2024八年级数学下册专题4.1多边形的内角与外角重点题专项讲练含解析新版浙教版

Page1专题4.1多边形的内角与外角【典例1】（1）已知：如图，n边形A1A2A3A4A5…An．求证：n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于（n﹣2）•180°；（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；（3）马虎的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°．请干脆写出这个多加的外角度数及多边形的边数．【思路点拨】（1）依据从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用三角形内角和等于180°解答；（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，依据题意列出方程可得答案；（3）依据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．【解题过程】解：（1）∵从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，∴得出把三角形分割成的三角形个数为：n﹣3+1＝n﹣2，∵这（n﹣2）个三角形的内角和都等于180°，∴n边形的内角和是（n﹣2）×180°；（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，由题意，得（3α+20）+α＝180，解得α＝40，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360°÷40°＝9，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°，答：这个多边形的内角和为1260°；（3）设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1180°﹣α，∵1180°＝6×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴小明多加的一个外角为100°，∴这是6+2＝8边形的内角和．答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．1．（九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（）A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形【思路点拨】设这个多边形为n边形，依据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解题过程】解：设这个多边形为n边形，它的外角分别为x1，x2，⋯，xn，则对应的内角分别为4x1+30°，4x2+30°，⋯，4xn+30°，依据题意得，x1+x2+⋯+xn＝360°，（4x1+30°）+（4x2+30°）+⋯+（4xn+30°）＝（n﹣2）×180°，∴4×（x1+x2+⋯+xn）+30°n＝（n﹣2）×180°，∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°，∴1440°+30°n＝180°n﹣360°，∴150°n＝1800°，∴n＝12，故选：C．2．（龙山县期末）从九边形的一个顶点动身，可以作①条对角线，它们将九边形分成②个三角形．对于符号①、②表示的数字正确的是（）A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7【思路点拨】依据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点动身可引出（n﹣3）条对角线，进而得出这（n﹣3）条对角线把多边形分成的三角形的个数．【解题过程】解：从九边形的一个顶点动身，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．故选：A．3．（东坡区期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（）A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形 C．正五边形和正八边形 D．正方形和正十边形【思路点拨】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【解题过程】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，明显能构成360°的周角，故能铺满；C、正五边形和正八边形内角分别为108°、035°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满．D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满；故选：B．4．（桓台县期末）如图，桐桐从A点动身，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样始终走下去，她第一次回到动身点A时，一共走了（）A．100m B．90m C．54m D．60m【思路点拨】依据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再依据题意求出正多边形的周长即可．【解题过程】解：由题意可知，当她第一次回到动身点A时，所走过的图形是一个正多边形，由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，360°÷20°＝18，所以它是一个正18边形，因此所走的路程为18×3＝54（m），故选：C．5．（寻乌县期末）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）A．180° B．180°或360° C．360°或540° D．180°或360°或540°【思路点拨】分为三种状况，画出图形，依据多边形的内角和公式求出内角和即可．【解题过程】解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°，如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360°，如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°．综上所述，剩下图形的内角和为180°或360°或540°．故选：D．6．（铜官区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A．180° B．210° C．240° D．270°【思路点拨】依据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再依据多边形的外角和定理列式计算即可得解．【解题过程】解：反向延长AB，DC，∵AB∥ED，∴∠4+∠5＝180°，依据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故选：A．7．（微山县期末）如图，正六边形IMNPGH的顶点分别在正六边形ABCDEF的边上．若∠FHG＝28°，则∠BIM等于（）A．28° B．32° C．48° D．52°【思路点拨】依据正多边形的内角性质及平角的定义求解即可．【解题过程】解：∵六边形IMNPGH和六边形ABCDEF都是正六边形，∴∠B＝∠A＝∠F＝∠MIH＝∠IHG=(6-2)×180°∵∠FHG＝28°，∠AHI+∠FHG+∠IHG＝180°，∴∠AHI＝32°，∵∠A+∠AHI+∠AIH＝180°，∴∠AIH＝28°，∵∠AIH+∠BIM+∠MIH＝180°，∴∠BIM＝32°，故选：B．8．（长宁区期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为．【思路点拨】依据多边形的内角和是180的整数倍数求解即可．