x|=-1,

瓦?在前上的投影为恒功=专

\EF\

所以点A到EF的距离d=|lR2-(^)2=Jf=竽.

例3如图，已知正方形428的边长为1,P£>_L平面A8CD且P£>=1,E,F

分别为A8,BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

AEB

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

Jw5

ZEB

则£>(0,0,0),尸(0,(),1),41,0,0),C(0,l,0),£(1,1,0),F(pl,0)，DF=(1i,0),

而=G1,0师=(0,0,1).

设平面PEF,垂足为“，则

丽=*屁+y而+z而=(.吗*%+),工),(x+y+z=l)

PF=(l,p-l),PF=(|,l,-l)，

所以丽-PE=x+|y+i(9+)>z与+y-z=0.同理，丽.丽=x+/-z=0,

22

又x+y+z=l,所以解得尸产》z=。.所以而二5(2,2,3),所以

1丽号g

因此，点D到平面PEF的距离为*“7.

⑵连接AC,则AC〃EF,直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面

PEF的距离，

平面PEF的一个法向量为11=(2,2,3),荏=(010),所求距离为*=

1_717

V17―17°

反思：用向量法求点到面的距离关键还是建系，其次是法向量的求解.

本例中还要注意P,旦尸，，共面这一条件,因此有x+y+z=l这一隐含条

件.

跟踪训练3如图，正三棱柱ABC-ABC的所有棱长都为2,D为CC

1111

的中点.

(1)求证:AB±AD;

11

(2)求点C到平面ABD的距离.

1

A41】

°B,

⑴证明:如图，取BC的中点O,连接A0.

'：/XABC为等边三角形,，AO_LBC.

在正三棱柱ABC-ABC中，平面A8C_L平面BCCB,

11111

・・・AO_L平面5CC5.

।1

取B|C|的中点。，以O为原点方瓦E，雨的方向为X轴,y轴,Z轴的

正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则5(1,0,0),0(-1,1,0)A(0,2,V3)^4(0,0,V3),B।(1,2,0),

*-*ABi=(1,2,-V3),i4^D=(-11V3).

・•・福•硕"2+3=0,

・••福1硕,・・・A8iJ_AiD

(2)解:设平面Ag的法向量n=(x,y,z).

初=(-11疗)，丽=(-2,1,0).

.(n-A^D=0,.(-x-y-y/3z=(),.?=2K,

"lnBD=0,"l-2x+y=0,,(Z=-A/3X.

令x=1,得n=(12-g).：C(-1,0,0),BC=(-2,0,0),

.•.点C到平面AiBD的距离4=喀=粤=?.

|n|2V22

金题典例已知边长为4的正三角形A8C,E,尸分别为BC和AC的中

点.尸4=2,且PAL平面ABC,设。是CE的中点.

(1)求证4E〃平面PFQ;

(2)求AE与平面PFQ间的距离.

(1)证明:如图所示，以A为坐标原点，平面A8C内垂直于AC边的直线

为x轴,AC所在直线为y轴/P所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

：AP=2,A8=3C=AC=4,又E,尸分另U是BCAC的中点，

二40,0,0),8(2H，2,0),C(0,4,0),

F(0,2,0),E(V3,3.0)，e(y,1,0),P(0,0,2).

'：FQ=(y,|,0),4F=(V3,3,0),AAE=2FQ.

•荏与而无交点，

〃尸。.又尸Qu平面夕尸。4EC平面PFQ,

.♦.AE〃平面PFQ.

/

B

(2)解:由(1)知HE〃平面PFQ,

.••点A至1」平面PFQ的距离就是AE与平面PF。间的距离.

设平面/，FQ的法向量为n=(x,y,z),

贝ijn±P'i?,n±FQ,B|JnPF=0,n-FQ=0.

又丙=(C>,2,-2),.,.mPF=2y-2z=0,即y=z.

又而=(y,|,0),.,.nFQ=争+1y=0,即x=-V3y

令产15IJx=-V5,z=l,平面PFQ的一个法向量为n=(-V3,l,D.

又M=(-立,[,0),所求距离仁西=,

22/|H|5

1.本题(1)通过向量运算证明线面平行,(2)中利用线面距转化为点面

距，选择「句量运算来解.合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升

学生的赞攵学运算素养.

2.此类问题综合体现了用向量解决距离问题的便捷性.虽然有些计算

较复杂，彳旦思路很简捷，省去了很多辅助线的构造.

三、达标检测

1.若O为坐标原点，成=(1,1,-2),赤=(3,2,8),沅=(0,1,0),则线段AB的通过练习巩固本

中点P到点C的距离为()节所学知识，通过学

A.等B.2V14C.V53D号生解决问题，发展学

生的数学运算、逻辑

解析:由题意得加=l(OA+而)=(2,|,3).

推理、数学建模的核

丽=沆-丽=92,微,-3)厕国|=14+：+9=苧故选D.

心素养。

答案:D

2.若三棱锥尸-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1,则点尸

到平面ABC的距离是()

A.些B.亚C.更D.9

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