2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系题型探究新人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系题型探究题型一空间中点的坐标表示1．在正四棱锥V－ABCD中，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，确定各顶点的坐标．[解析]因为顶点V在z轴正半轴上，且VO＝3，所以它的横坐标与纵坐标都是0，所以点V的坐标是(0,0,3)．因为A，B，C，D四点都在Oxy平面上，所以它们的竖坐标都是零．又因为AB＝2，O为底面中心，所以点A的坐标是(1，－1,0)，点B的坐标是(1,1,0)，点C的坐标是(－1,1,0)，点D的坐标是(－1，－1,0)．[规律方法]求空间一点P的坐标的两种方法(1)利用点在坐标轴上的投影求解；(2)利用单位正交基底表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标就是点P的坐标．对点训练❶画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则(1)顶点A，D1的坐标分别为_(0,0,0)，(0,1,1)__；(2)棱C1C中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))；(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).题型二空间向量的坐标表示2．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐标．[分析]先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再依据空间向量基本定理，将eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))用基底表示，即得坐标．[解析]由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2j，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝4k，eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\o(O1D,\s\up6(→)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OO1,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))))＝－eq\o(OO1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝－2i－j－4k，故eq\o(DO,\s\up6(→))的坐标为(－2，－1，－4)．eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－4i＋2j－4k，故eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐标为(－4,2，－4)．即eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4,2，－4)．[规律方法]用坐标表示空间向量的步骤如下：对点训练❷已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐标．[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．题型三空间向量坐标的应用角度1对称问题3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解析](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的重量不变，在y轴、z轴的重量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的重量不变，在z轴的重量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，1，－4)．(3)设对称点为P1(x，y，z)，则点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P1(6，－3，－12)．角度2距离问题4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．[解析]如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，所以C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，因为N为CD1的中点，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，所以M(1,1,2)．所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1,1,2)＝i＋j＋2k，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1))＝eq\f(3,2)i＋3j＋k，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)i＋3j＋k))－(i＋j＋2k)＝eq\f(1,2)i＋2j－k，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i))2＋2j2＋－k2)＝eq\f(\r(21),2)，即|MN|＝eq\f(\r(21),2).[规律方法]1.空间对称问题的特点空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要驾驭对称点的变更规律，才能精确求解．对称点的问题常常接受“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．2．利用向量法求空间两点距离的方法(1)建系，确定两点坐标．(2)求出以向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标．(3)求eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标．(4)依据公式求出eq\o(AB,\s\up6(→))的模，即AB的距离．对点训练❸已知点