【解题过程】解：依据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180°的整数倍数，是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720，故多边形的内角和为720°，这个凸多边形的边数为：720°180°故答案为：6．9．（市北区期末）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是．【思路点拨】先求出正四边形和正六边形每个内角的度数，然后依据平面镶嵌的条件求解第三块正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解．【解题过程】解：正四边形每个内角度数为360°÷4＝90°，正六边形每个内角度数为180﹣360°÷6＝120°，∴第三块正多边形的每个内角度数为360°﹣90°﹣120°＝150°，∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°﹣150°）＝12，故答案为：12．10．（青岛期末）如图，试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为．【思路点拨】依据四边形的内角和可得∠1+∠2+∠3+∠8＝360°、四边形BCHG中∠4+∠5+∠9+∠10＝360°，依据∠9＝∠6+∠7、∠8+∠10＝180°可得．【解题过程】解：如图，依据四边形的内角和可得，∠1+∠2+∠3+∠8＝360°，∠4+∠5+∠9+∠10＝360°，∵∠9＝∠6+∠7，∠8+∠10＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠8+∠4+∠5+∠10+∠6+∠7＝720°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540°．故答案为：540°．11．（江都区期末）如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB＝°．【思路点拨】依据正多边形内角和外角和的性质，得∠DAE，∠BAE＝∠E＝∠F＝144°，依据四边形内角和的性质，计算得∠EAC；依据五边形内角和的性质算出∠ABC，再依据三角形外角的性质即可得出答案．【解题过程】解：延长BA∵正十边形，∴∠DAE=360°10=36°，正十边形内角=(10-2)×180°10=144°，即∠依据题意，得四边形ACEF内角和为：360°，且∠EAC＝∠FCA，∴∠EAC＝∠FCA=360⋅-∠E-∠F∴∠DAC＝∠DAE+∠EAC＝72°，依据题意，得五边形ABCFE内角和为：540°，且∠ABC＝∠FCB，∴∠ABC＝∠FCB=540-∠BAE-∠E-∠F∴∠ACB＝∠DAC﹣∠ABC＝72°﹣54°＝18°，故答案为：18．12．（海淀区校级期中）如图①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝，我们把图①称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图②称为二环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．则二环四边形的内角和为，二环五边形的内角和为，二环n边形的内角和为．【思路点拨】连接AE，可得∠D+∠C＝∠CAE+∠DEA，再依据四边形的内角和公式即可求解；D、E之间添加两条边，可得∠M+∠MEF+∠MDH＝∠G+∠F+∠H，再依据六边形的内角和公式即可求解；依据二环三角形、二环四边形和二环五边形的内角和可得二环n边形的内角和．【解题过程】解：如图，连接AE，则∠D+∠C＝∠CAE+∠DEA，∴∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝∠BAE+∠B+∠F+∠FEA＝360°；如图，D、E之间添加两条边，可得∠M+∠MEF+∠MDH＝∠G+∠F+∠H，则∠A+∠B+∠C+∠CDH+∠F+∠G+∠H+∠AEF＝∠A+∠B+∠C+∠CDM+∠MEA+∠M＝720°；∵二环三角形的内角和是360°＝360°×（3﹣2），二环四边形的内角和是720°＝360°×（4﹣2），∴二环五边形的内角和是360°×（5﹣2）＝1080°，二环n边形的内角和是360°×（n﹣2）．故答案为：360°；720°；1080°；360°×（n﹣2）．13．（西峰区期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．【思路点拨】一个多边形的内角和等于外角和的3倍少180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于900°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．【解题过程】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：180（n﹣2）＝360×3﹣180，解得n＝7，对角线条数：(7-3)×72答：这个多边形的边数是7，对角线有14条．14．（海淀区校级期中）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于1125°．小红说：不对，你少加了一个角．问题：（1）他们在求几边形的内角和？（2）少加的那个内角是多少度？【思路点拨】设少加这个内角为x度，这个多边形的边数为n，依据多边形的内角和公式列出算式，依据多边形的一个内角的度数大于0度，且小于180度可求得n的值．【解题过程】解：（1）设少加这个内角为x°，这个多边形的边数为n则1125+x＝（n﹣2）180，x＝（n﹣2）180﹣1125，∵0＜x＜180，∴0＜（n﹣2）180﹣1125＜180，∵n为整数，∴n＝9．（2）x＝（9﹣2）×180﹣1125＝135，∴少加这个内角为135度．15．（孝昌县校级月考）以下供应了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：（1）试依据所给的方法，将图④中的七边形分割成个三角形；（2）按这种方法，凸n边形可以分割成个三角形；（3）请依据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸n边形的内角和公式：凸n边形的内角和＝（n﹣2）×180°；（4）利用（3）中的公式解答下面的问题：凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．【思路点拨】（1）依据图①②③进行推导．（2）依据特殊到一般的数学思想解决本题．（3）由（n﹣1）个三角形的内角的和为180°（n﹣1），得凸n边形的内角和为180°（n﹣1）﹣180°＝（n﹣2）×180°．（4）设加上的某个外角的度数为x（0＜x＜180°），由题意得（n﹣2）×180°+x＝1350°，从而解决此题．【解题过程】解：（1）图①是四边形，分割成3个三角形；图②是五边形，分割成4个三角形；图③是六边形，分割成5个三角形；图④是七边形，分割成6个三角形；…以此类推，凸n边形可以分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：6．（2）由（1）可得：凸n边形可以分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：（n﹣1）．（3）由（2）得：凸n边形可以分割成（n﹣1）个三角形．∴（n﹣1）个三角形的内角的和为180°（n﹣1）．∴凸n边形的内角和为180°（n﹣1）﹣180°＝（n﹣2）×180°．（4）设加上的某个外角的度数为x（0＜x＜180°）．由题意得：（n﹣2）×180°+x＝1350°．∴x＝1350°﹣（n﹣2）×180°．∵0＜x＜180°，∴6.5＜n﹣2＜7.5．∴n＝9．∴x＝90°．∴这个多边形的边数为9，这个外角的度数为90°．16．（余干县月考）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六边形ABCDEF的内角和；（2）求∠BGD的度数．