九年级数学下册专题04相似三角形的基本模型(A字型)(原卷版+解析)(人教版)

专题04相似三角形的基本模型（A字型）【模型说明】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔【例题精讲】例1．（基本模型1）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．例2．（基本模型2）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．①如图，若，直接写出的长；②如图，求证：．例3．（培优综合）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为．例4．（与函数综合）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则．例5．（最值问题）如图，矩形ABCD中，，，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且于点M，连接AF、CE，求的最小值是．【变式训练1】．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【变式训练2】．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为．【变式训练4】．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（）

A．9 B．12 C．15 D．18【变式训练5】．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．课后训练1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．2．在矩形ABCD中，，，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为．3．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为．4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为．5．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则．6．如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则．7．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；（2）当α≠60°时，①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．9．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．

（1）在图1中，求证：；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，求证：①；②．10．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．11．如图，中，点D在边上，且．（1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．

专题04相似三角形的基本模型（A字型）【模型说明】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔【例题精讲】例1．（基本模型1）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．【答案】【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，即可得出答案；【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．因为．所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以．所以，所以．解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，且，所以．解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．在中，因为M为AD的中点，，所以N为AH的中点，即．在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，所以．所以．例2．（基本模型2）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．①如图，若，直接写出的长；②如图，求证：．【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析.【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出;（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以．【详解】（1）证明：如图1在中，由于，∴∽，∴．同理在△ACQ和△AEP中，，∴．（2）①如图2,作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∵DE边上的高为,故答案为②证明：如图3∵，∴．又∵为正方形，∴，∴，∴．同理，在中有，∴，∴．又因为∽，∴，∴．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．例3．（培优综合）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为．【答案】．【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，∵，，∴，，为等腰．由题意可得E为CD的中点，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．例4．（与函数综合）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则．【答案】【分析】过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，由点A，B关于原点对称，可得OA=OB，AG=BN，可证，可求，可得，由，可求即可【详解】解：过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，如下图：∵∴由题意可得：点A，B关于原点对称，∴OA=OB，AG=BN，∵BN⊥y轴，MH⊥y轴，AG⊥y轴∴∴，∴，∴，∴，∴故答案为2．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．例5．（最值问题）如图，矩形ABCD中，，，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且于点M，连接AF、CE，求的最小值是．【答案】5【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG，设，则,当点A、F、G三点共线时，的最值小，∵，且，∴四边形CEFG是平行四边形；∴，，又∵点A、F、G三点共线，∴，又∵四边形ABCD是矩形，∴，，∴四边形AECF是平行四边形，又∵，∴四边形AECF是菱形，∴，在中，由勾股定理得：，又∵，，则，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得，，所以∴，又∵，∴，，∴，∴，即，∴，又∵，，∴，即最小值是5，故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．【变式训练1】．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，

∴四边形与四边形都为平行四边形，∴，，∴，，∵为的中位线，∴，，∴，且相似比为1：2，∴，，∴，故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练2】．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为．【答案】/【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可．【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作，，，四边形是正方形，，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键．【变式训练4】．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（）

A．9 B．12 C．15 D．18【答案】D【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【详解】解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴，，∴，∵四边形MNQP的面积为3，∴，∴S△ANQ=1，∵，∴S△AOB=9，∴k=2S△AOB=18，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．【变式训练5】．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．【答案】【分析】先证明，得到，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再利用全等三角形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图，连接与交于点，并补全矩形为．∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵且，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到，从而求出所需边的长度．课后训练1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴，∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B选项正确，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求．故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．2．在矩形ABCD中，，，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为．【答案】2或【分析】分落在BD上或BC上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可．【详解】解：当落在BD上时，如下图：∵在矩形ABCD中，，，∴根据折叠的性质可知，∵EF∥BD∴∴∴；当落在BC上时，如下图：∵∴∴∴∵∴∵∴∴，∴∴∴故答案为：2或．【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键．3．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为．【答案】【分析】如图，过点作交的延长线于．利用勾股定理求出，利用三角形重心的性质求出，再利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出即可．【详解】解：如图，过点作交的延长线于．由翻折的性质可知，垂直平分线段，，∵，，∴，∵，点D为边的中点，点是的重心，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为．【答案】【分析】根据AC为直角边可分∠CAB=90°和∠ACB=90°两种情况进行讨论．【详解】∵为直角三角形，为直角边，①当时，∵，又，∴、、、四点共圆，且为直径，∵为中点，则为圆心，连接，则为圆的一条弦，∴圆心一定在的垂直平分线上，取中点，过做直线，则的运动轨迹为直线，∴当时，取得最小值，∵，∴的解析式为，又∵为中点，∴，∴，∵，∴，∴的解析式可设为，代入，得：，，∴的解析式为，令，得，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．②当时，点交于轴原点处不符合题意，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键．5．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则．【答案】；．【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案为：或．【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．6．如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则．【答案】【分析】过点G作GR⊥BC于R，过点H作HN∥BC交BD于N，由正方形性质可证明：△ABE∽△FCB，由勾股定理可求BF，由翻折性质可得△HGC≌△BGC，进而可证明：△BHN∽△BED，可求得HN，再由△HNM∽△CBM，可求得，再由△CGR∽△CBF即可求得结论．【详解】解：如图，过点作于，过点作交于则，∵正方形，∽在中，，即，由翻折知：，，，≌∽，即∽，，，是等腰直角三角形，设，则，∽，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型．7．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得设正方形的边长为x米，如图乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；（2）当α≠60°时，①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或．【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD=∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）；（2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH=∠CDG即可；②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=．【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，∵∠GDH=∠CDA=60°，∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，∴∠HDA=∠CDG，在△ADH和△CDG中△ADH≌△CDG（ASA）；（2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，∴∠ACD=∠ADC＝α，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，∵∠GDH=α=∠ADC，∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，∴∠ADH=∠CDG，∴△ADH∽△CDG；②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，∴△AGE∽△CGD，∴，∴，∵AD=AC=12，∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，∴AG=3，∴CG=AC-AG=12-3=9，∵AC=AD=BC，CN⊥AB，∴AN=BN=，在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，∴GM∥CN，∴△AMG∽△ANC，∴，∴,，∴EM=AE-AM=，在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，∵AE∥CD，∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，∴△GAE∽△GCD，∴，∴，∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,∴GA=6，∵AC=AD=BC，CN⊥AB，∴AN=BN=，在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，∵CN⊥AB，GM⊥AE，∴GM∥CN，∴△GMA∽△CNA，∴，∴，，∴EM=AE-AM=3-，在Rt△GME中，根据勾股定理EG=，∴综合EG的长为或．【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．9．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．

（1）在图1中，求证：；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，求证：①；②．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，利用AAS定理证明；（2）①根据全等三角形的性质得到BM=NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；②根据①中得出PE+PF=BM，利用（1）中△BMC≌△CNB，得到MC=BN，证明△AMC∽△OMB，得到，从而得到AM•MB=OM•MC，可得OM•BN-AM•PF=AM•PE．【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC=∠CNB=90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM=NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴，∴，∴PE+PF=BM；②同（2）的方法得到，PE+PF=BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC=BN，∵∠ANB=90°，∴∠MAC+∠ABN=90°，∵∠OMB=90°，∴∠MOB+∠ABN=90°，∴∠MAC=∠MOB，又∠AMC=∠OMB=90°，∴△AMC∽△OMB，∴，∴AM•MB=OM•MC，∴AM×（PE+PF）=OM•BN，∴OM•BN-AM•PF=AM•PE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；（3）联结，如果与以点、、为顶点所