【思路点拨】（1）由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和；（2）由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．【解题过程】解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°；（2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣460°＝260°，∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝100°．即∠BGD的度数是100°．17．（卧龙区期末）（1）问题发觉：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是；（2）学问应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∠【思路点拨】（1）依据两个等式，可以得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系．（2）依据第（1）问结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再依据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和．这样就可以确定∠E的度数．（3）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，就可以确定∠P的度数．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D．故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D．（2）依据第（1）问的结论，可知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°．∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°．（3）依据第（1）问的结论，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．∵∠CDP=14∠CDN，∠CBP=1∴∠CDP+∠CBP=14（∠CDN+∠∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+45°＝225°，即∠ADP+∠ABP＝225°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝45°．18．（新吴区月考）（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律；（2）假如把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？（3）假如把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（干脆写出关系式即可）【思路点拨】（1）依据折叠的性质表示出∠ADE、∠AED，再依据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先依据折叠的性质及平角的定义表示出∠ADE、∠AED，再依据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先依据折叠的性质表示出∠ADE、∠AED，再依据四边形的内角和定理列式整理即可得解；【解题过程】解：（1）依据折叠的性质可知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠1＝180°﹣2∠ADE①，∠2＝180°﹣2∠AED②，①+②，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝360°﹣360°+2∠A＝2∠A，∴∠A=1故答案为：∠A=1（2）依据折叠的性质可知，∴∠1＝180°﹣2∠ADE①，∠2＝2∠AED﹣180°②，①﹣②，得∠1﹣∠2＝180°﹣2∠ADE﹣2∠AED+180°＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣（∠1﹣∠2），∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，∴2（180°﹣∠A）＝360°﹣（∠1﹣∠2），360°﹣2∠A＝360°﹣∠1+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A，∴∠A=1（3）依据折叠的性质可知，∠AEF=1∠DFE=1∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴∠A+∠D+12（180°﹣∠1）∴2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°，∴∠A+∠D=119．（永吉县期中）（1）四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝°；②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，则∠C＝；③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝°；（2）如图3，当∠A＝α，∠D＝β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量关系为；（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度数．【思路点拨】（1）①依据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；②先依据平行线的性质得到∠ABE的度数，再依据角平分线定义和四边形内角和即可求解；③依据四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的度数，再依据角平分线定义得到∠EBC+∠ECB的度数，最终依据三角形内角和即可求解；（2）先依据四边形的内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度数，再依据角平分线的定义求出12（∠ABC+∠BCD）的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出∠BEC（3）先依据五边形的内角和等于540°求出∠CDE+∠BCD的度数，再依据角平分线的定义求出12（∠CDE+∠BCD）的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出∠P【解题过程】解：（1）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．故答案为：70；②∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．故答案为：60；③∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110；（2）∵四边形ABCD中，∠A＝α，∠D＝β，∴∠B+∠C＝360°﹣（α+β），∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝180°-1∴∠BEC＝180°﹣[180°-12（α+β）]故答案为：∠BEC=1（3）∵∠BCD+∠CDE＝540°﹣（∠A+∠B+∠E）＝540°﹣300°＝240°，又∵CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，∴∠PCD=12∠BCD，∠PDC=1∴∠PCD+∠PDC=12（∠BCD+∠CDE）＝240°∴∠P＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣120°＝60°．20．（临江市期末）我们探究过三角形内角和等于18